Tiến Sĩ Dáng điệu tiệm cận của một số hệ vi phân đa trị trong không gian vô hạn chiều

Mục lục
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Mục lục . 3
MỞ ĐẦU . 5
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 15
1.1. CC KHÆNG GIAN H€M 15
1.2. L THUYẾT NỬA NHÂM 16
1.2.1. Nửa nhâm li¶n tục mạnh v  c¡c trường hợp đặc biệt 16
1.2.2. Nửa nhâm t½ch ph¥n 19
1.3. ĐỘ ĐO KHÆNG COMPACT (MNC) V€ CC ƯỚC LƯỢNG
ĐỘ ĐO . 23
1.4. NH XẠ N’N V€ CC ĐỊNH L ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO
NH XẠ ĐA TRỊ . 28
1.5. TẬP HÓT TO€N CỤC CHO NỬA DÁNG ĐA TRỊ 30
1.6. GIẢI TCH BẬC PH…N SỐ . 31
1.6.1. Đạo h m v  t½ch ph¥n bậc ph¥n số 31
1.6.2. Cæng thức nghiệm cho b i to¡n với phương tr¼nh vi ph¥n
bậc ph¥n số . 32
Chương 2. DNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BAO
H€M THỨC VI PH…N H€M NỬA TUYẾN TNH . 354
2.1. ĐẶT B€I TON 35
2.2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TCH PH…N 36
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÓT TO€N CỤC 44
2.4. P DỤNG . 50
2.4.1. Bao h m thức trong miền bị chặn 50
2.4.2. Bao h m thức trong miền khæng bị chặn . 52
Chương 3. NGHIỆM ĐỐI TUẦN HO€N CỦA BAO H€M THỨC VI PH…N
NỬA TUYẾN TNH 56
3.1. ĐẶT B€I TON 56
3.2. SỰ TỒN TẠI CỦA LỚP NGHIỆM ĐỐI TUẦN HO€N 56
3.3. P DỤNG . 68
3.3.1. V½ dụ 1 . 68
3.3.2. V½ dụ 2 . 70
Chương 4. TNH ỔN ĐỊNH YẾU CỦA HỆ VI PH…N BẬC PH…N SỐ
NỬA TUYẾN TNH 73
4.1. ĐẶT B€I TON 73
4.2. KHÆNG GIAN H€M V€ ĐỘ ĐO 74
4.3. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TR–N NỬA TRỤC 78
4.4. TNH ỔN ĐỊNH YẾU . 90
4.5. P DỤNG . 93
4.6. TRƯỜNG HỢP B€I TON ĐƠN TRỊ . 100
DANH MỤC CÆNG TRœNH KHOA HỌC CỦA TC GIẢ LI–N QUAN
ĐẾN LUẬN N 108
T€I LIỆU THAM KHẢO . 1095
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề v  l½ do chọn đề t i
Thuật ngữ hệ vi ph¥n đa trị được dòng để chỉ c¡c b i to¡n với bao h m
thức vi ph¥n hoặc c¡c phương tr¼nh vi ph¥n (đạo h m ri¶ng) m  t½nh duy
nhất nghiệm của nâ bị ph¡ vỡ. C¡c hệ vi ph¥n đa trị khæng chỉ l  mæ h¼nh
tổng qu¡t của phương tr¼nh vi ph¥n m  cán xuất ph¡t từ nhiều b i to¡n quan
trọng, trong đâ câ thể kể đến b i to¡n điều khiển phản hồi đa trị, b i to¡n
ch½nh quy hâa phương tr¼nh vi ph¥n với phần phi tuyến khæng li¶n tục, c¡c bất
đẳng thức vi biến ph¥n. Nghi¶n cứu d¡ng điệu nghiệm của bao h m thức tiến
hâa trong phạm vi luận ¡n n y bao gồm c¡c c¥u hỏi về t½nh ổn định (hoặc ổn
định yếu) của nghiệm, sự tồn tại tập hót của hệ động lực sinh bởi tập nghiệm
v  c¡c lớp nghiệm đặc biệt (nghiệm đối tuần ho n, nghiệm ph¥n r¢).
C¡c bao h m thức tiến hâa trong khæng gian hữu hạn chiều đ¢ được nghi¶n
cứu từ kh¡ sớm. C¡c kết quả về t½nh giải được v  cấu tróc tập nghiệm đ¢ được
tr¼nh b y một c¡ch hệ thống trong c¡c cuốn s¡ch chuy¶n khảo [9, 32]. Tiếp
theo đâ, bao h m thức tiến hâa trong khæng gian Banach tổng qu¡t v  ứng
dụng của nâ trở th nh chủ đề nghi¶n cứu câ t½nh thời sự trong hơn một thập
kỷ qua. C¡c cuốn s¡ch chuy¶n khảo theo hướng n y câ thể kể đến [42, 72].
Nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận của nghiệm l  một trong những vấn đề
trung t¥m của l½ thuyết định t½nh phương tr¼nh vi t½ch ph¥n. Cæng cụ để
nghi¶n cứu d¡ng điệu nghiệm của c¡c hệ vi ph¥n (đạo h m ri¶ng) l  đa dạng
tòy theo đặc trưng từng hệ. Đối với c¡c phương tr¼nh vi ph¥n thường, l½ thuyết
ổn định Lyapunov l  cæng cụ hữu hiệu để giải quyết vấn đề n y. Ngo i ra, một6
số phương ph¡p kh¡c như phương ph¡p so s¡nh (xem [58]), phương ph¡p điểm
bất động (xem [19]) cũng được sử dụng. Trong khi đâ, để nghi¶n cứu d¡ng
điệu nghiệm của c¡c phương tr¼nh đạo h m ri¶ng, người ta thường sử dụng l½
thuyết tập hót to n cục (xem [27]).
C¡c kết quả còng với c¡c lược đồ nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm cận nghiệm
của c¡c hệ vi ph¥n thường v  phương tr¼nh đạo h m ri¶ng đ¢ được ph¡t triển
cho c¡c bao h m thức vi ph¥n. Do t½nh chất khæng duy nhất nghiệm của b i
to¡n Cauchy ứng với bao h m thức tiến hâa, l½ thuyết ổn định Lyapunov khæng
khả dụng trong việc nghi¶n cứu t½nh ổn định của nghiệm dừng. Đối với c¡c
bao h m thức tiến hâa trong khæng gian hữu hạn chiều, kh¡i niệm ổn định
yếu đ¢ được đề xuất bởi Filippov năm 1988 (xem [36]) v  phương ph¡p h m
Lyapunov cải tiến để chứng minh t½nh ổn định yếu cho bao h m thức tiến hâa
đ¢ được tr¼nh b y trong [2]. Đối với c¡c bao h m thức tiến hâa trong khæng
gian væ hạn chiều, c¡ch tiếp cận thường được sử dụng nhất l  l½ thuyết tập
hót.
Trong v i thập kỷ trở lại đ¥y, l½ thuyết tập hót to n cục ph¡t triển mạnh
mẽ v  thu được rất nhiều kết quả câ t½nh hệ thống (xem t i liệu chuy¶n khảo
[65]). Đối với c¡c hệ vi ph¥n đa trị, l½ thuyết tập hót cũng tương đối ho n thiện
với nhiều lược đồ nghi¶n cứu. Trong đâ đ¡ng chó þ nhất l  l½ thuyết tập hót
to n cục cho nửa dáng đa trị được giới thiệu bởi Melnik v  Valero năm 1998
(xem [52]) còng với l½ thuyết nửa dáng suy rộng của Ball [11, 12]. Những đ¡nh
gi¡, so s¡nh về hai phương ph¡p n y đ¢ được Caraballo ph¥n t½ch trong [22].
Ngo i ra cán câ l½ thuyết hót quỹ đạo được ph¡t triển bởi Chepyzov v  Vishik
năm 1997 (xem [28]), đ¥y cũng l  một cæng cụ hữu hiệu để nghi¶n cứu d¡ng
điệu nghiệm của c¡c hệ đạo h m ri¶ng m  t½nh duy nhất nghiệm khæng được
bảo đảm. Tiếp sau đâ l½ thuyết tập hót lòi, tập hót đều cho c¡c hệ động lực đa
trị cũng được x¥y dựng để l m việc với c¡c hệ vi ph¥n khæng æ-tæ-næm (xem
[23, 24, 53]). Đặc biệt, trong c¡c năm 2014-2015, những cải tiến đ¡ng kể cho l½7
thuyết tập hót đ¢ được cæng bố trong c¡c cæng tr¼nh [30, 41]. Những kết quả
mới nhất n y tập trung v o việc giảm nhẹ điều kiện về t½nh li¶n tục v  đưa
ra ti¶u chuẩn compact tiệm cận cho nửa nhâm/nửa qu¡ tr¼nh dựa tr¶n độ đo
khæng compact. Tuy nhi¶n những ti¶u chuẩn n y khi ¡p dụng cho c¡c hệ vi
ph¥n h m cán gặp phải nhiều khâ khăn về mặt kỹ thuật do khæng gian pha
tương ứng câ cấu tróc phức tạp.
Trong luận ¡n n y, sử dụng lược đồ của Melnik v  Valero, chóng tæi nghi¶n
cứu sự tồn tại tập hót to n cục cho nửa dáng đa trị sinh bởi lớp bao h m thức
vi ph¥n nửa tuyến t½nh
u
′
(t) 2 Au(t) + F(u(t); u t ); t  0; (1)
u(s) = φ(s); s 2 [ h; 0]; (2)
ở đ¥y u l  h m nhận gi¡ trị trong khæng gian Banach X, u t l  h m trễ, tức l 
u t (s) = u(t+s) với s 2 [ h; 0], F l  một h m đa trị x¡c định tr¶n một tập con
của X  C([ h; 0]; X) v  A : D(A)  X ! X l  một to¡n tử tuyến t½nh thỏa
m¢n điều kiện Hille-Yosida nhưng x¡c định khæng trò mật, tức l  D(A) ̸ = X.
Như đ¢ đề cập trong [71], trong nhiều b i to¡n nửa tuyến t½nh, th nh phần
phi tuyến nhận gi¡ trị nằm ngo i D(A). Khi đâ ta cần phải nghi¶n cứu trường
hợp m  to¡n tử A khæng x¡c định trò mật. Ta câ thể t¼m thấy trong [31] c¡c
mæ h¼nh cụ thể với to¡n tử A được x¡c định khæng trò mật.
Với giả thiết to¡n tử A x¡c định khæng trò mật v  thỏa m¢n điều kiện
Hille-Yosida, đ¢ câ một số nghi¶n cứu về t½nh giải được cũng như t½nh ổn định
nghiệm của b i to¡n dạng (1)-(2). Cụ thể, c¡c kết quả cho trường hợp F l 
h m đơn trị câ trong [1, 4, 35, 71]. Trong trường hợp bao h m thức, câ thể kể
đến c¡c kết quả [26, 59].
C¡c kết quả về sự tồn tại tập hót to n cục cho lớp b i to¡n (1)-(2) chưa
được biết đến nhiều. Trong trường hợp F l  h m đơn trị, điều kiện tồn tại tập
hót to n cục đ¢ được nghi¶n cứu trong [76] (với trễ hữu hạn) v  trong [18] (với
trễ væ hạn). Trong c¡c nghi¶n cứu n y, c¡c t¡c giả đặt ra hai điều kiện sau8
 nửa nhâm sinh bởi phần tuyến t½nh tr¶n D(A) l  compact;
 h m phi tuyến thỏa m¢n điều kiện Lipschitz.
Khi nghi¶n cứu lớp b i to¡n n y, chóng tæi cố gắng giảm nhẹ hai điều kiện
kể tr¶n trong trường hợp trễ hữu hạn. Cụ thể, nếu S
′
(
) l  khæng compact,
chóng tæi sẽ giả thiết F thỏa m¢n một điều kiện ch½nh quy biểu diễn bởi độ
đo khæng compact, điều kiện n y được thỏa m¢n nếu F = F 1 + F 2 với F 1 l 
một h m đơn trị câ t½nh chất Lipschitz cán F 2 đa trị v  compact.
Trong v i thập kỷ trở lại đ¥y, c¡c phương tr¼nh/bao h m thức tiến hâa bậc
ph¥n số đ¢ thu hót sự quan t¥m của nhiều nh  nghi¶n cứu bởi c¡c ứng dụng
của chóng trong việc mæ tả c¡c hiện tượng khoa học, kỹ thuật. C¡c phương
tr¼nh vi ph¥n bậc ph¥n số được dòng để mæ tả c¡c b i to¡n ở nhiều lĩnh vực,
v½ dụ như b i to¡n về lưu biến học, mạng điện, điện hâa học . Chi tiết hơn,
ta câ thể xem tại c¡c t i liệu chuy¶n khảo của Miller v  Ross [54], Podlubny
[64], v  Kilbas v  c¡c cộng sự [44]. Gần đ¥y, do t½nh ứng dụng của đạo h m
bậc ph¥n số trong mæ h¼nh hâa đồng thời với sự ph¡t triển của giải t½ch bậc
ph¥n số, nhiều hệ vi ph¥n bậc nguy¶n được mở rộng th nh c¡c mæ h¼nh bậc
ph¥n số. Theo hướng ph¡t triển n y, ta câ thể kể tới c¡c kết quả ti¶u biểu
[57, 83, 84].
Trong luận ¡n, b¶n cạnh lớp bao h m thức tiến hâa bậc nhất, chóng tæi
nghi¶n cứu một lớp bao h m thức tiến hâa bậc ph¥n số  2 (0; 1) với mục
ti¶u t¼m ra c¡c điều kiện chấp nhận được cho t½nh ổn định của nghiệm dừng.
Tuy nhi¶n với c¡c phương tr¼nh/bao h m thức tiến hâa bậc ph¥n số, c¡ch tiếp
cận của l½ thuyết tập hót lại khæng khả dụng khi nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm
cận nghiệm do to¡n tử nghiệm khæng câ t½nh chất kiểu nửa nhâm. Hơn nữa,
với c¡c bao h m thức tiến hâa bậc ph¥n số, c¡c kh¡i niệm ổn định theo nghĩa
Lyapunov cũng khæng thể ¡p dụng được. Do đâ, chóng tæi đưa ra kh¡i niệm
Ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường khi nghi¶n cứu d¡ng điệu tiệm
cận của lớp bao h m thức vi ph¥n bậc ph¥n số câ xung, với điều kiện khæng9
cục bộ v  trễ hữu hạn dạng
C
D

0
u(t) 2 Au(t) + F(t; u(t); u t ); t > 0; t ̸ = t k ; k 2 ; (3)
∆u(t k ) = I k (u(t k )); (4)
u(s) + g(u)(s) = φ(s); s 2 [ h; 0]; (5)
trong đâ C D
0
;  2 (0; 1), l  đạo h m bậc ph¥n số theo nghĩa Caputo, A l  một
to¡n tử tuyến t½nh đâng trong X sinh ra nửa nhâm li¶n tục mạnh W(
), F :
R +  X  C([ h; 0]; X) ! P (X) l  một ¡nh xạ đa trị, ∆u(t k ) = u(t
+
k
) u(t

k
),
k 2   N , I k v  g l  c¡c h m li¶n tục, u t l  h m trễ theo thời gian t, tức l 
u t (s) = u(t + s); s 2 [ h; 0].
Hệ (3)-(5) l  dạng tổng qu¡t hâa của b i to¡n Cauchy câ xung (mæ tả bởi
(4)) v  điều kiện ban đầu khæng cục bộ (điều kiện (5)). Trong c¡c mæ h¼nh
thực tế, điều kiện khæng cục bộ cho những mæ tả tốt hơn so với điều kiện ban
đầu cổ điển, v½ dụ, điều kiện
u(s) +
M ∑
i=1
c i u( i + s) = φ(s); s 2 [ h; 0];
cho ph²p ta th¶m c¡c đo đạc tại c¡c thời điểm kh¡c thời điểm ban đầu. Kết
quả đầu ti¶n v  þ nghĩa vật l½ cho b i to¡n khæng cục bộ câ thể xem trong [20].
C¡c phương tr¼nh vi ph¥n với điều kiện ban đầu khæng cục bộ đ¢ được nghi¶n
cứu bởi nhiều t¡c giả, điển h¼nh l  c¡c kết quả [26, 47, 48]. Mặt kh¡c, điều kiện
xung (4) được sử dụng để mæ tả c¡c hệ động lực câ sự thay đổi trạng th¡i đột
ngột tại một số thời điểm, thường gặp trong vật l½, sinh học, kĩ thuật, . C¡c
kết quả cơ bản về phương tr¼nh vi ph¥n câ xung câ thể t¼m thấy trong c¡c t i
liệu [14, 46].
Gần đ¥y, một số trường hợp ri¶ng của b i to¡n (3)-(5) dưới dạng bao h m
thức được nghi¶n cứu rộng r¢i. Về sự tồn tại v  t½nh chất tập nghiệm, chóng ta
câ thể kể tới một số kết quả ti¶u biểu trong c¡c cæng tr¼nh [25, 81, 82], trong
đâ, t½nh giải được của b i to¡n được x²t tr¶n khoảng compact v  cấu tróc của10
tập nghiệm dạng R  được xem x²t. Lớp b i to¡n điều khiển được ứng với bao
h m thức vi ph¥n bậc ph¥n số cũng được nghi¶n cứu trong một số b i b¡o gần
đ¥y như [66, 80]. Tuy nhi¶n, một trong những c¥u hỏi quan trọng nhất đối với
lớp b i to¡n (3)-(5), đâ l  t½nh ổn định của nghiệm chưa được nghi¶n cứu.
Để nghi¶n cứu t½nh ổn định nghiệm cho lớp b i to¡n n y, chóng tæi đưa ra
kh¡i niệm ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường: Kþ hiệu (φ) l  tập
nghiệm của b i to¡n (3)-(5) ứng với điều kiện ban đầu φ sao cho 0 2 (0).
Nghiệm tầm thường của b i to¡n (3)-(5) được gọi l  ổn định tiệm cận yếu nếu
nâ thỏa m¢n hai điều kiện
1) ổn định: với mọi ϵ > 0, tồn tại  > 0 sao cho nếu ∥ φ ∥ h <  th¼ ∥ u t ∥ h <
ϵ với mọi u 2 (φ) v  t > 0, ở đ¥y ∥
∥ h kþ hiệu chuẩn sup trong
C([ h; 0]; X);
2) hót yếu: với mọi φ 2 B , tồn tại u 2 (φ) thỏa m¢n ∥ u t ∥ h ! 0 khi
t ! + 1 .
Chóng tæi nghi¶n cứu t½nh ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho
hệ (3)-(5) bằng c¡ch sử dụng lþ thuyết điểm bất động cho ¡nh xạ n²n tr¶n c¡c
khæng gian h m phò hợp.
Trong nghi¶n cứu định t½nh c¡c hệ vi t½ch ph¥n, còng với l½ thuyết ổn định,
việc t¼m c¡c lớp nghiệm đặc biệt, v½ dụ như nghiệm tuần ho n, đối tuần ho n
cũng l  hướng nghi¶n cứu thu hót sự quan t¥m của nhiều nh  to¡n học. Nghiệm
đối tuần ho n của c¡c hệ vi ph¥n được sử dụng trong nhiều qu¡ tr¼nh vật l½
(câ thể xem trong [13, 16, 45]). Một số kết quả về sự tồn tại nghiệm đối tuần
ho n cho c¡c lớp phương tr¼nh tiến hâa tuyến t½nh v  nửa tuyến t½nh đ¢ được
thiết lập, bắt nguồn từ c¡c nghi¶n cứu của Okochi (xem [60], [61], [62]). Theo
hướng n y, ta câ kể tới c¡c kết quả ti¶u biểu của Haraux ([38]), Liu ([49]),
Wang ([79]). Năm 2012, bằng c¡ch tiếp cận của l½ thuyết nửa nhâm, Liu [50]
chứng minh được sự tồn tại của nghiệm yếu đối tuần ho n cho lớp b i to¡n