Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 vòng 2 năm 2012 - 2013 (có đáp án)

[DOWNC="http://w7.mien-phi.com/Data/file/2012/Thang12/27/De-thi-chon-doi-tuyen-HSG-Toan-12V2.pdf"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 vòng 2 năm 2012 - 2013 (có đáp án) - Đề thi học sinh giỏi Toán

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH[/TD]
[TD]
 KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi: 19 - 10 - 2012

Thời gian làm bài: 180 phút<br type="_moz">

[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1. (4 điểm) Cho số nguyên dương n. Giải và biện luận theo n hệ phương trình sau:

Bài 2. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f: R -> R thỏa mãn: f(x[SUP]2[/SUP] + 2f(y)) = y/2 + 2(f(x))[SUP]2[/SUP], với mọi x, y thuộc tập hợp R
Bài 3. (4 điểm)

Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước dương là d[SUB]1[/SUB], d[SUB]2[/SUB], .,d[SUB]k[/SUB]. Chứng minh rằng nếu d[SUB]1[/SUB] + d[SUB]2[/SUB] + . + d[SUB]k[/SUB] + k = 2n + 1 thì n/2 là số chính phương
Bài 4. (4 điểm)

Cho ba đường tròn (C), (C[SUB]1[/SUB]), (C[SUB]2[/SUB]) trong đó (C[SUB]1[/SUB])  và (C[SUB]2[/SUB]) tiếp xúc trong với (C) tại B, C và (C[SUB]1[/SUB]), (C[SUB]2[/SUB]) tiếp xúc ngoài với nhau tại D. Tiếp tuyến chung trong của (C[SUB]1[/SUB]) và (C[SUB]2[/SUB]) cắt (C) tại hai điểm A và E. Đường thẳng AB cắt (C[SUB]1[/SUB]) tại điểm thứ hai M, đường thẳng AC cắt (C[SUB]2[/SUB]) tại điểm thứ hai N. Chứng minh rằng: 1/DA + 1/DE = 2/MN
Bài 5. (4 điểm)

Cho một bảng ô vuông có 2012 x 2012 ô, mỗi ô đều điền vào một dấu + . Thực hiện phép biến đổi sau: đổi dấu toàn bộ một hàng hoặc một cột của bảng (+ thành – , – thành +). Hỏi sau một số lần thực hiện phép biến đổi, bảng có thể có đúng 18 dấu – được hay không?