Thạc Sĩ Dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông

Đề tài: Dạy học giới hạn vô cực của hàm số ở trường phổ thông
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK: Sách giáo khoa
SGV: Sách giaó viên
SGKHH: Các sách giáo khoa hiện hành
SGVHH: Các sách giáo viên hiện hành
SCL: Sách giaó khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000
CTCLHN: Chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000
CTHH: Chương trình hiện hành
SGK.C11: Sách giáo khoa đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGK.N11: Sách giáo khoa đại số và giải tích nâng cao lớp 11
SGV.C11: Sách giáo viên đại số và giải tích cơ bản lớp 11
SGV.N11: Sách giáo viên đại số và giải tích nâng cao lớp 11
SGK.C12: Sách giáo khoa giải tích cơ bản lớp 12
SGK.N12: Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 12
SGV.C12: Sách giáo viên giải tích cơ bản lớp 12
SGV.N12: Sách giáo viên giải tích nâng cao lớp 12
SGKCB: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ
bản.
SGVCB: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 cơ bản và Sách giáo khoa giải tích lớp 12 cơ
bản.
SGKNC: Sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12
nâng cao.
SGVNC: Sách giáo viên đại số và giải tích lớp 11 nâng cao và Sách giáo khoa giải tích lớp 12
nâng cao.
SKG Mỹ: Sách giáo khoa Mỹ
KNV: Kiểu nhiệm vụ
NV: Nhiệm vụ LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN – SĐH, Khoa Toán-Tin Trường ĐHSP TP.HCM
đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi được học tập, nghiên cứu trong suốt khóa học.
- Ban giám hiệu và các thầy cô, đồng nghiệp ở Trường THPT Bình Sơn, tỉnh Kiên Giang đã
tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và luôn động viên để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình.
- Tất cả các bạn cùng khóa, những người đã cùng tôi học tập và nghiên cứu về didactic toán
trong suốt khóa học.
- Ban Giám hiệu cùng các thầy, cô Trường THPT Bình Sơn, Trường THPT Hòn Đất, tỉnh
Kiên Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.
Trân trọng cảm ơn:
- PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần
Lương Công Khanh, đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất
thú vị về didactic toán, đóng góp cho chúng tôi những chỉ dẫn cần thiết và hiệu quả để thực hiện
việc nghiên cứu.
- GS.TS Annie BESSOT, GS.TS Claude COMITI đã cho chúng tôi những nhận xét và gợi ý
hữu ích để thực hiện nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, người đã nhiệt tình
hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong gia đình đã
luôn động viên và nâng đỡ tôi về mọi mặt.
Nguyễn Thị Kim Cúc MỞ ĐẦU
I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát:
Các nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lý hợp nhất (từ 2000-
2006) cho thấy rằng học sinh chỉ hiểu khái niệm giới hạn như là việc thực hiện các thao tác đại số
trên biểu thức để tính giới hạn (Lê Thái Bảo Thiên Trung 2004).
Trong chương trình hiện hành, khái niệm giới hạn được đưa vào chương IV sách giáo khoa
lớp 11 với mục tiêu của chương là “ đưa vào các khái niệm cơ sở của giải tích (giới hạn dãy số, giới
hạn hàm số, hàm số liên tục) qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô
hạn và liên tục”.
Theo Lê Văn Tiến (năm 2000) thì khái niệm giới hạn là khái niệm cơ sở của giải tích, những
kĩ thuật đặc trưng của giải tích là: chặn trên, chặn dưới, xấp xỉ và dấu ấn nổi bật của tư tưởng xấp xỉ
dường như chỉ xuất hiện trong một số định nghĩa khái niệm giới hạn theo ngôn ngữ  , hay  , N .
Tuy nhiên vì mục đích giảm tải sách giáo viên Toán 11 của chương trình hiện hành nêu chú ý rằng :
“không định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số bằng ngôn ngữ  , ”.
Các thực nghiệm trong các nghiên cứu của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nguyễn Thành
Long (2004) đối với chương trình chỉnh lý hợp nhất và Lê Thành Đạt (2011) đối với chương trình
hiện hành chỉ giới hạn trên khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Như vậy, sự tiến triển của
chương trình (từ chỉnh lý hợp nhất đến hiện hành) và các nghiên cứu riêng biệt trên khái niệm giới
hạn vô cực chưa được quan tâm đúng mức.
Trên cơ sở đó chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu như sau:
- Khái niệm giới hạn vô cực của hàm số trong các sách giáo khoa hiện hành (SGKHH) có
tiến triển gì so với sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất 2000(SCL)? Học sinh có “bước đầu hình
thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục” như thể chế mong muốn
không?
- Mối quan hệ giữa khái niệm giới hạn vô cực với các khái niệm liên quan khác như: khái
niệm hàm số không liên tục tại một điểm, khái niệm tiệm cận, vai trò của giới hạn vô cực của
hàm số trong bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số được các sách giáo khoa hiện hành
tính đến như thế nào?
- Trong thời đại công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ như hiện nay, khi mà hầu như mỗi
học sinh đều có một máy tính bỏ túi thì vai trò của máy tình bỏ túi có được sách giáo khoa tính đến
trong việc dạy học các khái niệm giới hạn vô cực của hàm số không, nếu có thì được tính đến như
thế nào?
II. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi lựa chọn phạm vi lý thuyết tham chiếu là: - Lý thuyết nhân học, nhằm:
+ Tổng hợp phân tích các đặc trưng khoa học luận và chướng ngại khoa học luận của
các khái niệm giới hạn trong các luận văn đã có.
+ Tổng hợp các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong SCL.
+ Phân tích các quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, các tổ chức toán học trong các SGK
hiện hành.
- Lý thuyết về học tập - sai lầm, nhằm giải thích các quy tắc hành động sai lầm của học sinh.
- Lí thuyết tình huống để: xây dựng các tình huống thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả
thuyết đưa ra trong quá trình nghiên cứu.
III. Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của chúng tôi là nhằm làm rõ sự tiến triển thể chế đối với khái niệm
giới hạn vô cực của hàm số từ chương trình chỉnh lý hợp nhất (2000) đến chương trình hiện hành
(2006), từ đó xác định một phần mối quan hệ thể chế đối với khái niệm này trong chương trình hiện
hành. Việc xác định mối quan hệ thể chế bằng cách phân tích các SGK và ảnh hưởng của mối quan
hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân của học sinh thông qua thực nghiệm cho phép hiểu được thực
trạng của việc dạy học khái niệm này để từ đó có cách cải tiến cho phù hợp.
Phương pháp nghiên cứu:
- Tổng hợp các công trình nghiên cứu để rút ra chướng ngại khoa học luận và đặc trưng khoa
học luận của khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Tổng hợp quan hệ thể chế, quan hệ cá
nhân đối với khái niệm giới hạn trong các luận văn đã nghiên cứu.
- Sử dụng những đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn làm tri thức tham chiếu để
phân tích chương trình, sách giáo khoa hiện hành để làm rõ mối quan hệ thể chế, mối quan hê
cá nhân đối với khái niệm giới hạn.
- Trên cơ sở phân tích chướng ngại khoa học luận, phân tích các mối quan hệ thể chế ở trên
chúng tôi xây dựng thực nghiệm nhằm kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra trong quá trình
phân tích.
- Từ việc phân tích quan hệ thể chế với yêu tố tin học, máy tính bỏ túi và quan hệ thể chế đối
với khái niệm giới hạn xây dựng và thực hiện công đoạn dạy học khái niệm giới hạn theo
quan điểm xấp xỉ trong môi trường máy tính bỏ túi.
IV. Tổ chức của luận văn
Phần mở đầu: chúng tôi trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích và
phương pháp nghiên cứu, tổ chức của luận văn. Chương 1: TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ
Trình bày tổng hợp nghiên cứu tri thức ở cấp độ tri thức khoa học và quan hệ cá nhân, quan
hệ thể chế từ việc nghiên cứu các công trình sau:
+ Luận án và luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004, 2007).
+ Luận văn của Nguyễn Thành Long (2004).
+ Luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005).
Từ đó đưa ra các kết luận và các câu hỏi nghiên cứu.
Chương 2: GIỚI HẠN VÔ CỰC TRONG THỂ CHẾ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VIỆT
NAM HIỆN HÀNH
Tiến hành phân tích sâu chương trình và SGK toán phổ thông Việt Nam nhằm trả lời các câu
hỏi nghiên cứu về việc làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng giới hạn. Đồng thời xem xét sự lựa
chọn khác của một SGK của Mỹ.
Ở phần cuối của chương, chúng tôi đề xuất các giả thuyết nghiên cứu.
Chương 3: THỰC NGHIỆM
Trình bày thực nghiệm kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết đã nêu.
Phần kết luận : Tóm tắt những kết quả đã nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu mới mở
ra từ luận văn. CHƯƠNG 1:
TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÓ
Mục tiêu của chương :
Để làm tham chiếu cho việc phân tích thể chế ở chương 2, ở chương này chúng tôi tổng hợp các kết
quả nghiên cứu đã có về giới hạn trên các phương diện :
- Khoa học luân.
- Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn vô hạn của chương trình chỉnh lí hợp nhất 2000.
- Các đồ án didactic đã xây dựng.
- Quan niệm của giáo viên và học sinh về vô hạn trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm
2000.
- Mối liên quan của sự tiến triển của chương trình đến vai trò và vị trí của máy tính bỏ túi, vai
trò của máy tính bỏ túi trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000.
- Và xem xét những khái niệm liên quan đến khái niệm giới hạn vô cực của hàm số.
Trên cơ sở đó đặt ra các câu hỏi mới cho các nghiên cứu tiếp theo của chúng tôi.
1.1. Phương diện khoa học luận
Dựa vào các nghiên cứu đã có của Cornu (1983), luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung
(2004) đã đạt được những kết quả sau:
Tổng kết và đặt tên lại ba quan điểm khoa học luận về khái niệm vô hạn:
 Quan điểm đại số: Nó vận hành theo nguyên tắc “ không làm rõ bản chất của đối
tượng mà nó vận hành” (Dahan-Dalmedico, 1982)
 Quan điểm xấp xỉ x: “Chính là biến số sẽ kéo hàm số”
“ Nếu một đại lượng x tiến về một giá trị a của đại lượng này ( theo nghĩa x nhận các
gía trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y, đại lượng phụ thuộc vào đại lượng
x (y là một hàm số của đại lượng x) tiến về một giá trị b. Nếu x dần dần xích gần lại
giá trị a, đại lượng y xích gần lại b”.
 Quan điểm xấp xỉ f(x): “Chính là độ xấp xỉ mong muốn sẽ kéo biến số”
(Bkouche, 1996)
“Quan điểm này được minh họa bởi sự xấp xỉ thập phân của một số a bằng một dãy
các số thập phân (an)” (Lê Thái Bảo Thiên Trung, 2004)
Định nghĩa bằng ngôn ngữ (ε, δ) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa của khái niệm
xấp xỉ này (Bkouche, 1996) Nếu trong quan điểm xấp xí x, biến số sẽ kéo hàm số thì trong quan điểm xấp xỉ f(x),
chính độ xấp xỉ mong muốn của f(x) sẽ qui định độ xấp xỉ của x.(trang 3)
Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn là khía cạnh vô hạn được
Cornu (1983) cụ thể thành một số chướng ngại như sau:
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: làm sao chắc chắn được rằng một số
tồn tại nếu ta không tính được nó, làm sao suy luận trên các tiến trình vô hạn. Đây lại là một
kiểu mới của những suy luận toán học đòi hỏi phải áp dụng.
- Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại lượng chưa
bằng không, nhưng chúng không thể gán được nữa? có tồn tại hay không các đại lượng “tan
dần” mà chỉ qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả
các đại lượng dương cho trước thì bằng không.
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không?
- Các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu; một tổng vô hạn có thể là một số hữu hạn;
hai đại lượng tiến về không nhưng tỷ số của chúng lại tiến về một lượng hữu hạn. (trang 2)
Nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái
niệm giới hạn sau đây:
- OM1 đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại bằng các thao tác đại
số.
- OM2 tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số.
Hai TCTH này đã được Lê Thái Bảo Thiên Trung (năm 2004) làm rõ như sau:
“Đại số các giới hạn (OM1) là kết quả của việc mô hình hóa các quy tắc đại số về sự chuyển
qua giới hạn trong các phép toán hàm số. OM1, xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, xuất
phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của
những hàm số quen thuộc. Vấn đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm
số f(x) khi x->a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm
hay vô cực. Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản dựa trên sự thực hiện
các thao tác đại số trên biểu thức f(x). Công nghệ tối thiểu của OM1 gỉai thích cho các kĩ thuật có
thể được miêu tả, chẳng hạn, bằng một hệ thống tiên đề của Lang trong quyển Calculus(1986). OM1
cho phép tránh vấn đề vô hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu lim f (x)
xa
hoặc với một số thực
hoặc với vô cùng.
OM2, xoay quanh bản chất topo của khái niệm giới hạn, có ý định muốn đề cập đến bản
chất của đối tượng “giới hạn hàm số” và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một kiểu xác định các hàm số. Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn
tại hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn hay vô cực;
xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự tồn tại hay không tồn tại các
giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp xác định các hàm số; chứng minh các tính chất
về các phép toán trên các giá trị giới hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh
các quy tắc tính toán, là công nghệ tối thiểu của OM1. Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho
các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử dụng các tính chất
giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn ngữ ,  .
Như vậy có thể nói OM1 là một phần chứa trong OM2. Hai TCTH này chứa đựng một hệ
thống lý thuyết nhỏ xoay quanh vấn đề xây dựng các số thực. Hai TCTH địa phương này được kết
hợp trong một miền trả lời, chẳng hạn cho câu hỏi về sự khả vi của một kiểu hàm số, hay trả lời cho
câu hỏi về sự khả tích.
Người ta sử dụng cấu trúc đã mô tả của TCTH tham chiếu để giải thích cho TCTH cần giảng
dạy bằng cách xác định:
- Những gì là dấu vết của OM1 trong thể chế dạy học
- Những gì là dấu vết của OM2 trong thể chế dạy học
1.2. Phương diện thể chế:
Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) đã thực hiện nghiên cứu trên
chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã đưa ra những kết luận như sau:
1.2.1 Về chương trình:
- Tiến trình đưa vào khái niệm giới hạn là: Giới hạn dãy số  Giới hạn hàm số Hàm số liên
tục.
- Giới hạn dãy số được khẳng định là công cụ để định nghĩa giới hạn hàm số. Chương trình
còn yêu cầu không dùng ngôn ngữ  , để định nghĩa giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và
yêu cầu thừa nhận, không chứng minh các định lý về giới hạn.
Như vậy chương trình năm 2000 đã yêu cầu nhấn mạnh quan điểm đại số của khái niệm giới hạn
và tránh quan điểm xấp xỉ.
 Còn chương trình hiện hành thì sao?
1.2.2 Về lý thuyết:
- Khái niệm dãy số có giới hạn là a được đưa ra theo hình thức ngôn ngữ  ,  dựa vào việc
kết hợp minh họa hình học, thao tác đại số trên khoảng cách, thao tác với  ,  . Định nghĩa
này thể hiện quan điểm xấp xỉ x và quan điểm xấp xỉ f(x). Như vậy ở đây có sự mâu thuẫn giữa chương trình và SGK, chương trình yêu cầu không dùng ngôn ngữ  , để định nghĩa
giới hạn nhưng SGK vẫn dùng ngôn ngữ hình thức này.
- Các định lí về giới hạn dãy số được đưa ra nhưng không chứng minh.
- Khái niệm dãy số dần tới vô cực được định nghĩa bằng ngôn ngữ (M,N) sau khi xét một dãy
số mà dạng khai triển của nó cho thấy
n
u có thể lớn bao nhiêu tùy ý miễn là n đủ lớn.
- Khái niệm giới hạn hàm số: “Sách giáo khoa định nghĩa giới hạn của hàm số f(x) khi x dần
tới a thông qua giới hạn của hàm số (f(xn)) và (xn)”, như vậy đã né tránh quan điểm xấp xỉ
f(x) mà nhấn mạnh quan điểm xấp xỉ x.
- Sách giáo khoa còn giới thiệu tường minh các dạng vô định:
0
0
; ; 0 à y x
0
v khi x x ha

       

.
- Trong sách giáo khoa tồn tại kí hiệu  và không phân biệt   và + ,  tùy trường hợp có
thể được hiểu là  hoặc 
- lim ( )
x a
f x

  (a hữu hạn hoặc vô hạn) chỉ là kí hiệu, viết như thế thực ra hàm số f(x) không có
giới hạn khi x dần đến a.
 Các yếu tố này được thể hiện trong phần giới hạn vô cực của hàm số ở SGK hiện
hành như thế nào?
Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Phương Mai (2004) về “Quan niệm của giáo viên và học sinh
về khái niệm vô hạn” thì trong SGKCL có hiện tượng thiếu công nghệ. Cụ thể SCL không đưa
vào các định lí sau nhưng trong bài giải của SGV hoặc SGK lại có sử dụng chúng:
1. Nếu
3
3
lim ì lim n n
u a th u a  
2. Nếu lim ( 0) à lim 0 ì lim n
n n
n
u
u a a v v th
v
     (SCL chỉ xét trường hợp a=1)
3. Nếu lim ì lim n n
u th u C      , với C là hằng số.
4. Nếu lim ì lim( )
k
n n
u th u     , với k nguyên dương.
5. Nếu
2 1
lim ì lim k
n n
u th u     
, với k nguyên dương.
6. Nếu
n
lim à lim ì limu
n n n
u v u th v       .
7. Nếu
n
lim ( 0) à lim ì limu
n n n
u a a v u th v      
8. Đại số các vô cực: