Tiến Sĩ Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes

LUẬN ÁN TIẾN SĨ
NĂM 2015
Mục lục
MỞ ĐẦU . 7
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI . 7
2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU . 9
3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA
LUẬN ÁN 14
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . 15
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 16
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . 17
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 18
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . 18
1.1.1. Các không gian hàm 18
1.1.2. Các toán tử . 20
1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 21
1.2. TẬP HÚT LÙI . 22
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . 26
1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng 26
1.3.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng 29
Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT . 31
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN 31
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 33
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . 40
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . 47
2.5. MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU
VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 56
2.5.1. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút toàn cục 56
2.5.2. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều 57
2.6. TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI 59
2.6.1. Tính bị chặn của tập hút lùi trong (H 60
2.6.2. Tính compact của tập hút lùi trong (H2(Ω))22 64
2.7. TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT LÙI SINH BỞI(Ω))2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT HAI CHIỀU 68
2.7.1. Tập hút lùi của hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều 69
2.7.2. Tính nửa liên tục trên của tập hút lùi sinh bởi hệ Navier-
Stokes-Voigt hai chiều . 80
Chương 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN 90
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 92
3.3. SỰ TỒN TẠI TẬP D-HÚT LÙI . 102
3.4. SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM DỪNG 113


KẾT LUẬN . 118
1. CÁC KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC . 118
2. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO . 118
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG
LUẬN ÁN 119
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 120
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
MỞ ĐẦU
Phương trình đạo hàm riêng bắt đầu được nghiên cứu vào giữa thế kỉ
XVIII và phát triển mạnh mẽ từ giữa thế kỉ XIX cho đến nay. Nó được coi
như chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng. Rất nhiều phương trình đạo
hàm riêng là mô hình toán của các bài toán thực tế, đặc biệt là các phương
trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng. Lớp phương trình này xuất
hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí,
dầu mỏ, . dưới những điều kiện tương đối tổng quát. Chúng cũng xuất hiện
khi nghiên cứu nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học kĩ thuật như khoa
học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma, .
Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản, quan trọng trong cơ học
chất lỏng là hệ Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng thuần nhất,
nhớt, không nén được, được xây dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng,
động lượng và có dạng
ư ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = g(x, t),
∇ · u = 0,
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm vectơ vận tốc và hàm áp suất
cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và g là hàm ngoại lực.
Hệ phương trình Navier-Stokes đưa ra lần đầu tiên năm 1822, và được bắt
đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu thế kỉ XX với các công trình nền móng



của Leray (1934) và Hopf (1951). Sau gần một thế kỉ phát triển, lí thuyết hệ
phương trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳnghạn, các cuốn chuyên khảo [14, 47, 48] và các bài tổng quan [4, 50]). Tuy
nhiên, vẫn còn rất nhiều câu hỏi mở chưa được giải quyết, trong đó nổi bật là
tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại toàn cục của nghiệm mạnh của hệ
Navier-Stokes ba chiều. Những nỗ lực giải quyết bài toán này đã làm phát sinh
nhiều hướng nghiên cứu mới thú vị. Một trong số đó là nghiên cứu các biến
dạng của hệ phương trình Navier-Stokes. Những hệ như vậy xuất hiện khi mô
tả chuyển động của các chất lưu trong các điều kiện vật lí nhất định, chẳng
hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong một số tài liệu viết là Voight) xuất hiện khi
nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với
số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất hiện khi nghiên
cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai
chiều xuất hiện khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes trong miền mỏng [43], các
α-mô hình trong cơ học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất hiện
khi nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động của chất
lưu với áp suất phụ thuộc độ nhớt [5], . Đây là một hướng nghiên cứu mới
và rất thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới
trong những năm gần đây, do ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như
những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Tuy nhiên
theo hiểu biết của chúng tôi, những kết quả đạt được về sự tồn tại và dáng
điệu tiệm cận nghiệm của các hệ trên chủ yếu mới dừng lại ở trường hợp ngoại
lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xét phương trình
là bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây). Việc
phát triển những kết quả này cho trường hợp không ôtônôm và trong miền
không bị chặn là những vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, nhưng khó
vì đòi hỏi những cách tiếp cận và công cụ kĩ thuật mới.
Chúng tôi sẽ chọn vấn đề nghiên cứu này đối với một số hệ phương trình
dạng Navier-Stokes, xuất hiện trong cơ học chất lỏng, làm đề tài nghiên cứu
cho luận án tiến sĩ của mình.