Thạc Sĩ Dãy phổ lyndon - hochschild - serre và đối đồng điều nhóm nửa nhị diện

Lời nói đầu

Đối đồng điều của các nhóm nhị diện và Quaternion tổng quát giờ đây đã trở thành cổ điển và được trình này trong hầu hết các sách viết về đối đồng điều nhóm. Và hơnbnữa, đối đồng điều của hai nhóm này cũng đã được tìm hiểu và trình bày cặn kẽ, tỉ mỉ trong các cuốn luận văn của các học viên thuộc Bộ môn Đại số, chuyên ngành hẹp Đại số đồng điều. Đặc biệt là luận văn của Thạc sĩ Nguyễn Uy Bá. Sử dụng hai kết quả đã biết này, Leonard Evens và Stewart Priddy đã đưa ra cách tính đối đồng điều của nhóm nửa nhị diện thông qua việc sử dụng một công cụ rất mạnh đó là dãy phổ Lyndon - Hochschild - Serre.
Cuốn luận văn này sẽ tập trung làm rõ hai định lý trên thông qua việc trình bày công cụ dãy phổ và các kiến thức liên quan. Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 Kiến thức cơ sở. Trong chương này tôi sẽ trình bày một cách ngắn gọn các khái niệm và định lý liên quan đến đối đồng điều nhóm, tích cup, tích bện và các đồng cấu đồng điều như đồng cấu hạn chế, đồng cấu đối hạn chế, đồng cấu nâng và ánh xạ chuẩn Evens.
Chương 2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản. Trong chương này tôi sẽ trình bày về dãy phổ tổng quát và một các xây dựng dãy phổ của mở rộng nhóm có tên là dãy phổ Lyndon - Hochschild - Serre, viết tắt là dãy phổ LHS. Đồng thời trình bày các ứng dụng của dãy phổ LHS thông qua việc tính đối đồng điều nguyên và mod -2 của các nhóm đơn giản như nhóm cyclic, nhóm nhị diện tổng quát và nhóm Quaternion.
Chương 3. Đối đồng điều của nhóm nửa nhị diện. Chương này tôi sẽ tập trung vào việc chứng minh hai định lý đã nêu trên của L. Evens và S. Priddy.

Đối đồng điều nhóm là một công cụ quen thuộc trong việc khảo sát và tìm hiểu các tính chất của nhóm. Hy vọng rằng, cuốn luận văn này sẽ góp một phần nhỏ vào kho tài liệu đồ sộ về Toán của Bộ môn Đại số, cũng như của Khoa Toán - Tin học và là tài liệu tham khảo hữu ích cho những học viên tiếp tục nghiên cứu về vấn đề này.
Mục lục
Lời nói đầu 4
Bảng ký hiệu 6
1 Kiến thức cơ sở 7
1.1 Đối đồng điều nhóm 7
1.2 Tích cup . 8
1.3 Toán tử đối đồng điều . 9
1.3.1 Đồng cấu hạn chế . 9
1.3.2 Đồng cấu đối hạn chế . 10
1.3.3 Đồng cấu nâng . 12
1.4 Ánh xạ chuẩn Evens 12
1.4.1 Tích nửa trực tiếp . 12
1.4.2 Tích bện 13
1.4.3 Ánh xạ chuẩn Evens 14
2 Dãy phổ LHS và đối đồng điều của một số nhóm cơ bản 16
2.1 Dãy phổ . 16
2.1.1 Module được lọc 19
2.1.2 Dãy phổ Lyndon-Hochschild-Serre 19
2.2 Vành đối đồng điều của nhóm Cyclic . 22
2.3 Vành đối đồng điều của nhóm nhị diện D[SUB]2n[/SUB] . 23
2.3.1 Đối đồng điều nguyên . 23
2.3.2 Đối đồng điều mod-2 . 24
2.4 Vành đối đồng điều mod-2 của nhóm Q[SUB]8[/SUB] . 27
3 Đối đồng điều của nhóm nửa nhị diện 29
3.1 Đối đồng điều nguyên của SD[SUB]2n[/SUB] . 29
3.2 Đối đồng điều mod-2 của nhóm nửa nhị diện D[SUB]2n[/SUB] 38
Tài liệu tham khảo 43