Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT TP Cần Thơ năm 2013 - 2014

[DOWNC="http://w1.mien-phi.com/data/file/2013/thang10/22/De-HSG-L12-CanTho-2013-2014-Toan.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT TP Cần Thơ năm 2013 - 2014 - Môn: Toán

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP. CẦN THƠ

ĐỀ CHÍNH THỨC
[/TD]
[TD]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC: 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề)
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]

Câu 1:
Giải hệ phương trình sau:

Câu 2:
Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, AB < AC, AH là đường cao và AD là đường phân giác trong. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trêm các cạnh AC và AB, M là giao điểm của BE và CF.
1. Chứng minh ba điểm A, M, H thẳng hàng.
2. Gọi K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh: 
3. Gọi N là giao điểm của BC với đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: 
Câu 3:
Cho a, b, c là ba số nguyên khác không và thỏa mãn a[SUP]2[/SUP]bb[SUP]2[/SUP]cc[SUP]3[/SUP]a = 3abc (1)
1. Hãy chỉ ra một bộ số nguyên a, b, c đôi một khác nhau thỏa (1)
2. Chứng minh abc là lập phương của một số nguyên.
Câu 4:
Cho các đa thức P(x), Q(x) với hệ số thức thỏa mãn điều kiện P(x) = Q(x)Q(1 - x), với mọi x thuộc R. Biết P(0) = 0 và các hệ số của P(x) đều không âm. Tính P(P(2013)).
Câu 5:
Tìm tất cả các hàm số f: Z → Z thỏa mãn các điều kiện:

Câu 6:
Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số 1 và 3 vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên a và b thì được phép viết thêm số c = a + b + ab vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số 2509 và 20132014 hay không? Giải thích tại sao?