Thạc Sĩ Đặc trưng không gian trạng thái và tính ổn định của một số hệ Sandpile Model mở rộng

Mục lục
Mục lục 1
Danh mục hình vẽ 3
Danh mục ký hiệu 6
Tóm tắt 7
Abstract 8
Mở đầu 9
1 Hệ động lực rời rạc 13
1.1 Các kiến thức chuẩn bị 13
1.1.1 Đồ thị . 13
1.1.2 Phân hoạch của số tự nhiên, tập thứ tự bộ phận và dàn . 18
1.1.3 Ngôn ngữ . 24
1.2 Một số hệ động lực rời rạc 25
1.2.1 Các kiến thức chung về hệ động lực rời rạc . 25
1.2.2 Hệ CFG 28
1.2.3 Hệ SPM 34
2 Hệ SPM: Tính ổn định 40
2.1 Hệ E-SPM . 41
2.2 Cấu trúc không gian trạng thái của các phân hoạch trơn . 43
2.3 Độ dài đường đi giữa hai phân hoạch trơn trong hệ E-SPM 46
12.4 Kết luận chương . 57
3 Hệ SPM đối xứng song song 58
3.1 Một số mở rộng của hệ SPM . 59
3.1.1 Hệ SPM song song (P-SPM) . 59
3.1.2 Hệ SPM đối xứng (S-SPM) . 60
3.2 Hệ SPM đối xứng song song (PS-SPM): Trạng thái ổn định 64
3.3 Kết luận chương . 81
4 Các hệ mở rộng CFG có dấu và SPM đối xứng 82
4.1 Hệ mở rộng CFG có dấu (S-CFG) 83
4.2 Các mở rộng S-SPM và S-CFG trên đường thẳng . 84
4.2.1 Sự đẳng cấu 85
4.2.2 Trạng thái ổn định 86
4.3 Các mở rộng trên đồ thị vòng: SPM(Cn), CFG(Cn), S-SPM(Cn) và
S-CFG(Cn) 93
4.3.1 Các hệ SPM(Cn) và CFG(Cn); S-SPM(Cn) và S-CFG(Cn): Sự
đẳng cấu 93
4.3.2 Cấu trúc không gian và đặc trưng trạng thái 98
4.3.3 Trạng thái ổn định của hệ S-CFG(Cn) . 103
4.4 Kết luận chương . 109
Kết luận 110
Danh mục các công trình 113
Tài liệu tham khảo 113
2Danh sách hình vẽ
1.1 Đồ thị đầy đủ K4 . 17
1.2 Biểu đồ Ferrer của phân hoạch (4, 3, 2, 2, 2, 1) . 18
1.3 Biểu đồ Hasse của một số tập thứ tự 21
1.4 Dàn và không phải dàn 22
1.5 Dàn phân phối địa phương trên nhưng không phân phối địa phương
dưới 23
1.6 Đồ thị quỹ đạo của CFG . 30
1.7 Luật rơi phải . 36
1.8 Không gian trạng thái của SPM(6) và SPM(30) 36
2.1 Không gian trạng thái của hệ E-SPM 43
2.2 Không gian trạng thái của hệ E-SPM 45
2.3 Biểu đồ Ferrer . 48
2.4 Cột trơn và đường chéo 48
2.5 Biểu đồ năng lượng 52
2.6 Đường đi dài nhất 54
2.7 Đường đi dài nhất giữa hai phân hoạch trơn 55
2.8 Phản ví dụ cho ea(i, j) = eb(i, j) . 56
3.1 Không gian trạng thái của: (a): SPM(6); (b): PS-SPM(6) . 60
3.2 Dãy đơn đỉnh . 61
3.3 Không gian trạng thái của hệ S-SPM(5) 63
3.4 Khai triển SPM 64
3.5 Không gian trạng thái của hệ PS-SPM(5) 65
33.6 Thủ tục Atom trên (4, 3, 2, 1) 68
3.7 Thủ tục đan xen trên (9) . 70
3.8 Thủ tục giả đan xen trên (13) 74
3.9 Cột đối xứng . 75
3.10 Đường đi từ (20) tới trạng thái ổn định (1123(4)3321) . 80
4.1 CFG có dấu 84
4.2 Trọng số của các ký tự 0 của một từ trong LS . 91
4.3 Không gian trạng thái của S-SPM(C4, 4) 96
4.4 Dàn con SPM(C3, 10) của dàn SPM(10) 101
4Danh mục ký hiệu
Altt
(a) Áp dụng thủ tục đan xen t bước trên a 71
Atomt
(a) Áp dụng thủ tục Atom t bước trên a 67
CFG Chip Firing Game . 28
CFG(G) Hệ CFG trên đồ thị G . 28
CFG(G, O) Hệ CFG trên G xuất phát từ trạng thái O 29
CFG(G, k) Hệ CFG trên G xuất phát từ các trạng thái có trọng số k 29
δ Ánh xạ lấy hiệu đẳng cấu giữa hệ SPM và CFG . 38
E-SPM Hệ SPM mở rộng với luật thêm hạt . 41
LS Ngôn ngữ ổn định trên {1,0,} 87
PAltt
(a) Áp dụng thủ tục giả đan xen t bước trên a . 73
P-SPM(N) Hệ SPM song song xuất phát từ (N) 59
PS-SPM(N) Hệ SPM đối xứng song song xuất phát từ (N) . 65
SE-SPM Tập các phân hoạch trơn cảm sinh từ hệ E-SPM .44
SPM Sandpile Model 34
SPM(N) Hệ SPM xuất phát từ (N) . 35
S-SPM(N) Hệ SPM đối xứng xuất phát từ (N) . 62
5a
↓i Dãy thu được từ a bằng thêm một hạt vào cột i . 42
a<i(a>i) Dãy bên trái (phải) thực sự của a tại i 61
d Ánh xạ lấy hiệu đẳng cấu giữa hệ S-SPM và S-CFG trên đường thẳng . 85
d
n Ánh xạ lấy hiệu trên đồ thị vòng Cn . 96
E(a) Năng lượng của a 49
ea(i, j) Năng lượng của hạt (i, j) trong a . 49
F P(S-CFG(Cn, k) Tập trạng thái ổn định của S-CFG(Cn, k)