Tiến Sĩ Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số

ii


























LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Nguyễn
Văn Khang và TS Trần Đình Sơn đã tận tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt
thời gian thực hiện luận án.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy và đào
tạo trong quá trình học nghiên cứu sinh. Tôi xin cảm ơn Viện Cơ học, Học viện
Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn Lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã tạo
điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án.
Tôi xin bày tỏ sự cảm ơn tới đơn vị công tác là Bộ môn Cơ lý thuyết, Khoa
Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất đã ủng hộ, tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh.
Xin cảm ơn ThS Dương Văn Lạc và Kỹ sư Trương Quốc Chiến, cảm ơn
gia đình và bạn bè đã khích lệ, động viên và giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn
thành tốt luận án này. iii



DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

n, N số nguyên dương
, , , , p q r
 
,Q số bất kỳ
    n
f t
đạo hàm cấp n của hàm f
  p
a
D f t đạo hàm và tích phân cấp phân số p của hàm f
  G p
a
D f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –
Letnikov
  R p
a
D f t đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –
Liouville
  C p
a
D f t đạo hàm cấp phân số theo Caputo
  W p
D f t  tích phân cấp phân số theo Weyl
  _
0
D E p
D f t đạo hàm cấp phân số theo Davision – Es***
  .  hàm Gamma
  .  hàm Bêta
  .

 hàm Mittag – Leffler một tham số
  ,
. E
 
hàm Mittag – Leffler hai tham số
. Trung bình theo thời gian
x Đạo hàm theo thời gian của x
MPS Mô phỏng số
1



MỤC LỤC

Lời cam đoan . i
Lời cảm ơn . ii
Danh mục các từ viết tắt . iii
Mục lục . 1
Danh mục hình 3
Mở đầu . 6
Chương 1. Mô hình đàn nhớt cấp phân số . 11
1.1. Một số kiến thức bổ trợ . 11
1.1.1. Khái niệm và định nghĩa mở đầu đạo hàm và tích phân cấp nguyên . 11
1.1.2. Hàm Gamma . 12
1.1.3. Hàm Mittag – Leffler 16
1.1.4. Biểu thức hợp nhất giữa đạo hàm và tích phân cấp nguyên . 18
1.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số . 21
1.2.1. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Riemann –
Liouville . 21
1.2.2. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo Grünwald –
Letnikov . 22
1.2.3. Định nghĩa đạo hàm cấp phân số theo Caputo . 24
1.2.4. Định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số theo hàm biến phức . 25
1.2.5. Một số định nghĩa đạo hàm và tích phân cấp phân số khác . 28
1.3. Mô hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính 29
1.3.1. Mô hình Kelvin – Voigh cấp phân số (3 tham số c, k, α) . 30
1.3.2. Mô hình Maxwell cấp phân số (3 tham số c, k, α) . 31
1.3.3. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn cấp phân số (4 tham số c, k 1 , k 2 , α) . 32
1.3.4. Mô hình đàn nhớt của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số . 33
1.4. Mô hình đàn nhớt cấp phân số phi tuyến . 35
1.5. Kết luận chương 1 38
Chương 2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
bằng phương pháp số 39 2



2.1. Phương pháp Newmark tính toán dao động của hệ động lực cấp ba 39
2.1.1. Ý tưởng của phương pháp Newmark . 39
2.1.2. Tính toán dao động tuyến tính hệ cấp ba 41
2.1.3. Tính toán dao động phi tuyến hệ cấp ba . 41
2.1.4. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 42
2.2. Phương pháp Runge – Kutta tính toán dao động của hệ động lực cấp một 51
2.2.1. Ý tưởng của phương pháp Runge – Kutta 51
2.2.2. Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số 52
2.3. Kết luận chương 2 . 62
Chương 3. Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận 64
3.1. Dao động cộng hưởng của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số 64
3.1.1. Dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ Duffing cấp ba có chứa đạo
hàm cấp phân số . 64
3.1.2. Dao động cộng hưởng của hệ van der Pol cưỡng bức cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số 73
3.2. Dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 82
3.2.1. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát Coulomb và cản nhớt theo luật
đạo hàm cấp phân số 82
3.2.2. Dao động cộng hưởng của hệ có ma sát động và cản nhớt theo luật đạo
hàm cấp phân số . 95
3.3. Kết luận chương 3 . 108
Kết luận chung và những đóng góp mới của luận án 109
Danh mục các công trình đã công bố 111
Tài liệu tham khảo 112
3



DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Chu tuyến L 26
Hình 1.2. Chu tuyến tích phân gồm L 1 , L 2 và γ . 27
Hình 1.3. Mô hình đàn hồi tuyến tính   0
.E D
 
 30
Hình 1.4. Mô hình nhớt tuyến tính cấp nguyên   1
.D
  
 30
Hình 1.5. Mô hình nhớt tuyến tính cấp phân số   .
t
c D
  
 . 30
Hình 1.6. Mô hình Kelvin – Voigh 30
Hình 1.7. Phân tích lực . 30
Hình 1.8. Mô hình Maxwell . 31
Hình 1.9. Phân tích lực . 31
Hình 1.10. Mô hình tuyến tính tiêu chuẩn 32
Hình 1.11. Phân tích lực . 32
Hình 1.12. Mô hình ô tô . 33
Hình 1.13. Phân tích lực . 33
Hình 1.14. Mô hình giá treo ô tô 34
Hình 1.15. Phân tích lực . 34
Hình 1.16. Mô hình cổ điển 35
Hình 1.17. Mô hình mới . 35
Hình 1.18. Hệ dao động chịu kích động va đập . 36
Hình 1.19. So sánh mô hình lý thuyết IIa và thực nghiệm với h = 30mm . 37
Hình 1.20. So sánh mô hình lý thuyết IIIc và thực nghiệm với h = 60mm 38
Hình 2.1. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0 p a b c f      . 45
Hình 2.2. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin
3
p a b c f t

 
       
 
. 46
Hình 2.3. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 10, 1, 10 p a b c     . 46 4



Hình 2.4. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 1, 1, 1, 0 p a b c f      49
Hình 2.5. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 1, 1, 1, sin
3
p a b c f t

 
       
 
50
Hình 2.6. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 1.5, 10, 1, 10 p a b c     . 51
Hình 2.7. Xấp xỉ tích phân bởi công thức hình thang 54
Hình 2.8. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, 0 p a b c f      . 56
Hình 2.9. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm cấp
phân số 0.5, 1.3, 0.5, 0.25, sin
3
p a b c f t

 
       
 
. 57
Hình 2.10. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, 0 p a b c f      . 61
Hình 2.11. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 1, 1, 1, sin
3
p a b c f t

 
       
 
61
Hình 2.12. Dịch chuyển theo thời gian của hệ dao động cấp ba có chứa đạo hàm
cấp phân số 1.5, 10, 1, 10 p a b c     62
Hình 3.1. Đường cong biên độ tần số khi
p

thay đổi . 70
Hình 3.2. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.25
p
p
  . 71
Hình 3.3. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0
p
p
  . 71
Hình 3.4. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25
p
p
  71
Hình 3.5. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0
p
p
  72
Hình 3.6. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi . 72
Hình 3.7. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 0.5; 0.5
p
p
  73
Hình 3.8. Đường cong biên độ tần số khi
p

thay đổi . 79
Hình 3.9. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 79 5



Hình 3.10. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.5
p
p
  80
Hình 3.11. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.25
p
p
  80
Hình 3.12. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.5
p
p
  81
Hình 3.13. Đường cong biên độ tần số khi 1; 0.75
p
p
  81
Hình 3.14. Đường cong biên độ tần số khi E thay đổi . 82
Hình 3.15. Đường cong biên độ tần số kết hợp MPS khi 1; 0.5
p
p
  82
Hình 3.16. Đường cong biên độ tần số khi
p

thay đổi . 92
Hình 3.17. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 93
Hình 3.18. Đường cong biên độ tần số khi
0
h thay đổi 93
Hình 3.19. Đường cong biên độ tần số khi 0.01; 0.5
p
p
  . 94
Hình 3.20. Đường cong biên độ tần số khi MPS 0.01; 0.5
p
p
  94
Hình 3.21. Đường cong biên độ tần số khi 0; 0.5
p
p
  94
Hình 3.22. Đường cong biên độ tần số MPS khi 0; 0.5
p
p
  . 95
Hình 3.23. Đường cong biên độ tần số khi
p

thay đổi . 104
Hình 3.24. Đường cong biên độ tần số khi p thay đổi 105
Hình 3.25. Đường cong biên độ tần số khi
2
h thay đổi 105
Hình 3.26. Đường cong biên độ tần số khi
2
0; 0.5; 0.01
p
p h

   106
Hình 3.27. Đường cong biên độ tần số khi
2
0.01; 0.5; 0.01
p
p h

   . 107
Hình 3.28. Đường cong biên độ tần số khi
2
0.01; 0.5; 0.1
p
p h

   . 107
Hình 3.29. Đường cong biên độ tần số MPS khi
2
0.01; 0.5; 0.005
p
p h

   108
6



MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Trong kỹ thuật, nhiều máy và công trình được thiết kế, cấu tạo dựa trên các
mô hình giảm chấn đàn nhớt cấp nguyên Kelvin-Voigt, mô hình Maxwell và mô
hình tuyến tính tiêu chuẩn Tuy nhiên với sự phát triển của khoa học công nghệ nói
chung và cơ học nói riêng, càng ngày càng có nhiều vật liệu mới ra đời (như cao su
tổng hợp, silicone ), những mô hình đàn nhớt cổ điển với đạo hàm cấp nguyên
không thể hiện được đầy đủ tính chất của vật liệu. Do đó xuất hiện các mô hình đàn
nhớt cấp phân số.
Với các vật liệu mới, các mô hình giảm chấn được tính toán với phần tử đạo
hàm cấp phân số. Từ các bài toán thực tế ta đã biết rằng đối với những biến dạng
lớn, tính phi tuyến của vật liệu xuất hiện. Quy luật dao động của cơ hệ không còn
đơn thuần là quy luật tuyến tính, thay vào đó là quy luật phi tuyến. Do đó các nhà
khoa học cần phải có sự nghiên cứu chuyên sâu về dao động phi tuyến của cơ hệ có
đạo hàm cấp phân số để thiết kế những công trình, máy móc tối ưu phục vụ nhu cầu
cuộc sống. Việc thiết lập và giải các phương trình vi phân mô tả đặc tính dao động
phi tuyến của cơ hệ là rất cần thiết trong kỹ thuật hiện đại.
2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài
Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu các hệ dao động cơ học được
biểu diễn về mặt toán học bởi các phương trình vi phân có chứa đạo hàm cấp phân
số. Cụ thể, tìm nghiệm của các phương trình vi phân dao động phi tuyến của một số
hệ đàn nhớt có chứa đạo hàm cấp phân số.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu của đề tài
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các hệ dao động được biểu diễn bởi các
phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số. Các hệ cơ học được mô
tả về mặt toán học bằng các phương trình vi phân cấp ba được gọi là các hệ động
lực cấp ba. Thuật ngữ này do GS.Nguyễn Văn Đạo sử dụng đầu tiên ở nước ta.
Nội dung nghiên cứu là sử dụng phương pháp số Newmark, phương pháp số
Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận tìm nghiệm phương trình vi phân dao động
phi tuyến của một số cơ hệ đàn nhớt cấp ba có đạo hàm cấp phân số, tìm ra tính chất
dao động mới của cơ hệ. 7



4. Tổng quan về vấn đề nghiên cứu
Lý thuyết về đạo hàm cấp không nguyên được đề cấp đến trong ghi chú của
Leibniz gửi tới L’Hospital [44] vào ngày 30 tháng 09 năm 1695, trong đó ý nghĩa
về đạo hàm cấp ½ đã được thảo luận.
Khi trả lời câu hỏi của L’Hospital, biểu thức đạo hàm
n
n
d
dx
có ý nghĩa như
thế nào khi
1
2
n  , Leibniz đã trả lời “sẽ dẫn đến một mâu thuẫn”.Ông cũng viết
thêm “Từ mâu thuẫn này đến một ngày nào đó sẽ có những kết luận hữu ích”.
Ghi chú của Leibniz dẫn tới sự xuất hiện của lý thuyết đạo hàm và tích phân
cấp phân số vào cuối thế kỷ XIX và được đưa ra bởi Liouville, Grünwald, Letnikov
và Riemann. Cái nhìn tổng quát về lịch sử của lý thuyết đạo hàm cấp phân số có thể
được tìm thấy trong các tài liệu [46], [53], [57].
Năm 1819, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp n với n là số tùy ý được đề
cập đến. Trong cuốn sách về phép tính vi phân và tích phân dày hơn 700 trang của
Lacroix, ông đã để gần hai trang bàn về đề tài này. Ông đã trình bày cách tính đạo
hàm   n
y x x  và viết
 
 
!
!
m
n m
m
d n
y x x
n m dx
 

(với ,n m là số nguyên và với
1
2
m  )
Khoảng giữa các năm 1832 đến 1835, Liouville đã công bố một vài bài báo
về vấn đề này. Năm 1847, Riemann đã đưa ra định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa
theo các công trình của Liouville. Năm 1967, Caputo đưa ra một phương án mới về
định nghĩa đạo hàm cấp phân số.
Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm cấp phân số được phát triển chủ
yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các nhà
toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm
và tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu
thực khác nhau, chẳng hạn như polymer. Họ cũng chỉ ra rằng những mô hình cấp
phân số mới thích hợp hơn những mô hình cấp nguyên đã được sử dụng trước đó.
Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các mô hình dựa trên đạo hàm
cấp không nguyên là hợp lý và phù hợp [15]. 8



Đạo hàm cấp phân số cung cấp một công cụ mới để mô tả bộ nhớ và tính
chất di truyền của những vật liệu và quá trình khác nhau. Đây là ưu điểm chính của
đạo hàm cấp phân số so với những mô hình đạo hàm cấp nguyên cổ điển, trong đó
những ảnh hưởng như vậy trong thực tế bị bỏ qua.
Việc mô hình toán học và mô phỏng các cơ hệ và các quá trình, dựa trên sự
mô tả những tính chất của chúng thông qua đạo hàm cấp phân số, tất nhiên sẽ dẫn
tới những phương trình vi phân cấp phân số và dẫn tới sự cần thiết phải giải những
phương trình như vậy. Tuy nhiên, không thể tìm được những phương pháp tổng
quát để giải.
Vài thập kỷ gần đây, nhiều ứng dụng của đạo hàm cấp phân số trong lĩnh vực
cơ học đã được quan tâm nghiên cứu. Ví dụ những bài báo cổ điển của Bagley và
Torvik [71], Caputo [13], Caputo và Mainardi ([15], [16]) (bốn bài báo này đề cập
đến việc thiết lập mô hình của tính chất cơ học các vật liệu), Chern [17], Diethelm
và Freed ([22], [23]), Freed và Luchko [24] (mô hình trạng thái của những vật liệu
đàn nhớt và nhớt dẻo dưới ảnh hưởng của ngoại lực), Gaul, Klein, và Kempfle [31]
(mô tả sự tắt dần của những hệ cơ học) và Shaw, Warby, Whiteman [62] (mô hình
của những vật liệu đàn nhớt)
Những ý tưởng về việc chèn đạo hàm cấp phân số vào việc thiết lập những
phương trình kết cấu của vật liệu đã được thử nhiều lần trong suốt nhiều thập kỷ
qua. Nutting ([49], [50], [51], [52]) là một trong những nhà nghiên cứu đầu tiên
nghĩ rằng hiện tượng chùng (relaxation) ứng suất có thể được mô hình thông qua
thời gian bậc phân số. Gemant ([33], [34]) nhận thấy rằng độ cứng tắt dần của vật
liệu đàn nhớt đã xuất hiện tỷ lệ với bậc phân số của tần số. Sau đó, ông ấy cũng đề
xuất những vi phân cấp phân số theo thời gian có thể mô hình hoá trạng thái cơ học
của vật liệu. Scott Blair và Caffyn [61] nghiên cứu chi tiết hơn việc sử dụng đạo
hàm cấp phân số để mô hình mối quan hệ ứng suất – biến dạng. Caputo ([12], [13],
[14]), Caputo và Mainardi [16] chỉ ra mối quan hệ quy luật kết cấu sử dụng phép
tính phân số có thể mô tả tính chất đàn nhớt và tính chất cơ học của tầng địa chất và
một số kim loại, thuỷ tinh. Sau những năm 1970, sự nghiên cứu một cách cẩn thận
và toàn diện các mô hình vật liệu đàn nhớt bằng phép tính phân số được thấy rõ
hơn. Bagley và Torvik [8] đã xem xét lại các bài báo liên quan đến ứng dụng của 9



phép tính phân số đối với tính đàn nhớt. Họ đã chỉ ra rằng những mô hình tính toán
đạo hàm cấp phân số của vật liệu đàn nhớt là phù hợp với lý thuyết mô tả trạng thái
của những vật liệu đàn nhớt. Việc hiểu biết những hàm chùng và rão (relaxation and
creep), va chạm tắt dần, đáp ứng dao động của vật liệu cấp phân số là một lĩnh vực
quan trọng cho các kỹ sư ứng dụng. Chẳng hạn Koeller [41] đã nghiên cứu những
hàm chùng và rão cho những phần tử phân số thông qua những phương trình tích
phân Volterra với nhân Abelian.
Caputo [14], Bagley và Torrik [9], Sakakibara [60], Zhang và Shimizu [76]
đã nghiên cứu những tính chất va chạm, dao động và tắt dần của các bộ dao động
với các toán tử phân số. Những tính chất đặc biệt của chúng được nêu bật. Những
ứng dụng kỹ thuật của vật liệu đàn nhớt để khử va chạm và dao động được nghiên
cứu bởi Gaul và Chen [32] và Tsai [72], Li và Tsai [45].
Những nghiên cứu của Sakakibara [60] trên bộ dao động phân số với đạo
hàm cấp ½ nhấn mạnh tầm quan trọng của toán tử phân số trên những tính chất
động lực học của cơ hệ. Zhang và Shimizu [76] nghiên cứu một vài khía cạnh quan
trọng về trạng thái tắt dần của bộ dao động đàn nhớt mô hình bởi quy luật kết cấu
Kelvin – Voigt. Baker [10] nghiên cứu một phương trình đạo hàm riêng của mô
hình thanh đàn nhớt với quy luật Kelvin – Voigt.
Tính chất phi tuyến trong trạng thái của vật liệu tồn tại khá nhiều. Đối với vật
liệu polymer có một sự phức tạp rất lớn là sự tương tác phụ thuộc thời gian sẵn có
và nguồn gốc của tính phi tuyến. Sugimoto ([67], [68], [69], [70]) nghiên cứu bài
toán giá trị đầu của phương trình Burgers liên quan đến đạo hàm cấp phân số ½.
Nghiên cứu chỉ ra rằng đạo hàm cấp phân số cho thấy sự nổi bật của tính không liên
tục nhưng không cho phép kiểm tra độ dốc phi tuyến. Nhiều vật liệu giảm chấn
được phát triển và sử dụng những điều kiện chuyển tiếp ở mức độ cao của biến dạng
trong đó đáp ứng của chúng là phi tuyến một cách rõ ràng. Sackman và Kelly [59],
Papoulia và Kelly [54] xây dựng quan hệ kết cấu phi tuyến của vật liệu trong miền
thời gian để tính toán trạng thái phi đàn hồi và sự hư hại của vật liệu đàn nhớt sử
dụng bộ giảm chấn. Họ giải thích thành công những kết quả của thực nghiệm.
Rossikhin và Shitakova [58] nghiên cứu chi tiết động lực học phi tuyến liên quan
đến tính đàn nhớt. N. Gil – Negrete [35] nghiên cứu mô hình vật liệu cao su phi
tuyến kết hợp với tính đàn nhớt cấp phân số. 10



Hiện nay ở trong nước, một số tạp chí chuyên ngành Toán và Cơ học có đăng
một số công trình nghiên cứu về đạo hàm cấp phân số nhưng còn ít và chủ yếu
nghiên cứu về mặt toán học. Trên tạp chí Toán học có các nghiên cứu về quy luật
luỹ thừa cho sự khuếch tán phân số, phương pháp Possion [36] và đó là các công
trình của các tác giả nước ngoài.
Trong luận án, tác giả đã áp dụng các phương pháp số Newmark, phương
pháp Runge – Kutta và phương pháp tiệm cận để tính toán dao động phi tuyến của
hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số.
5. Cấu trúc của luận án
Cấu trúc của luận án gồm: Phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận
chung và những đóng góp mới của luận án.
Chương 1: “Mô hình đàn nhớt cấp phân số”. Trong chương này giới thiệu
một số kiến thức bổ trợ, các định nghĩa của đạo hàm và tích phân cấp phân số, mô
hình đàn nhớt cấp phân số tuyến tính và phi tuyến. Từ đó cho ta một cái nhìn tổng
quan về đạo hàm và tích phân cấp phân số và các mô hình đàn nhớt cấp phân số.
Chương 2: “Tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số
bằng phương pháp số”. Trong chương này áp dụng hai phương pháp số Newmark
và phương pháp số Runge – Kutta tính toán dao động của hệ cấp ba có chứa đạo
hàm cấp phân số, sau đó so sánh kết quả giữa hai phương pháp số.
Chương 3: “Tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến cấp ba có chứa
đạo hàm cấp phân số bằng phương pháp tiệm cận”. Trong chương này áp dụng
phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng cưỡng bức của hệ được mô tả
bởi phương trình vi phân cấp ba có chứa đạo hàm cấp phân số (hệ Duffing và hệ
van der Pol), tính toán dao động cộng hưởng tham số của hệ phi tuyến cấp ba có
chứa đạo hàm cấp phân số (hệ có ma sát Coulomb và hệ có ma sát động). Với mỗi
cơ hệ, nghiệm xấp xỉ của dao động cộng hưởng, điều kiện ổn định của nghiệm dừng
dựa trên lý thuyết Lyapunov được khảo sát. Từ kết quả mô phỏng số, nghiên cứu
ảnh hưởng của các tham số của đạo hàm cấp phân số đối với đường cong biên độ
tần số, điều kiện ổn định của hệ, so sánh giữa hệ có đạo hàm cấp nguyên và đạo
hàm cấp phân số.