Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2010 - 2011 môn Toán lớp 9 Bảng A (Có đáp án)

[DOWNC="http://w6.mien-phi.com/data/file/2013/thang04/24/Dethi-HSG-NgheAn-2011-Toan9-BangA.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm 2010 - 2011 môn Toán lớp 9 Bảng A (Có đáp án) - Sở GD&ĐT Nghệ An

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NGHỆ AN

(ĐỀ THI CHÍNH THỨC)
[/TD]
[TD]
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN - BẢNG A
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)

[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Cho các số nguyên a[SUB]1[/SUB], a[SUB]2[/SUB], a[SUB]3[/SUB], . , a[SUB]n[/SUB]. Đặt S = a[SUB]1[/SUB][SUP]3[/SUP] + a[SUB]2[/SUB][SUP]3[/SUP] + . + a[SUB]n[/SUB][SUP]3[/SUP] và P = a[SUB]1[/SUB] + a[SUB]2[/SUB] + . + a[SUB]n[/SUB].
Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6.
b) Cho A = n[SUP]6[/SUP] - n[SUP]4[/SUP] + 2n[SUP]3[/SUP] + 2n[SUP]2[/SUP] (với N thuộc N; n > 1). Chứng minh A không phải là số chính phương.
Câu 2 (4,5 điểm).
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình:

Câu 3 (4,5 điểm).
a) Cho x > 0, y > 0, z > 0 và .
Chứng minh rằng:

b) Cho x > 0, y > 0, z > 0 thỏa mãn x[SUP]2011[/SUP] + y[SUP]2011[/SUP] +z[SUP]2011[/SUP] = 3.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP] + z[SUP]2[/SUP]
Câu 4 (4,5 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. (M không trùng với B và C). Gọi N và P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
b) Khi góc BOC = 120[SUP]0[/SUP], xác định vị trí của điểm M để  đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (2,5 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, một điểm I chuyển động trên cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B và C). Đường thẳng vuông góc với IB tại I cắt đường thẳng AC tại E, đường thẳng vuông góc với IC tại I cắt đường thẳng AB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.