Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2011 - 2012

[DOWNC="http://w1.mien-phi.com/Data/file/2012/Thang12/31/De-thi-chon-doi-tuyen-HSG-Toan12-2011-2012.pdf"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2011 - 2012 - Đề thi học sinh giỏi Toán

[TABLE]
[TBODY]
[TR]
[TD]SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH[/TD]
[TD]
 KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 NĂM HỌC 2011 - 2012

MÔN THI: TOÁN

Ngày thi thứ nhất: 19 - 10 - 2011

Thời gian làm bài: 180 phút<br type="_moz">

[/TD]
[/TR]
[/TBODY]
[/TABLE]
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: (4 điểm)

Giải hệ phương trình sau:

Bài 2: (4 điểm)

Cho hai đường tròn và cắt nhau tại A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M. Cát tuyến qua B cắt (O[SUB]1[/SUB]) và (O[SUB]2[/SUB]) lần lượt tại C và D (B nằm giữa C và D). Đường thẳng MC cắt (O[SUB]1[/SUB]) tại P khác C. Đường thẳng MD cắt (O[SUB]2[/SUB]) tại Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD, E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh rằng MO vuông góc với EF .
Bài 3: (4 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:

Bài 4: (4 điểm)

Cho đa thức P(x) = x[SUP]2012[/SUP] - mx[SUP]2010[/SUP] + m (m#0). Giả sử P(x) có đủ 2012 nghiệm thực. Chứng minh rằng trong các nghiệm của P(x) có ít nhất một nghiệm x[SUB]0[/SUB] thoả mãn |x[SUB]0[/SUB]| < căn bậc 2 của 2
Bài 5: (4 điểm)

Cho các số nguyên x, y. Biết rằng: x[SUP]2[/SUP] – 2xy + y[SUP]2[/SUP] – 5x + 7y và x[SUP]2[/SUP] – 3xy + 2y[SUP]2[/SUP] + x – y đều chia hết cho 17.

Chứng minh rằng: xy – 12x + 15y chia hết cho 17.