Tiến Sĩ Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

Luận án tiến sĩ năm 2011
Đề tài: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

MỤC LỤC
Lời cảm ơn ii
Mục lục 1
Bảng kí hiệu 3
Mở đầu 4
1 Kiến thức chuẩn bị 12
1.1. Các khái niệm cơ bản 12
1.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và các mở rộng 17
1.3. Vành Artin, vành Noether và các lớp vành liên quan 19
2 Vành CS - nửa đơn 23
2.1. Một số bổ đề cần thiết . 24
2.2. Đặc trưng vành CS - nửa đơn 27
2.3. Kết luận Chương 2 . 33
3 QF-vành 35
3.1. Một số bổ đề cần thiết . 36
3.2. Đặc trưng QF-vành . 38
3.3. Kết luận Chương 3 . 43
4 Điều kiện để một số lớp vành trở thành Noether 44
4.1. Một số bổ đề cần thiết . 45
4.2. Khi nào một V-vành là Noether . 48
2
4.3. Điều kiện để một vành đơn là Noether . 51
4.4. Khi nào một vành đơn là SI . 56
4.5. Kết luận Chương 4 . 59
Kết luận của luận án 61
Danh mục các công trình liên quan 62
Tài liệu tham khảo 62

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng tính
Artin hoặc tính Noether của một lớp vành nào đó luôn là một trong
những đề tài rộng và hấp dẫn đối với các nhà nghiên cứu cấu trúc vành.
Từ định lý cấu trúc Wedderburn - Artin và các điều kiện tương đương,
các lớp vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành và SI- vành đã xuất hiện
và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
1.2. Lớp vành CS-nửa đơn là một lớp vành mở rộng thực sự của lớp
vành Artin nửa đơn và đó là lớp vành Artin hai phía. Các kết quả về
lớp vành này cho đến những năm 1994 đã được giới thiệu trong [11].
Đặc trưng vành CS- nửa đơn thông qua tính CS (hoặc các điều kiện yếu
hơn) trên lớp môđun hữu hạn sinh hoặc đếm được sinh (xem [38], [32])
là một trong những hướng nghiên cứu về lớp vành này được nhiều nhà
nghiên cứu cấu trúc vành quan tâm.
1.3. Lớp QF- vành đã được Nakayama định nghĩa năm 1939, cuốn
chuyên khảo [54] là một tuyển tập khá đầy đủ các kết quả liên quan đến
lớp QF-vành, đồng thời phần nào đó nói lên sự quan tâm của các nhà
nghiên cứu đối với lớp vành này. Trong lý thuyết QF- vành, giả thuyết
Faith là một trong hai giả thuyết dành được sự quan tâm đặc biệt. Việc
nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ dần giả thuyết Faith là một đề tài
hấp dẫn.
1.4. Lớp V- vành và lớp SI- vành là hai hướng mở rộng khác của lớp
vành Artin nửa đơn. Đặc trưng tính Noether của lớp V- vành đã được
5
các nhà toán học quan tâm nghiên cứu từ những năm 1976 (xem [17],
[11]) và cho đến nay, việc nghiên cứu lớp vành này vẫn là một đề tài
thú vị. Khác với lớp V- vành, lớp SI- vành là trường hợp đặc biệt của
lớp vành Noether. Trong lý thuyết SI- vành người ta đặc biệt quan tâm
đến lớp vành đơn và do đó đặc trưng tính Noether của vành đơn như
một cầu nối để thiết lập điều kiện cho một vành đơn là SI.
Với các lý do như đã nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu
cho luận án của mình là: Đặc trưng một số lớp vành Artin và
Noether.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án đó là:
1. Đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông
qua lớp các môđun trên chúng.
2. Đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó
thu được kết quả mới trên SI- vành.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là lớp các môđun thỏa mãn một số điều kiện
hữu hạn nhất định.
4. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung của luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu trên các lớp
vành: CS- nửa đơn, QF- vành, V- vành, vành đơn và SI-vành.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của luận án là nghiên cứu lý thuyết. Sử
dụng các kỹ thuật liên quan đến đế của môđun cũng như các kỹ thuật
6
khác đã được chúng tôi vận dụng trong mỗi chứng minh.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự
hiểu biết về các lớp vành CS- nửa đơn, V- vành, SI- vành, vành Noether.
Đặc biệt, các kết quả trên lớp QF- vành hy vọng phần nào đó sẽ góp
phần làm sáng tỏ giả thuyết Faith.
Ý nghĩa thực tiễn: Khi nghiên cứu về các lớp vành kể trên, luận án là
một trong những tài liệu tham khảo cho các nhà nghiên cứu, học viên
cao học và sinh viên.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
7.1 Tổng quan luận án: Cùng với nhóm và trường, vành là một trong
ba cấu trúc cơ bản nhất của đại số và có ứng dụng rộng rãi. Vì vậy
việc nghiên cứu vành không chỉ thuần túy là do sự đam mê toán học
mà còn được lôi cuốn bởi sự ứng dụng đa dạng của nó vào các ngành
khoa học khác. Lý thuyết vành đã xuất hiện khoảng 120 năm nay và
ngày càng phát triển một cách phong phú trong bối cảnh này. Mục đích
chính của lý thuyết vành là mô tả cấu trúc của vành. Tuy nhiên, với
định nghĩa trừu tượng của nó, chúng ta không thể đưa ra được điều gì
nhiều hơn là các tính chất chung chung. Vì vậy, muốn nghiên cứu cấu
trúc của vành một cách sâu sắc người ta phải đặt ra các điều kiện cụ
thể và tìm cách mô tả chúng trên cơ sở các cấu trúc đã biết. Do sự đề
xuất của các "điều kiện cụ thể" này mà đã xuất hiện nhiều lớp vành cơ
bản như: vành Artin, vành Noether, vành Goldie, vành Frobenius, vành
tựa Frobenius (QF - vành), vành hoàn chỉnh, v.v .
Emil Artin là người đầu tiên đặt nền móng cho việc nghiên cứu cấu
trúc vành. Năm 1928, ông đã chuyển định lý cấu trúc của Wedderburn
đối với đại số hữu hạn chiều trên một trường đã cho với điều kiện các
7
đại số này không chứa iđêan lũy linh khác không, sang vành thuần túy.
Để đạt được kết quả này, Artin đã rất sáng tạo bằng cách thay thế điều
kiện hữu hạn chiều bởi điều kiện tối tiểu đối với iđêan một phía. Qua đó
cũng đồng thời giải phóng được sự phụ thuộc của vành vào một trường
đã cho. Đây là một trong những định lý cấu trúc hoàn chỉnh trong đại
số nói chung và trong lý thuyết vành nói riêng. Có thể nói, định lý này
đã mở đầu cho sự phát triển của lý thuyết vành một cách có hệ thống.
Để ghi nhận công lao của Artin, người ta gọi kết quả này là định lý cấu
trúc Wedderburn - Artin và gọi vành thỏa mãn điều kiện tối tiểu cho
các iđêan một phía là vành Artin (phía đó). Khi vành Artin không chứa
iđêan lũy linh khác không thì được gọi là vành Artin nửa đơn.
Định lý Wedderburn - Artin phát biểu rằng: Một vành R là Artin
nửa đơn khi và chỉ khi R là tổng trực tiếp hữu hạn một số vành các ma
trận cấp hữu hạn trên các thể. Như vậy, theo định lý này, vành Artin
nửa đơn đã được mô tả một cách triệt để qua một số hữu hạn các thể
và hữu hạn các số nguyên dương (đó là hạng các ma trận). Nói rõ hơn,
với hữu hạn các số nguyên dương n
i
và hữu hạn các thể Si
, i = 1, 2 .k ,
đặt Mn
i
(Si
) là vành các ma trận cấp n
i
trên thể Si
và lập tổng trực tiếp
vành: (1) R = Mn1
(S1
) ⊕ Mn2
(S2
) ⊕ . ⊕ Mnk
(Sk
) thì R là vành Artin
nửa đơn. Ngược lai, nếu S là vành Artin nửa đơn, Artin đã chứng minh
được rằng S đẳng cấu với vành R có dạng (1). Định lý Wedderburn -Artin cho ta biết thêm rằng, điều kiện (1) tương đương với một trong
những điều kiện sau đây:
(2) R là tổng trực tiếp của các iđêan phải tối tiểu;
(3) R là tổng trực tiếp của các iđêan trái tối tiểu;
(4) Mọi R-môđun phải là nội xạ;
(5) Mọi R-môđun trái là nội xạ;
(6) Mọi R-môđun trái là xạ ảnh;
(7) Mọi R-môđun phải là xạ ảnh.
8
Như vậy, cấu trúc của vành Artin nửa đơn đã được đặc trưng bởi
những điều kiện bên trong thông qua các iđêan và điều kiện bên ngoài
thông qua các môđun. Điều này dẫn đến hai hướng nghiên cứu chính
trong lý thuyết vành.
Hướng thứ nhất: Nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua các điều
kiện nội tại (các iđêan một phía).
Hướng thứ hai: Đặc trưng vành bằng các điều kiện bên ngoài (các
môđun trên chúng).
Gọi J là tổng các iđêan lũy linh của vành Artin R bất kỳ, khi đó
vành thương R/J là một vành Artin nửa đơn. Từ đồng cấu tự nhiên
R → R/J , người ta tìm được nhiều tính chất của R, đặc biệt là cấu trúc
bên trong của R đã được suy ra từ cấu trúc của R/J . Thí dụ, trong R/J
mọi iđêan là hạng tử trực tiếp, vậy trong R iđêan nào là hạng tử trực
tiếp? Đây là ý tưởng chủ yếu của hướng nghiên cứu thứ nhất. Những
kết quả chính về hướng nghiên cứu này của vành Artin cho đến cuối
những năm 1980 gồm: Định lý cấu trúc nhóm cộng đối với vành Artin
của Fuchs- Szele [20], định lý tách đối với vành Artin của Szasz [61],
định lý cấu trúc vành Artin với căn Jacobson của Kertesz-Widiger [49],
định lý tách đối với MHR vành của Đinh Văn Huỳnh [41], định lý phân
tích tổng quát đối với vành Artin hai phía của Đinh Văn Huỳnh [42]
và nhiều kết quả khác đối với vành compắc tuyến tính, một dạng tổng
quát hóa vành Artin của Leptin (1955-1957). Các kết quả này chúng ta
có thể tìm thấy trong các tài liệu [2] và [48].
Một lớp con rất quan trọng và có nhiều tính chất đẹp đẽ của lớp
vành Artin đó là lớp vành tựa Frobenius (gọi tắt là QF vành). Lớp vành
này đã được Nakayama định nghĩa năm 1939 dựa trên đế và lũy đẳng
nguyên thủy của vành Artin (xem [47]). Đối ngẫu với vành Artin là vành
Noether, tức là vành thỏa mãn điều kiện tối đại cho các iđêan một phía,
điều này tương đương với sự hữu hạn sinh của mỗi iđêan phía đó.
9
Hướng nghiên cứu thứ hai bắt đầu với những kết quả cơ bản của
Matlis, Papp, Kushan về đặc trưng vành Artin và Noether qua các điều
kiện nội xạ cụ thể của môđun trên chúng (xem [15], [47], [50]). Faith
- Walker đã đặc trưng QF vành bằng sự liên quan của tính nội xạ và
xạ ảnh: Vành R là QF khi và chỉ khi mọi R- môđun phải (trái) nội xạ
là xạ ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (trái) xạ ảnh là nội xạ.
Các điều kiện này thực sự yếu hơn các điều kiện (4), (5), (6) và (7) đã
nêu trên. Ngoài ra, nhiều tác giả khác cũng đã tiếp cận nghiên cứu các
khía cạnh khác nhau của QF vành. Các tác giả này bao gồm: Utumi,
Osofsky, Harada, Oshiro, Armendariz, Đinh Văn Huỳnh, John Clark,
N. V. Dung, Wisbauer, Nicholson, Yousif, Đặc biệt, các nghiên cứu
của Đinh Văn Huỳnh trong những năm 1992-1995 đã làm cho người ta
chú ý trở lại việc nghiên cứu QF vành. Đó là các kết quả nghiên cứu sử
dụng các kỹ thuật mới như: đế bậc 2, điều kiện ACC đối với iđêan cốt
yếu một phía, thay tính nội xạ bởi điều kiện yếu hơn. Trong lý thuyết
QF vành có nhiều giả thuyết liên quan, tuy nhiên trong phạm vi nghiên
cứu của mình, chúng tôi dành sự quan tâm đặc biệt cho giả thuyết Faith
(Faith’s Conjecture):" Vành nửa nguyên sơ và nội xạ một phía là QF "
(xem [43]). Chúng ta có thể tham khảo thêm các kết quả đã đạt được
xung quanh giả thiết Faith trong các tài liệu [19], [54], .
Những nghiên cứu của chúng tôi trong luận án này là sự tiếp tục và
phát triển hướng nghiên cứu thứ hai.
7.2. Cấu trúc luận án: Nội dung của luận án được trình bày trong 4
chương.
Trong chương 1, chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa. Đồng
thời ở đây chúng tôi cũng liệt kê một số kết quả đã biết để tiện sử dụng
cho các chứng minh sau này.
Như chúng ta đã biết, điều kiện CS là một điều kiện nhẹ hơn tính
nội xạ. Vì vậy, khi thay điều kiện "nội xạ" trong (4) bởi điều kiện "CS"
10
chúng ta được một lớp vành rộng hơn lớp vành Artin nửa đơn. Lớp vành
này được gọi là lớp vành CS-nửa đơn và cấu trúc của chúng đã được mô
tả trong các công trình của Dung - Smith [12], Vanaja [64]. Nội dung
của chương 2 giới thiệu các kết quả nghiên cứu đã đạt được về mô tả
cấu trúc của lớp vành này. Trong Định lý 2.2.3, chúng tôi đã thiết lập
một đặc trưng mới cho vành CS-nửa đơn thông qua các môđun hữu hạn
sinh trên chúng.
Trong chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu đặc trưng của lớp
QF vành. Một đặc trưng mới của lớp vành này thông qua tính chất CS
của lớp vành nửa hoàn chỉnh, vành hoàn chỉnh và vành nguyên sơ đã
được chúng tôi đưa ra trong Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.2, Hệ quả 3.2.4
và Hệ quả 3.2.5. Như đã nói ở trên, giả thuyết Faith nói rằng vành nửa
nguyên sơ nội xạ một phía là QF, chúng tôi hy vọng những kết quả của
chương này có thể giúp làm rõ một khía cạnh nào đấy trong việc chứng
minh hoặc phản chứng minh giả thuyết này.
Nội dung chính của chương 4 là các kết quả đặc trưng tính Noether
của lớp V-vành và lớp các vành đơn. Để giải quyết câu hỏi mở của P. F.
Smith (1991), Đinh Văn Huỳnh và S. Tariq Rizvi trong [37] đã đưa ra
điều kiện (℘) của môđun. Trong chương này, chúng tôi giảm nhẹ điều
kiện (℘) thành (℘
0
) để đặc trưng tính Noether của V- vành (Định lý
4.2.4). Ngoài ra chúng tôi đặc trưng tính Noether của vành đơn thông
qua tính chất CS của các môđun xiclic suy biến trong phạm trù σ[M ]
(Định lý 4.3.3). Từ kết quả của Định lý 4.3.3, chúng ta có điều kiện để
vành đơn là Noether (Hệ quả 4.3.4), hoặc mạnh hơn là SI (Định lý 4.4.2,
Hệ quả 4.4.3). Các điều kiện này tương tự như trong các kết quả của
Đinh Văn Huỳnh, S. K. Jain và S. R. López-Permouth [35] nhưng được
thiết lập một cách tổng quát hơn nhiều thông qua phạm trù σ(M ).
Có thể nói rằng, ý tưởng của luận án này được xuất phát từ các điều
kiện tương đương của định lý Wedderburn - Artin. Các lớp vành mà
11
chúng tôi đề cập tới trong chương 2, 3 và 4 đều được khởi nguồn từ lớp
vành Artin nửa đơn do vậy chúng liên hệ với nhau. Các kết quả đã đạt
được của mỗi lớp vành đều là sự đặc trưng các điều kiện hữu hạn khác
nhau thông qua các tính chất khác nhau của một số lớp môđun trên
chúng.
12
CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận án này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được
hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 6 = 0 và mọi R-môđun được xét là
môđun unita phải hoặc trái.
1.1 Các khái niệm cơ bản
Trước hết, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của
Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại. Các khái niệm và tính chất
này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi chủ yếu
tham khảo trong các tài liệu [1], [11], [15], [16], [47], [50] và [51].

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] F.W. Anderson and K.R Furler, Ring and Categories of Modules,
Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin, 1974.
[2] E. Artin, Nesbitt, C.J and Thrall, R.M, Rings with minimum con-dition, Univ. Michigan Publ. in Math. No 1, Ann Arbor, 1994.
[3] E. P. Armendariz, Rings with DCC on essential left ideals. Comm.
Algebra. 8 (1980), 299-308.
[4] A. W. Chatters, A characterization of right noetherian rings,
Quart. J. Math. Oxford, 32(2) (1982), 65-69.
[5] A.W. Chatters and Hajarnavic, Rings with Chain Condition, Pit-man, Lodon, 1980.
[6] J. Clark and Dinh Van Huynh, When is a self-injective semiperfect
ring QF?, J. Algebra, 165 (1994), 531-542.
[7] J. Clark and Dinh Van Huynh, A study of uniform one-side ideals
in simple rings, Glasgow Math. J, 49 (2007), 489-495.
[8] J.H. Cozzens, Homological properties of the ring of differential
polynomials, Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1990), 75-79.
[9] J.H. Cozzens and C. Faith, Simple Noetherian Rings, Cambridge
Univ. Press.UK. London, 1975.
[10] R.F. Damiano, Right PCI ring is right Noetherian, Proc. Amer.
Math. Soc. 77 (1977), 11-14.
64
[11] Nguyen Viet Dung, Dinh Van Huynh, P. F. Smith and R. Wis-bauer, Extending Modules, Pitman, London, 1994.
[12] Nguyen Viet Dung and Patrick F. Smith, Rings for which certain
modules are CS, J.Pure Appl. Algebra 102 (1995), 273-287.
[13] N. Er, Rings whose CS modules are countably
P
ưCS, Comm.
Algebra, 31(11) (2003), 5513-5523.
[14] Noyan Er, Artinian Rings Characterized by Direct Sum of CS
modules, Communications in Algebra, Vol.32(2004), No 12, pp.
4821-4833.
[15] C. Faith, Algebra II, Ring Theory, Springer Verlag(1976).
[16] C. Faith, Algebra I, Rings, Modules and Categories, Springer-Verlag, Berlin/New York(1981). Z.,113(1970), 106-112.
[17] C. Faith, On hereditary rings and Boyle’s conjecture, Arch. Math.
27 (1976), 113-119.
[18] C. Faith, When are proper cylics injective?, Pacific J. Math. 45
(1973), 97-112.
[19] C. Faith and Dinh Van Huynh, When self-injective ring are QF:
A report on a problem, J. Algebra Appl. 1 (2002), 75-105.
[20] L. Fuchs and L. Szele, On Artinian rings, Acta Sci. Math. Szeged,
17 (1956), 30-40.
[21] J. L. Go’mez Pardo and P. A. Guil Asensio, Every
P
ưCS module
has an indencomposable decomposition, Proc. Amer. Math. Soc.
129 (2001), 947-954.
[22] J. L. Go’mez Pardo and P. A. Guil Asensio, Indencomposable de-compositions of modules whose direct sum are CS, J. Algebra,
262(1) (2003), 194-200.
65
[23] K.R. Goodearl, The Singular Torsion and the Splitting Properties,
in: Mem. Amer. Math.Soc. Vol.124 (1972)
[24] K. Hanada, Y. Kuratomi and K. Oshiro, On direct sums of ex-tending modules and internal exchange property, J. Algebre, 250
(2002), 115-133.
[25] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite dierect sums of CS-modules,
International Symposium on Ring Theory, Trends Math (2001),
149-159.
[26] R. Hart, Simple rings with uniform right ideals, J. London Math.
Soc. 42 (1976), 614-617.
[27] Đinh Quang Hai and Dinh Van Huynh, A decomposition theorem
for (℘
∗
)ưsemisimple rings, J.Pure Appl. Algebra, 186 (2004), 139
-149.
[28] Dinh Van Huynh, Nguyen Viet Dung and Robert Wisbauer, Quasi
- injective modules with ACC or DCC on essential submodules.
Arch. Math. Vol.53 (1989), 252-255.
[29] Dinh Van Huynh, Structure of some noetherian SI rings, J. Alge-bra, 254 (2002), 362 - 374.
[30] Dinh Van Huynh, Rings with ACC on essential right ideals, Math.
Japonica, 35 (1990), 707-712.
[31] Dinh Van Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, A note on GV-modules with Krull dimention, Glasgow Math. J, 32 (1990), 389-390.
[32] Dinh Van Huynh and S. T. Rizvi, On some classes of Artinian
rings, J. Algebra, 223 (2000), 133-153.
66
[33] Dinh Van Huynh and S. T. Rizvi, On countably sigma-CS rings,
Algebra and Its Application, Narosa Publishing House, New Delhi,
Chennai, Mumbai, Kolkata (2001), 119-28.
[34] Dinh Van Huynh, S. K. Jain and S. R. Lo’pez-Permouth, Ring
characterized by direct sums of CS modules, Comm. Algebra, 28
(2000), 4219-4222.
[35] Dinh Van Huynh, S.K. Jain and S.R. Lo’pez-Permouth, When is a
simple ring Noetherian ?, Journal of Algebra, 184 (1996), 786-794.
[36] Dinh Van Huynh, S.K.Jain, and S.R.Lo’pez-Permouth, When xi-clic singular modules over a simple ring are injective, Journal of
Algebra, 263 (2003), 188-192.
[37] Dinh Van Huynh and S. T. Rizvi, An affirmative answer to a
question on noetherian rings, J. Algebra and Appl. 7 (2008), 47-59.
[38] Dinh Van Huynh, S. T. Rizvi, and M. F. Yousif, Rings whose
finitely generated modules are extending, J. Pure Apl. Algebra
111 (1996), 325-328.
[39] Dinh Van Huynh, Hong Kee Kim and Jae Keol Park, Some results
on SI-Rings, J.Algebra, 174 (1995), 39-52.
[40] Dinh Van Huynh and Tung Ngo Si, A note on quasi-Frobenius
rings, Proc. Amer. Math. Soc, 124 (1996), No.2, 371-375.
[41] Dinh Van Huynh, Die Spaltbarkeit von MHR-Ringe, Bull. Acad.
Polon. Sci, 25 (1977), 939-941.
[42] Dinh Van Huynh,
¨
Uber Artinsche Ringe, Math. Nachr, 16 (1978),
187-194.