Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Bắc Ninh năm 2012 - 2013

[DOWNC="http://w1.mien-phi.com/data/file/2013/thang10/21/De-thi-HSG-L9-BacNinh-2012-2013-Toan.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Bắc Ninh năm 2012 - 2013 - Môn: Toán

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC
[/TD]
[TD]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC: 2012 - 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 THCS
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề)
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]

Câu 1. (4,0 điểm)
Cho biểu thức: 
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Câu 2. (4,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P) có phương trình y = x[SUP]2[/SUP] và đường thẳng d có phương trình y = kx + 1 (k là tham số). Tìm k để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN = 2√10.
2. Giải hệ phương trình: 
 (Với x, y, z là các số thực dương).
Câu 3. (3,0 điểm)
1. Giải phương trình nghiệm nguyên: x[SUP]4[/SUP] - 2y[SUP]4[/SUP] - x[SUP]2[/SUP]y[SUP]2[/SUP] - 4x[SUP]2[/SUP] - 7y[SUP]2[/SUP] - 5 = 0.
2. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1; a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP] + c[SUP]2[/SUP] = 1; a[SUP]3[/SUP] + b[SUP]3[/SUP] + c[SUP]3[/SUP] = 1
Chứng minh rằng: a[SUP]2013[/SUP] + b[SUP]2013[/SUP] + c[SUP]2013[/SUP] = 1.
Câu 4. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN, MP của đường tròn (O) (N, P là hai tiếp điểm).
1. Dựng điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn thuộc đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 5. (3,0 điểm)
1. Tìm hai số nguyên dương a và b thỏa mãn a2 + b2 = [a, b] + 7(a, b) (với [a,b] = BCNN(a,b), (a,b) = ƯCLN(a,b)).
2. Cho tam giác ABC thay đổi có AB = 6, AC = 2BC. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác ABC.