Thạc Sĩ Dáng điệu tiệm cận của các ánh xạ chuẩn tắc nhiều biến phức

Luận văn thạc sĩ năm 2012
Đề tài: Dáng điệu tiệm cận của các ánh xạ chuẩn tắc nhiều biến phức

Mục lục
Mở đầu i
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN BỊ 1
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi . 1
1.2 Không gian phức hyperbolic 4
1.3 Không gian phức hyperbolic đầy . 6
1.4 Giả metric vi phân Kobayashi 9
2 DÁNG ĐIÊU TIÊM CẬN CỦA CÁC ÁNH XẠ CHUAN
TẮC NHIỀU BIẾN PHỨC 15
2.1 Một số khái niệm và kết quả ban đầu 15
2.2 Một số trường hợp đặc biệt 19
2.3 Một số tính chất cơ bản của ánh xạ chuẩn tắc 21
2.4 Các ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact 24
2.5 Một số tính chất mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc 29
2.6 Dáng điệu tiệm cận của ánh xạ Bloch . 34
Kết luận 39
Tài liệu tham khảo 40

Mở đầu
Một họ các ánh xạ liên tục giữa hai đa tạp M và N được gọi là chuẩn tắc nếu nó chứa một dãy con hoặc là compact tương đối trong C(M, N) hoặc là phân kỳ compact. Việc sử dụng các họ chuẩn tắc để nghiên cứu tính hyperbolic của các đa tạp phức đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu như S. Kobayashi, S. Lang, P.J. Kiernan, T.J. Barth, P.Gauthier, . Nhiều kết quả đẹp đẽ về họ chuẩn tắc đã được chứng minh. Bằng việc tổng quát các khái niệm cổ điển về các hàm chuẩn tắc, các hàm Bloch, các dãy chính quy và các dãy P - điểm trong giải tích phức một biến lên trong trường hợp các ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức, K.T. Hahn [6] đã chứng minh được mối liên hệ giữa các khái niệm trên và từ đó đưa ra được các kết quả thú vị về dáng điệu tiệm cận của các ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ Bloch và tổng quát hơn là ánh xạ chỉnh hình không chuẩn tắc dọc theo các dãy P - điểm, các dãy chính quy và quỹ đạo tiệm cận tới biên của đa tạp phức M.
Mục đích của luận văn là học tập, nghiên cứu và trình bày lại các kết quả trên của K.T. Hahn.
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị về giả khoảng cách Kobayashi, không gian phức hyperbolic, không gian phức hyperbolic đầy đủ và giả metric vi phân Kobayashi.
Chương 2 là nội dung chính của Luận văn, trình bày một số kết quả về ánh xạ chuẩn tắc, ánh xạ chuẩn tắc vào các đa tạp phức compact, một số tính chất cơ bản, mở rộng của ánh xạ chuẩn tắc và cuối cùng là dáng điệu tiệm cận của các ánh xạ Bloch.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Để hoàn thành được bản Luận văn này, trước hết tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thành Luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, Trường Đại học sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm Luận văn tốt nghiệp.
Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUAN bị
1.1 Giả khoảng cách Kobayashi
Trên đĩa đơn vị A = {z G C; |z| < 1} cho metric Bergman - Poincaré
1 + |a|
Pa = ln——T—J vơi a G A.
1 — |a|
1.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X. Hol(A,X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ A vào X, được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p[SUB]0[/SUB] = x,p[SUB]1[/SUB], .,pk = y của X, dãy các điểm a[SUB]1[/SUB],a[SUB]2[/SUB], ., a[SUB]k[/SUB] của A và dãy các ánh xạ f[SUB]1[/SUB], ., fk trong Hol(A, X) thỏa mãn
fi(0) = Pi—1,fi(ai) = Pi, Vi = 1, ., k.
Tập hợp a = {p[SUB]0[/SUB] , .,Pk ,a[SUB]1[/SUB], .,a[SUB]k[/SUB] ,f[SUB]1[/SUB], .,fk} thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
k
dx(x,y) = infj ^ PA(0,ai), a G ,
[SUP]a[/SUP] i=1
trong đó ũ[SUB]x y[/SUB] là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.

Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Việt Đức, Mở đầu về lý thuyết các không gian phức hyperbolic, NXB Đại học sư phạm Hà Nội (2005).
[2] J. M. Anderson, J.Clunie and Ch. Pommerenke, On Bloch functions and normal functions, J.Reine Angew. Math. 270 (1974), 12-37.
[3] T.Barth, Taut and tight complex manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 24 (1970), 429-431.
[4] R. Brody, Compact manifolds anh hyperbolicity, Trans. Amer. Math. Soc. 235 (1978), 213-219.
[5] J. A. Cima and S. G. Krantz, Lindelof principle and normal functions of several complex variables, Duke Math. J. 50 (1983), 303-328.
[6] K. T. Hahn, Asymptopic behavior of normal mappings of several com­plex variables, Can. J. Math. Vol 36, No.4 (1984), 718-746.
[7] P. J. Kiernan, On the relations between taut, tight and hyperbolic man­ifolds, Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970), 49-51.
[8] S. Kobayashi, Hyperbolic complex spaces, Grundlehren der mathema- tischen Wissenschaften. 318(1998).
[9] O. Lehto and V. I. Virtanen, Boundary behavior and normal mero- morphic functions, Acta Math. 97 (1957), 47-63.
[10] H. H. Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math.119 (1967), 193-233.