Thạc Sĩ Dao động hỗn độn của một số hệ cơ học

MỞ ĐẦU
Trong một khoảng thời gian dài, người ta đã nghĩ rằng, với định luật II, Newton đã khai sinh và kết thúc (giải quyết trọn vẹn) Động lực học. Nói cách khác, với một trạng thái đầu xác định, ứng xử của một hệ bất kỳ là có thể tính
toán và dự báo trước cho một thời điểm bất kỳ trong tương lai – miễn là ta có một máy tính đủ mạnh. Nhưng thực tế phát triển của khoa học, toán học, kỹ thuật máy tính và kỹ thuật tính toán, đã chỉ ra những giới hạn mà khoa học không thể vượt qua, những hệ hoàn toàn xác định trong hiện tại nhưng lại không thể nào dự đoán được hành trạng của chúng trong tương lai, bất kể ta có thể có một máy tính mạnh đến đâu. Trường hợp này ta muốn nói đến hiện tượng hỗn độn, hay hỗn độn xác định (để phân biệt với các hệ ngẫu nhiên) Sự tiến triển không bình thường và không thể dự đoán trước được của nhiều hệ phi tuyến được gọi là “hỗn độn” (chaos).
Đặc điểm chủ yếu của hỗn độn là không lặp lại trạng thái quá khứ (kể cả sự gần đúng). Tuy có sự tiến triển không bình thường (ứng xử như một hệ ngẫu nhiên), nhưng các hệ động lực hỗn độn lại tuân theo các phương trình tất định (các phương trình nhận được từ định luật II Newton chẳng hạn). Với điều kiện đầu khác nhau rất ít, nếu hệ không là hỗn độn, sự sai khác nhỏ này dẫn đến một lỗi nhỏ, tăng lên một cách tuyến tính theo thời gian. Ngược lại, đối với hệ hỗn độn, lỗi này sẽ tăng theo hàm mũ theo thời gian, đến mức trạng thái của hệ động lực về cơ bản là không thể dự đoán trước được với thời gian tiếp theo. Hiện tượng này được xem như là sự cực kỳ nhạy cảm đối với điều
kiện đầu. Poincaré là người đầu tiên nhận ra hiện tượng này. Ông mô tả chúng như sau : “ Từ những sự sai khác nhau rất nhỏ của điều kiện ban đầu, có thể tạo nên sự khác biệt rất lớn về sau. Một lỗi nhỏ ban đầu sẽ gây ra một lỗi khổng lồ sau đó. Việc dự đoán trước là không thể được và chúng ta có những hiện tượng bất ngờ ”. Với tất cả máy tính hiện nay, một sai số không thể vượt qua trong mỗi phép tính (ta muốn nói đến sai số làm tròn : roundoff error) xấp xỉ cở 10ư16 đến 10ư12 , sai số này là hoàn toàn đủ để một hệ hỗn độn phát triển đến mức không thể dự đoán được trong khoảng thời gian không quá lâu. Hằng số Plank 10ư46 là giới hạn sai số không thể vượt qua của mọi máy tính (và cả kích thước của cấu trúc vật chất ! ), vì vậy có thể nói , cả trong tương lai, chúng ta vẫn phải đối mặt với các hệ không thể dự báo được. Tuy nhiên, ẩn sau hành trạng hỗn độn, là một trật tự ghê gớm của cấu trúc : sự sao chép, tái lập cấu trúc tổng thể, hiện diện lại trong từng chi tiết nhỏ nhất, và sự sao chép này là mãi mãi trong mức độ nhận biết của chúng ta, cho thấy – như nhiều nhà khoa học nhận định – hỗn độn là nền tảng của trật tự.
Các nhà toán học đều nghĩ rằng các quỹ đạo bị chận của một phương trình vi phân chỉ có thể là một trong các dạng sau :
1. Các điểm cân bằng hoặc các quỹ đạo hội tụ đến các điểm cân bằng.
2. Các quỹ đạo tuần hoàn hay á tuần hoàn hoặc các quỹ đạo hội tụ đến các quỹ đạo tuần hoàn hay á tuần hoàn.
Newton đã biết về các dạng chuyển động hút này và đã phân loại chúng thành hai trạng thái : Quả táo nằm trên mặt đất là trạng thái cân bằng và các hành tinh trong hệ Mặt trời là chuyển động tuần hoàn, nói chính xác hơn là chuyển động á tuần hoàn. Phải 300 năm sau Newton, đến cuối thế kỷ 20, người ta mới biết trạng thái thứ ba của chuyển động : chuyển động hỗn độn. Một hệ động lực có chuyển động hỗn độn cần có những điều kiện :
a/ Hệ có ít nhất ba biến động lực độc lập (định lý Poincaré-Bendison )
b/ Phương trình chuyển động phải có những số hạng phi tuyến.
Theo định lý Poincaré-Bendison, không gian pha phải có số chiều không ít hơn ba để bảo đảm sự tồn tại của những quỹ đạo phân kỳ, bị giam trong một miền hữu hạn của không gian các biến động lực và bảo đảm tính chất duy nhất của quỹ đạo.
Nghiệm hỗn độn của hệ phương trình vi phân phi tuyến (gồm ít nhất là ba phương trình cấp một autonome) cũng bị giới nội, giam hãm như các nghiệm tuần hoàn, á tuần hoàn, nhưng nó không lặp lại trạng thái cũ như nghiệm tuần hoàn, ở đó có sự đều đặn. Mặc dù hỗn độn là một lớp nghiệm đặc biệt của hệ phương trình vi phân phi tuyến nhưng không có định nghĩa chính xác cho nó, bởi vì ta không thể biểu diễn nó qua các hàm số toán học thông thường. Tuy nhiên, hỗn độn có một số đặc điểm nhận dạng điển hình. Hỗn độn được xác định như một trạng thái yên định giới nội, nhưng không phải là nghiệm cân bằng, tuần hoàn hay á tuần hoàn. Miền hút (attractor) của nghiệm hỗn độn trong không gian trạng thái không phải là một vật thể hình học đơn giản như một số hữu hạn các điểm, một đường cong khép kín hoặc một xuyến, mà nó có cấu trúc hình học phức tạp gọi là tập hút hỗn độn hay tập hút lạ (strange attractor), có thứ nguyên phân hình (fractal dimension).

MỞ ĐẦU .1
CHƯƠNG I : MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC HỖN ĐỘN
1.1 Chuyển động hỗn độn . 8
1.2 Lát cắt Poincaré 12
1.3 Định lý Poincaré - Bendixon 15
1.4 Một số phương pháp nhận dạng hỗn độn .18
1.4.1 Bản đồ Poincaré 18
1.4.2 Số mũ Lyapunov .21
1.4.3 Phân tích phổ (phân tích Fourier) .24
1.4.4 Phân nhánh 25
CHƯƠNG II : DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN TRONG MỘT SỐ HỆ CƠ HỌC CÓ THAM SỐ THAY ĐỔI
2.1 Mở đầu .28
2.2 Phương trình phi tuyến Mathieu 29
2.2.1 Biên độ của lực kích động γ là tham số điều khiển . 30
2.2.2 Tần số lực kích động ν là tham số điều khiển .33
2.3 Phương trình phi tuyến Duffing .36
2.3.1 Biên độ lực kích động p là tham số điều khiển 37
2.3.2 Tần số lực kích động ω là tham số điều khiển . 38
2.4 Phương trình phi tuyến Duffing – Van Der Pol .42
2.4.1 Biên độ lực kích động e là tham số điều khiển 44
2.4.2 Tần số lực kích động ν là tham số điều khiển . 48
CHƯƠNG III : DAO ĐỘNG HỖN ĐỘN CỦA KẾT CẤU VỎ
3.1 Dao động hỗn độn của một dạng vỏ cầu .56
3.1.1 Mở đầu 56
3.1.2 Các phương trình cơ bản .58
3.1.3 Phương trình vi phân phi tuyến cho dao động vỏ .60
3.1.4 Phương pháp hàm Melnikov .67
3.2 Dao động hỗn độn của vỏ đàn dẻo đối xứng trục . 68
3.2.1 Phương trình cơ bản .69
3.2.2 Trạng thái chuyển tiếp từ dao động điều hòa sang dao động hỗn độn 73
3.2.3 Dao động hỗn độn của vỏ chịu kích động điều hòa 74
3.2.4 Các dao động phức tạp của vỏ với giả thuyết chịu mômen điều hòa 74
KẾT LUẬN .76
Tài liệu tham khảo