Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Thanh Hóa năm học 2010 - 2011 môn Toán (Có đáp án)

[DOWNC="http://w7.mien-phi.com/data/file/2013/thang05/14/Dethi-HSG-L9-ThanhHoa-2011-Toan.pdf"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Thanh Hóa năm học 2010 - 2011 môn Toán (Có đáp án) - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức)
[/TD]
[TD]
KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------
Câu I. (5,0 điểm).
1) Cho phương trình: x[SUP]2[/SUP] - 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x[SUB]1[/SUB], x[SUB]2[/SUB] với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  khi m thay đổi.
2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng là số hữu tỉ.
(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:  là số hữu tỉ.
Câu II. (5,0 điểm).
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình: 
Câu III. (2,0 điểm).
Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.
Tính góc BPE?
Câu IV. (4,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O ∉ AB). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P ≠ A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (N ≠ P).
1) Chứng minh rằng góc ANP = góc BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động.
Câu V. (4,0 điểm).
1) Cho a[SUB]1[/SUB], a[SUB]2[/SUB], ., a[SUB]45[/SUB] là số tự nhiên dương thoả mãn a[SUB]1 [/SUB]< a[SUB]2 [/SUB]< .< a[SUB]45[/SUB] ≤ 130. Đặt d[SUB]j[/SUB] = a[SUB]j+1[/SUB] - a[SUB]j[/SUB], (j = 1, 2, ., 44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d[SUB]j[/SUB] xuất hiện ít nhất 10 lần.
2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: 
Chứng minh rằng: