Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT TP Hải Phòng năm 2012 - 2013

[DOWNC="http://w7.mien-phi.com/data/file/2013/thang10/22/De-HSG-L12-HaiPhong-2012-2013-Toan.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT TP Hải Phòng năm 2012 - 2013 - Môn: Toán

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
[/TD]
[TD]
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ LỚP 12
NĂM HỌC: 2012 - 2013
MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]

Bài 1.
Giải hệ phương trình: 

Bài 2.
Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc các cạnh BC, AC lần lượt tại D, E. Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác tiếp xúc BC tại D và các phần kéo dài của đoạn thẳng CA, AB lần lượt tại G, H. Chứng minh rằng GF, DE và đường tròn ngoại tiếp tam giác BFH đồng quy.
Bài 3.
Tồn tại hay không đa thức f(x) bậc 2014 với các hệ số thực thỏa mãn f(x2 - 2013) chia hết cho f(x)?
Bài 4.
Cho dãy số {xn}[SUP]∞[/SUP][SUB]n = 1[/SUB] thỏa mãn:

Đặt:

Chứng minh rằng {xn}[SUP]∞[/SUP][SUB]n = 1 [/SUB]hội tụ và tính .
Bài 5.
Có n bạn nam và n bạn nữ xếp thành một hàng thẳng. Chứng minh rằng tổng khoảng cách giữa hai bạn cùng giới nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng cách giữa hai bạn khác giới.