Tiến Sĩ Dạy học khái niệm hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NĂM 2013



MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .1
MỤC LỤC .2
DANH MỤC TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN .8
DANH MỤC CÁC BẢNG 9
DANH MỤC HÌNH VẼ 10
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ .12
MỞ ĐẦU 13
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 13
1.1. Về bản thân đ ối tượng nghi ên cứu .13
1.2. Về quan điểm khoa học luận và s ư phạm 14
1.3. Chủ trương của Bộ GD& ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin .14
1.4. Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đ ề “hàm số liên tục” 15
1.4.1. Nghiên c ứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài15
1.4.2. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở Việt Nam .17
1.4.3. Đ ịnh hướng nghiên cứu của chúng tôi .19
2. CƠ SỞ LÝ LUẬN .19
3. MỤC TIÊU, PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .19
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC .21
5. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 21
6. NHỮNG LUẬN ĐIỂM CẦN BẢO VỆ .22
7. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN 22

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN .23
1.1. THUYẾT KIẾN TẠO .23
1.2. DIDACTIC TOÁN 24
1.2.1. Cơ sở tâm lí và giáo dục của Didactic toán 25
1.2.2. Công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán26
1.2.2.1. Phân tích khoa học luận một tri thức .26 3
1.2.2.2. Lý thuy ết nhân chủng học (théorie a nthropologique) 29
1.2.2.3. Lí thuyết tình huống 31
1.2.2.4. H ợp thức hóa ngoại vi và hợp thức hóa nội tại .36
1.3. CHƯỚNG NGẠI VÀ SAI LẦM .39
1.3.1. Chướng ngại .39
1.3.2. Sai lầm 43
1.3.2.1. Sai l ầm từ quan điểm của thuyết hành vi .43
1.3.2.2. Sai l ầm từ quan điểm của thuyết kiến tạo 43
1.3.2.3. Sai l ầm từ quan điểm của Didactic toán 44
1.4. CÁC CƠ SỞ LÍ LUẬN KHÁC 46
1.4.1. Tiến trình dạy học khái niệm toán học .46
1.4.2. Vài thuật ngữ khác về cách tiếp cận một khái niệm .49
1.4.3. Định hướng về đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THPT 49

CHƯƠNG II ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC L UẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 53
2.1. MỤC ĐÍCH CỦA CHƯƠNG .53
2.2. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊN TỤC 53
2.2.1. Giai đoạn 1: Từ Hy lạp cổ đại đến đầu thế kỷ 17 .53
2.2.1.1. Quan niệm Hy lạp cổ đ ại .53
2.2.1.2. Thời trung cổ .55
2.2.1.3. Thời phục hưng 56
2.2.1.4. K ết luận về quan niệm nguyên thủy (QNT) 57
2.2.2. Giai đoạn 2. (Thế kỷ 17 và 18): Quan niệm hình học về sự liên tục - khái niệm hàm số
liên tục là một khái niệm c ận toán học ( notion paramathématique) .57
2.2.2.1. René Descartes (1595 – 1650) và quan niệm hình học của Descartes (QHD) 57
2.2.2.2. Isaac Newton (1642 – 1727) .59
2.2.2.3. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) 59
2.2.2.4. Leonard Euler (1707 – 1783) và quan niệm hình học của Euler (QHE) .60
2.2.2.5. Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813) 63
2.2.2.6. Louis Arbogast (1759 – 1803) .64
2.2.2.7. K ết luận về quan niệm hình học 65
2.2.3. Giai đoạn 3. Từ thế kỷ 19 – Quan niệm số hóa, quan niệm tôpô .67
2.2.3.1. Joseph Fourier (1768 – 1830) 67
2.2.3.2. Bernard Bolzano (1781 – 1848) 68
2.2.3.3. Augustine Louis Cauchy (1785 – 1857) và quan niệm số hóa (QSC) 70
2.2.3.4. Peter Gustave Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) .71
2.2.3.5. Karl Weierstrass (1815 – 1897) – quan niệm số hóa của Weierstrass (QSW) 71
2.2.3.6. Bernard Riemann (1826 – 1866) .73
2.2.3.7. Richard Dedekind (1831 – 1916) .74
2.2.3.8. Quan niệm Baire (QSB) 75
2.2.3.9. Félix Haussdorff và quan niệm tôpô (QT) 76
2.2.3.10. K ết luận về quan niệm số hóa và quan niệm tôpô .76
2.3. KẾT LUẬN 80
2.3.1. Các đặc tr ưng khoa h ọc luận của khái niệm liên tục 80
2.3.2. Những chướng ngại khoa học luận đã được nhận dạng .82
2.3.3. Cơ chế hoạt đ ộng của khái niệm hàm số liên tục .82
2.3.4. Ý nghĩa triết học và toán học của khái niệm hàm số liên tục .84

CHƯƠNG III KHÁI NIỆM HÀM SỐ LIÊ N TỤC TRONG SÁCH GIÁ O KHOA Ở VIỆT NAM VÀ MỘT SỐ NƯỚC .88
3.1. MỤC ĐÍCH PHÂN TÍCH 88
3.2. PHÂN TÍCH SÁCH GIÁO KHOA VIỆT NAM 88
3.2.1. Giai đoạn ngầm ẩn 88
3.2.2. Giai đo ạn tường minh .92
3.2.2.1. Tình hu ống định nghĩa khái niệm hàm số liên tục tại một điểm .92
3.2.2.2. Tình hu ống định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn 96
3.2.2.3. Tình hu ống đưa vào các nhận xét, đ ịnh lí làm cơ sở cho sự đại số hóa tính liên tục
của hàm số 97
3.2.2.4. Tình hu ống đưa vào định lí giá trị trung gian - cơ s ở cho khái niệm hàm số liên
tục tác động với cơ ch ế công cụ.98
3.2.2.5. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học .100
3.2.2.6. D ự đoán những sai lầm và nguyên nhân .104
3.2.3. Hàm s ố liên tục ở giai đoạn sau khi được giảng dạy tường minh 105
3.2.3.1. Các tổ chức toán học và các hợp đồng dạy học .106
3.2.3.2. Dự đoán các sai lầm và nguyên nhân 107
3.2.4. Tính liên tục trong hình học .107
3.2.5. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục ở sách giáo khoa Việt Nam .108
3.3. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MAROC .110
3.3.1. Thời kì 1945 - 1960 110
3.3.2. Thời kì 1960 – 1970 .112
3.3.3. Thời kì 1970 – 1976 .113
3.3.4. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong SGK Maroc 114
3.4. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK MỸ .117
3.4.1. Giai đoạn ngầm ẩn 118
3.4.2. Giai đoạn tường minh .119
3.4.3. Kết luận về khái niệm liên tục và hàm số liên tục trong Precalculus .121
3.5. KHÁI NIỆM LIÊN TỤC VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC TRONG SGK PHÁP .123
3.5.1. Thời kỳ 1970 – 1980 .123
3.5.2. Thời kỳ 1980 - 1990 .123
3.5.3. Thời kỳ 1990 – 2000 .124
3.5.4. Thời kỳ sau năm 2000 125
3.5.5. Vài kết luận về SGK Pháp .127
3.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG III .129

CHƯƠNG IV THỰC NGHIỆM VỀ SAI LẦM CỦA HỌC SINH 131
4.1. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 131
4.2. BIẾN DẠY HỌC 131
4.3. PHẠM VI KIỂM CHỨNG SAI LẦM CỦA CÁC BÀI TOÁN 132
4.4. CÁC BÀI TOÁN THỰC NGHIỆM .132
4.4.1. Thực nghiệm A (dành cho HS lớp 10 và lớp 11) .132
4.4.2. Thực nghiệm B .134
4.5. PHÂN TÍCH TIÊN NGHIỆM 135
4.5.1. Các bài toán 1A, 2A và 5A (kiểm chứng SL1) .136
4.5.2. Các bài toán 6A và 2B (kiểm chứng SL1, SL2 và SL7) 140
4.5.3. Các bài toán 3A, 4A và 1B (kiểm chứng SL4, SL5) 143
4.5.4. Bài toán 3B (kiểm chứng SL8) .146
4.6. PHÂN TÍCH HẬU NGHIỆM .148
4.6.1. Ghi nh ận tổng quát .1496
4.6.2. Sai l ầm 1 .150
4.6.3. Sai l ầm 2 .154
4.6.4. Sai l ầm 4 và sai lầm 5 .155
4.6.5. Sai l ầm 7 .157
4.6.6. Sai l ầm 8 .158
4.7. KẾT LUẬN CHƯƠNG IV 158
CHƯƠNG V CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠ M VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM HÀM SỐ
LIÊN TỤC VÀ THỰC NGHIỆM KIỂM CHỨNG .159
A – GIẢI PHÁP SƯ PHẠM .159
5.1. CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP 159
5.2. CÁC GIẢI PHÁP SƯ PHẠM .159
5.2.1. Gi ải pháp 1: Khai thác tối đa đặc trưng khoa h ọc luận của khái niệm HSLT trong việc
tổ chức các kiến thức trong chương trình và sách giáo khoa. 159
5.2.2. Gi ải pháp 2: Tăng cường quan điểm thực nghiệm .163
5.2.3. Gi ải pháp 3: Tăng cường
ứng dụng công nghệ thông tin .166
5.2.4. Gi ải pháp 4: Khắc phục sai lầm 167
5.2.5. Gi ải pháp 5: Tổ chức dạy học theo quan điểm của thuyết kiến tạo nói chung và
phương pháp dạy học tích cực nói riêng .168
B- THỰC NGHIỆM .171
5.3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM .171
5.4. TÌNH HU ỐNG 1 173
5.4.1. Mục đích c ủa tình huống 1 .173
5.4.2. Hình thức thực nghiệm .173
5.4.3. Phân tích tiên nghiệm .175
5.4.3.1. Các biến dạy học được sử dụng trong xây dựng tình huống 1
5.4.3.2. Chi ến lược có thể dự kiến 175
5.4.3.3. Quan hệ giữa biến - chiến lược và cái có thể quan sát được .176
5.4.3.4. Phân tích kịch bản
và vi ệc vận dụng các giải pháp s ư phạm .178
5.4.4. Phân tích hậu nghiệm .179
5.4.5. Kết luận v ề tình huống 1 .183
5.5. TÌNH HU ỐNG 2 184
5.5.1. Mục đích c ủa tình huống 2 .184
5.5.2. Hình thức thực nghiệm .184
5.5.3. Phân tích tiên nghiệm .184
5.5.3.1. Các biến được sử dụng trong xây dựng t
ình huống 2 184
5.5.3.2. Chi ến lược và lời giải có thể dự kiến .184
5.5.3.3. Quan hệ giữa biến-chiến lược và cái có thể quan sát được .188
5.5.3.4. Phân tích kịch bản
và vi ệc vận dụng các giải pháp s ư phạm .189
5.5.4. Phân tích hậu nghiệm .192
5.5.5. Kết luận về tình huống 2 .194
5.6. KẾT LUẬN CHƯƠNG V .195
KẾT LUẬN .196
A. Những đóng góp của luận án 196
1. V ề lí luận 196
2. V ề thực tiễn 196
B. Kết luận .197




MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Về bản thân đối tượng nghiên cứu
Khái niệm hàm liên tục luôn chiếm một vị trí quan trọng trong giảng dạy ở bậc đại học. Nó tác động đến nhiều vấn đề trong g i ải tích (đ ạo hàm, vi phân, tích phân, phương trình vi phân, ), là cơ sở cho việc xây dựng Hình học bằng phương pháp tiên đề và là một chủ đề nghiên cứu của Tôpô. Tuy nhiên ở bậc phổ thông, đặc trưng trên rất khác biệt trong các nước. Ngay cả trong một nước, nó cũng thay đ ổi theo nh ững giai đoạn khác nhau của hệ thống dạy học.
Chẳng hạn ở Cộng hòa Pháp, thể chế dạy học toán THPT đã thể hiện nhiều lưỡng lự trong việc lựa chọn khái niệm hàm số liên tục như là đối tượng giảng dạy tường minh: từ chỗ chiếm một vị trí quan trọng trong chương trình của thời kì toán học hiện đại những năm 1970, bị loại bỏ hoàn toàn khỏi chương trình những năm 1990, và giờ đây nó l ại xuất hiện trong chương trình hi ện hành.
Ở Mỹ và một số nước nói tiếng Anh, khái niệm này vẫn được giảng dạy ở THPT,song vai trò của nó là không quan trọng và cách tiếp cận khái niệm này cũng theo những xu hướng khác nhau. Liệu có phải việc sử dụng phổ biến máy tính với các phần mềm h ỗ trợ vẽ đồ thị rất hiệu quả đã là một nguyên nhân làm lu mờ vai trò của khái niệm này với tư cách một công cụ không?
Ở Việt Nam, khái niệm HSLT luôn chi ếm một vị trí tr uyền thống trong sách giáo khoa. Với vai trò công c ụ ngầm ẩn hoặc tường minh, nó tác động đến nhiều đ ối tượng khác trong phạm vi THCS và THPT. Trong đại số và giải tích, nó là yếu tố không thể thiếu trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số, tính khả vi, tính khả tích, các bài toán về giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, các bài toán về nghiệm của phương trình Trong số học, nó là m ột yếu tố quyết định trong việc xây dựng tập số thực. Trong hình học nó cũng là một yếu tố có vai trò quan trọng khi các phép biến hình được giảng dạy đều là những ánh xạ có đặc trưng song liên tục trong không gian tôpô R. Mặc dù có phạm vi tác động rộng như thế nhưng vai trò c ủa nó dường như mờ nhạt so với các đối tượng tri thức khác. Thực tiễn dạy học ở Việt Nam cho thấy ngoài giai đoạn hiện diện tường minh ở lớp 11, nó chỉ còn đóng vai trò m ột công cụ ngầm ẩn và thường k hông được chú
ý đến.
Mặt khác, c ách tiếp cận khái niệm HSLT đã có nh ững thay đổi đáng kể giữa chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và chương trình hi ện hành. Những ghi nhận trên làm nảy sinh ở chúng tôi những câu hỏi khởi đầu sau đây về khái niệm HSLT:
Vì sao lại có sự khác biệt như vậy giữa dạy học ở bậc đại học và bậc phổ thông? Ở bậc phổ thông, vì sao có những tiếp cận khác nhau về khái niệm HSLT gi ữa các nước và ngay cả những thời kì khác nhau ở trong cùng một nước? Những lựa chọn khác nhau đó dựa trên những cơ sở nào? Cách tiếp cận khác nhau như v ậy ảnh hưởng thế nào trên quan niệm của giáo viên và học sinh về khái niệm này?

1.2. Về quan điểm khoa học luận và sư phạm
Quan điểm khoa học luận và sư phạm đang phổ biến hiện nay trong nhiều nước là: thực hi ện một sự dạy học thỏa mãn hơn khoa học luận và tôn trọng hơn qui trình nhận thức của học sinh.
Chắc chắn không thể tổ chức dạy học một tri thức giống như tiến trình nảy sinh và tiến triển của nó trong lịch sử toán học. Nhưng theo quan điểm trên, tron g những hoàn c ảnh cụ thể, với những tri thức cụ thể, cần hư ớng đến tri thức được giảng dạy có được nhiều nhất có thể những đặc trưng như nó đã từng có trong lịch sử phát triển toán học, đồng thời đảm bảo những ràng buộc của thể chế như: hạn chế về thời gia n, h ạn chế về mặt phát triển tâm lí và trí tuệ của chủ thể - người học, Từ đó, việc soạn thảo chương trình và sách giáo khoa, cũng nh ư việc dạy học toán ở trường phổ thông phải tính đến những đặc trưng khoa học luận của đối tượng tri thức
c ần giảng dạy và khả n ăng nhận thức của HS về đối tượng này. Như vậy, cần thiết phải có những nghiên cứu về khoa học luận l ịch sử toán học và những nghiên cứu sư phạm gắn liền với đối tượng tri thức. Ở đây, chúng tôi chọn nghiên cứu khái niệm HSLT như
là m ột minh họa cho tiếp cận theo quan điểm trên.

1.3. Chủ trương của Bộ GD&ĐT về tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin
Chủ trương của Bộ GD&ĐT đã khẳng định:
“Đẩy mạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin trong trường phổ thông nhằm đổi mới phương pháp dạy và học theo hướng
giáo viên tự tích hợp CNTT vào từng môn học thay vì học trong môn tin học. Giáo viên các bộ môn chủ động tự soạn và tự chọn tài liệu và phần mềm (mã ngu ồn mở) để giảng dạy ứng dụng CNTT” (Theo Quyết định số 698/QĐ -TTg ngày 01/6/2009 của Thủ
tướng Chính phủ ).
Đổi mới phương pháp dạy học theo quan niệm CNTT và truyền thông là xu hướng tất yếu . CNTT là một trong các tác nhân hiệu quả góp ph ần đổi mới phương pháp dạy học, chuyển từ truyền thụ một chiều, học tập thụ động sang học tập tích cực, chủ động, sáng tạo. CNTT còn tạo một môi trường tương tác để người học học tập thông qua hoạt động và thích nghi với môi trường. Việc học tập diễn ra trong quá trình hoạt động và thích nghi đó. Nó còn tạo điều kiện để người học hoạt động độc lập nhưng vẫn đảm bảo mối liên hệ ngược trong quá trình dạy học. Như v ậy, ứng dụng CNTT là một công cụ hỗ trợ quan trọng cho việc vận dụng các mô hình học tập theo quan điểm kiến tạo hoặc mô hình “tình huống học tập lý tưởng” theo quan điểm của Didactic Toán. Ở Việt Nam, mặc dù đã có chủ trương, song ứng dụng CNTT chưa được cụ thể hóa thành những nội dung c ụ thể trong CT và SGK toán như trong một số n ước khác (Pháp và Mĩ, ), nó chỉ mới
dừng lại ở yêu cầu GV “tự thân” tăng cư ờng vận dụng CNTT vào hoạt động dạy học của mình. Nói cách khác, không có sự đan xen nội dung tin học vào nội dung môn toán. Tin học và toán học vẫn hình thành nên các môn học độc lập nhau. Ngoài ra, nhi ều nghiên cứu cho thấy, các đối tượng kiến thức của giải tích (giới hạn, liên tục, đạo hàm, tích phân, ) hình thành n ên vùng đất phong phú cho phép tiếp cận
CNTT. Những khái niệm Giải tích này, mặc dầu có tính trừu tượng cao, nhưng ở trường phổ thông chúng đều nảy sinh nh ư là kết quả của mô hình hóa thực tế rất trực quan và sống động. Đặc trưng này là một thuận lợi cho ứng dụng CNTT trong thiết kế các tình
huống dạy học khái niệm Giải tích theo hướng tiếp cận trực giác, có thể mang lại “nghĩa đúng” hơn cho khái niệm.
1.4. Tổng quan về các nghiên cứu trên chủ đề “hàm số liên tục”
1.4.1. Nghiên cứu về khái niệm hàm số liên tục ở nước ngoài
Ở cấp độ đại học tại nhiều nước, khái niệm hàm s ố liên tục được đề cập qua nhiều nghiên cứu khác nhau. Nó hình thành nên một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong Giải tích và Tôpô vì phạm vi tác động rộng của nó.
Ở bậc trung học ở các nước nói tiếng Anh, khái niệm HSLT cũng là một vấn đề thu hút được nhiều quan tâm. Đa số các nghiên cứu đều được tiếp cận từ góc độ nhận thức, chủ xướng là David Orme Tall - nhà giáo dục học người Anh. Trong bài báo khoa học