Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 môn Toán - Có đáp án

[DOWNC="http://w1.mien-phi.com/data/file/2013/thang06/09/Dethi-HSG-12-VinhPhuc-2013-Toan-chuyen.pdf"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2013 môn Toán - Có đáp án - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH VĨNH PHÚC
(ĐỀ THI CHÍNH THỨC)
[/TD]
[TD]
KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
Môn: TOÁN – THPT CHUYÊN
Khóa ngày: 02/11/2012
--------------------------------
Câu 1 (2,5 điểm).
Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (1,5 điểm).
Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Câu 3 (2,0 điểm).
Giả sử n là một số nguyên dương sao cho 3[SUP]n[/SUP] + 2[SUP]n[/SUP] chia hết cho 7. Tìm số dư của 2[SUP]n[/SUP] + 11[SUP]n[/SUP] + 2012[SUP]n2[/SUP] khi chia cho 7.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho hình bình hành ABCD. Gọi P là điểm sao cho trung trực của đoạn thẳng CP chia đôi đoạn AD và trung trực của đoạn AP chia đôi đoạn CD. Gọi Q là trung điểm của đoạn thẳng BP.
a) Chứng minh rằng đường thẳng BP vuông góc với đường thẳng AC.
b) Chứng minh rằng BP = 4.OE, trong đó E là trung điểm của AC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho m, n (m > n > 4) là các số nguyên dương và A là một tập hợp con có đúng n phần tử của tập hợp S = {1, 2, 3, ., m}.
Chứng minh rằng nếu m > (n - 1)(1 + C[SUP]2[/SUP][SUB]n[/SUB] + C[SUP]3[/SUP][SUB]n[/SUB] + C[SUP]4[/SUP][SUB]n[/SUB]) thì ta luôn chọn được n phần tử đôi một phân biệt x1, x2, ., xn ∈ sao cho các tập hợp  thỏa mãn với mọi j ≠ k và j, k = 1, n.