Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2011 - 2012 môn Toán (Vòng 1) - Có đáp án

[DOWNC="http://w1.mien-phi.com/data/file/2013/thang06/04/Dethi-HSG-HaiDuong-2012-Toan-12-V1.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Hải Dương năm học 2011 - 2012 môn Toán (Vòng 1) - Có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Dương

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
(ĐỀ THI CHÍNH THỨC)
[/TD]
[TD]
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 - 2012

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - VÒNG 1
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
1. Cho hàm số  có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.
2. Tìm m để hàm số có cực đại.
Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2 điểm)
1. Chứng minh . Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có:

2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = A√3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.
2. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho góc MAN = 45[SUP]o[/SUP]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP] + c[SUP]2[/SUP] = 1. Chứng minh: