Đề thi học sinh giỏi lớp 10 khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ năm 2013 - 2014

[DOWNC="http://w1.mien-phi.com/data/file/2014/Thang05/12/De-HSG-BacBo-2014-Lop10.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi học sinh giỏi lớp 10 khu vực Duyên Hải và đồng bằng Bắc Bộ năm 2013 - 2014 - Môn: Toán - có đáp án

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
[/TD]
[TD]
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC 2013 - 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP 10
Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:19/04/2014
[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
Câu 1 (4 điểm):
Giải phương trình sau trên tập số thực:

Câu 2 (4 điểm):
Cho tam giác ABC (BC < AC). Gọi M là trung điểm của AB, AP vuông góc với BC tại P, BQ vuông góc với AC tại Q. Giả sử đường thẳng PQ cắt đường thẳng AB tại T. Chứng minh rằng TH vuông góc CM, trong đó H là trực tâm tam giác ABC.
Bài 3 (4 điểm):
Cho hàm số f: R → R (R là tập số thực) thỏa mãn  (với mọi x thuộc R). Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực phân biệt a, b, c sao cho f(a) + f(b) + f(c) = 0.
Bài 4 (4 điểm):
Tìm giá trị lớn nhất của k để bất đẳng thức sau đúng với mọi giá trị a, b, c:
a[SUP]4[/SUP] + b[SUP]4[/SUP] + c[SUP]4[/SUP] + abc(a + b + c) ≥ k(ab + bc + ca)[SUP]2[/SUP]
Bài 5 (4 điểm):
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 2013[SUP]n[/SUP] - 1 chia hết cho 2[SUP]2014[/SUP].