Tiến Sĩ Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗− đại số của nhóm Lie compact và nhóm lượng tử tương ứng

Luận án tiến sĩ năm 2012
Đề tài: Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ư đại số của nhóm Lie compact và nhóm lượng tử tương ứng


Mục lục
Lời cam đoan 3
Lời cảm ơn 4
Mở đầu 6
1 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ư đại số của nhóm Lie compact 13
1.1 C∗ư đại số nhóm . 14
1.2 Đồng điều nguyên của đại số Banach đối hợp . 17
1.3 Đặc trưng Chern không giao hoán 23
1.4 Phương án đại số của đặc trưng Chern không giao hoán . 30
1.5 Kết luận Chương 1 43
2 Đặc trưng Chern không giao hoán của nhóm lượng tử compact 44
2.1 Nhóm lượng tử compact và biểu diễn . 45
2.2 Tính ổn định của đồng điều nguyên của những dòng de Rham không
giao hoán . 50
2.3 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ư đại số của nhóm lượng tử
compact 54
2.4 Phương án đại số của đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ư đại
số của nhóm lượng tử compact . 59
2.5 Kết luận Chương 2 63
3 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ư đại số của mặt cầu Sn và mặt cầu lượng tử tương ứng 64
3.1 Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ư đại số của mặt cầu S n 65
3.2 Đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của mặt cầu lượng tử 74
3.3 Kết luận Chương 3 81
Kết luận của luận án 82
Các công trình liên quan đến luận án 85
Tài liệu tham khảo 86


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán nghiên cứu cấu trúc C∗ư đại số nhóm và nhóm lượng tử là một bài toán
quan trọng trong Hình học không giao hoán nói riêng và trong Toán học nói chung.
Các cách tiếp cận thông thường đưa tới hai lý thuyết: KKư lý thuyết như là một
tổng quát hóa K ư lý thuyết Atiyah-Singer và lý thuyết đồng điều không giao hoán
như là một tổng quát hóa lý thuyết đối đồng điều de Rham. Hàm tử liên quan giữa
hai lý thuyết này là các đặc trưng Chern không giao hoán. Đặc trưng Chern không
giao hoán xuất hiện trong nhiều bài toán của Toán học và Vật lý học, chẳng hạn như
công thức tính chỉ số của toán tử elliptic, công thức ký số bậc cao, . Vì thế việc tính
đặc trưng Chern không giao hoán là bài toán được nhiều nhà toán học trong và ngoài
nước quan tâm nghiên cứu.
Khi X là một không gian tôpô, H
∗
(X ) là nhóm đồng điều với hệ số hữu tỷ của
X được mô tả bởi những tích phân de Rham, được đại diện bởi các dạng vi phân với
độ sai khác tới vi phân toàn phần, khi lấy tích phân theo các chu trình tương ứng thì
ta nhận được giá trị bằng số. Mặt khác, K
∗
(X ) là K ư nhóm của không gian tôpô
X có phần tử sinh với đại diện là các phân thớ véctơ. Khi đó đặc trưng Chern của X
là đồng cấu
ch : K
∗
(X ) ư→ H
∗
(X ).
Trong trường hợp G là nhóm Lie compact, ký hiệu H
∗
DR
(G; Q) là nhóm đồng
điều de Rham Z/(2)ư phân bậc với hệ số hữu tỷ, K
∗
(G) là K ư nhóm của G.
Khi đó đặc trưng Chern của G là đồng cấu
ch : K
∗
(G) ⊗ Q ư→ H
∗
DR
(G; Q).
6
Bằng phương pháp sử dụng lý thuyết biểu diễn có trọng trội của nhómLie compact,
trong [23], [60], [61] các tác giả T. Watanabe, L. Hodgkin, R. Held, U. Stuter và H.
Minamin đã tính được đặc trưng Chern cho các nhóm Lie compact SU (2n), Sp(n),
SO(2n+1) và các không gian đối xứng compact SU (n)/Sp(n), SU (2n)/SO(2n),
SU (2n +1)/SO(2n +1). Ngoài những trường hợp trên, việc tính đặc trưng Chern
của các không gian đối xứng compact địa phương nói chung và của các nhóm Lie
compact địa phương nói riêng đang còn là những bài toán mở.
Hình học không giao hoán ra đời vào những năm cuối thập kỷ 70, đầu thập kỷ
80 của thế kỷ XX với những công trình mở đầu của G. G. Kasparov ([27], [28],
[29]) về lý thuyết hàm tử KK và của A. Connes ([4], [5]) về đồng điều cyclic tuần
hoàn, đối đồng điều nguyên cho đại số Banach và đặc trưng Chern không giao hoán.
Cũng như trong hình học giao hoán, việc xây dựng và chứng minh các tính chất của
lý thuyết đồng điều và đối đồng điều cyclic trên đại số Banach đóng một vai trò quan
trọng trong sự phát triển của hình học không giao hoán. Sau công trình mở đầu của
A. Connes, hình học không giao hoán được các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu và
phát triển.
Năm 1993, trong [44] J. Cuntz và D. Quillen đã đưa ra một cách tiếp cận đại số
cho lý thuyết này và biến chúng thành một nhánh mới của hình học đại số bằng cách
xây dựng một cách hệ thống lý thuyết các dạng vi phân không giao hoán trên đại số
không giao hoán. Lý thuyết của J. Cuntz và D. Quillen cho phép chúng ta tính toán
và biến đổi trực tiếp trên các dạng vi phân không giao hoán.
Năm 1998, trong [13], [14], Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư đã xây dựng một
cách tiếp cận lý thuyết đồng điều nguyên của những dòng de Rham không giao hoán
trên đại số Banach đối hợp A, bằng cách xây dựng đồng điều nguyên HE∗
(A) qua
họ iđêan {I
α
}
α∈
trong A cùng với ánh xạ vết τ
α
: I
α ư→ C là ad
Aư bất biến và
đã chứng minh HE∗
(A) thỏa mãn một số tính chất của đồng điều suy rộng như là
tính bất biến đồng luân, tính bất biến Morita.
Cũng như trong trường hợp cổ điển, đặc trưng Chern không giao hoán của đại số
Banach đối hợp có đơn vị A là đồng cấu
ch : K∗
(A) ư→ HE∗
(A)
giữa K ư nhóm và đồng điều nguyên. A. Connes đã xây dựng đồng cấu trên bằng
cách xây dựng phép lập cặp
K∗
(A) ì HE
∗
(A) ư→ C.
Tuy nhiên việc tính đặc trưng Chern theo lý thuyết của A. Connes là bài toán khó
và phức tạp. Cụ thể, khi A là đại số Banach giao hoán, thì đặc trưng Chern của A đã
được các nhà Toán học tính toán một cách tường minh. Ngược lại trong trường hợp
A là đại số Banach không giao hoán (chẳng hạn đối với đại số toán tử compact trên
không gian Hilbert) thì việc tính đặc trưng Chern của A còn là bài toán mở.
Trong [13], [14], Đỗ Ngọc Diệp và Nguyễn Văn Thư đã cải tiến cách xây dựng
đặc trưng Chern không giao hoán của A. Connes bằng cách: Phép lập cặp
K∗
(A) ì HE
∗
(A) ư→ C
của A. Connes, được thu gọn thành phần thứ hai xuống các iđêan và lấy giới hạn
thuận theo một hệ thuận các iđêan trong A. Khi đó các tác giả đã thu được một đặc
trưng Chern không giao hoán mới có liên hệ với giới hạn thuận
K∗
(A) ư→ lim
ư→
HE∗
(I
α
).
Tất cả vấn đề nêu trên là lý do để chúng tôi chọn đề tài: Đặc trưng Chern không giao hoán của C∗ư đại số của nhóm Lie compact và nhóm lượng tử tương ứng.
2. Mục đích nghiên cứu
Tính toán cụ thể đặc trưng Chern không giao hoán ch : K∗
(A) ư→ HE∗
(A) cho
các lớp C
∗
ư đại số:
i) A là C
∗
ư đại số của nhóm Lie compact
ii) A là C
∗
ư đại số của nhóm nhóm lượng tử compact
iii) A là C
∗
ư đại số của mặt cầu và mặt cầu lượng tử.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là C
∗
ư đại số của nhóm Lie compact,
C
∗
ư đại số của nhóm lượng tử, C
∗
ư đại số của mặt cầu và mặt cầu lượng tử.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu trong lĩnh vực lý thuyết đồng điều suy rộng, lý thuyết
KK- nhóm, lý thuyết nhóm lượng tử, lý thuyết các dạng vi phân và lý thuyết đặc
trưng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của luận án là phương pháp lý thuyết: Bằng cách sử dụng
và cải tiến cách xây dựng đồng điều của A. Connes, lý thuyết các dạng vi phân không
giao hoán trên đại số của J. Cuntz và D. Quillen, lý thuyết biểu diễn nhóm lượng tử
của V. Chari và A. Pressley để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của luận án.
6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn
ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về đặc
trưng Chern. Cụ thể là đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của nhóm
Lie compact và nhóm lượng tử tương ứng.
ý nghĩa thực tiễn: Luận án có thể lấy làm một tài liệu cho những người quan tâm
đến đề tài luận án.
7. Tổng quan và cấu trúc của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo và Danh mục các công trình
liên quan đến luận án, nội dung luận án được trình bày trong ba chương.
Chương 1: Đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của nhóm
Lie compact. Cho G là nhóm Lie compact, ký hiệu C
∗
(G) là C
∗
ư đại số của
G. Trong chương này, chúng tôi sử dụng và cải tiến cách xây dựng đối đồng điều
của A. Connes ([4], [5]), lý thuyết dạng vi phân không giao hoán của J. Cuntz và
D. Quillen ([44]) để tính đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
(G). Mục 1.1,
chúng tôi trình bày khái niệm C
∗
ư đại số nhóm và một số tính chất của nó. Trong 1.2
trình bày khái niệm về đồng điều nguyên của đại số Banach đối hợp, định nghĩa không
gian các dòng de Rham không giao hoán, xây dựng song phức dây chuyền cyclic,
từ đó định nghĩa đồng điều cyclic tuần hoàn toàn phần và đồng điều nguyên của
những dòng de Rham không giao hoán trên đại số Banach đối hợp A tương ứng ký
hiệu là HP∗
(A) và HE∗
(A). Tiếp theo, trong 1.3 chúng tôi trình bày khái niệm về
đặc trưng Chern không giao hoán, nội dung chính của mục này là tính được đặc trưng
Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của nhóm Lie compact G (Định lý 1.3.3).
Cuối cùng, trong 1.4, trình bày khái niệm về phương án đại số của đặc trưng Chern
không giao hoán. Nội dung chính trong mục này là chúng tôi sử dụng cách xây dựng
X ư phức cho một đại số của J. Cuntz và D. Quillen để tính đặc trưng Chern không
giao hoán đại số của C
∗
(G) (Định lý 1.4.9).
Chương 2: Đặc trưng Chern không giao hoán của nhóm lượng tử compact.
Ký hiệu C
∗
ϵ
(G) là C
∗
ư đại số của nhóm lượng tử compact G. Trong chương này
chúng tôi tiếp tục dùng lý thuyết dạng vi phân không giao hoán trên đại số của
J. Cuntz và D. Quillen ([44]), hình học vi phân không giao hoán của A. Connes
([4], [5]), lý thuyết biểu diễn nhóm lượng tử compact của V. Chari và A. Pressley
([42]) và những kết quả đã trình bày trong Chương 1 để tính đặc trưng Chern không
giao hoán của C
∗
ϵ
(G). Trong 2.1, trình bày khái niệm về nhóm lượng tử compact,
C
∗
ư đại số của nhóm lượng tử compact G (Định nghĩa 2.1.7) và chứng minh được
tính chất
C
∗
ϵ
(G)
∼
= C(T ) ⊕
⊕
e̸ =ω∈W
∫
⊕
T
K(Hω,t
)dt (Định lý 2.1.8).
Tính chất trên có vai trò quan trọng trong việc tính các K ư nhóm và đồng điều
HE∗
của C
∗
ϵ
(G). Nhờ tính chất này việc tính các K ư nhóm và đồng điều HE∗
của C
∗
ϵ
(G) được quy về tính trên các chuẩn toán tử của xuyến cực đại. Nội dung
chính của 2.2, chúng tôi đã chứng minh được tính ổn định của đồng điều HE∗
(A)
(Định lý 2.2.2). Tiếp theo trong 2.3 trình bày khái niệm đặc trưng Chern không giao
hoán của C
∗
ư đại số của nhóm lượng tử compact, sau khi đưa ra các kết quả về
việc mô tả K∗
(C
∗
ϵ
(G)) và HE∗
(C
∗
ϵ
(G)) (Bổ đề 2.3.1 và Bổ đề 2.3.2), chúng tôi đã
tính được đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ϵ
(G) (Định lý 2.3.3). Cuối cùng,
trong 2.4, chúng tôi trình bày khái niệm phương án đại số của đặc trưng Chern không
giao hoán của C
∗
ϵ
(G). Trước hết chúng tôi tính HP∗
(C
∗
ϵ
(G)) (Bổ đề 2.4.1) và đưa ra
định nghĩa đặc trưng Chern không giao hoán đại số của C
∗
ϵ
(G) (Định nghĩa 2.4.2).
Nội dung trọng tâm của mục này là tính được đặc trưng Chern không giao hoán đại
số của C
∗
ϵ
(G) (Định lý 2.4.4).
Chương 3: Đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của mặt cầu
S
n
và mặt cầu lượng tử. Sử dụng những kết quả của Chương 1 và Chương 2, trong
chương này chúng tôi tính đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của mặt
cầu S
n
và của mặt cầu lượng tử tương ứng. Hai vấn đề cần giải quyết là:
i) Tính ch
C
∗ : K∗
(C
∗
(S
n
)) ư→ HE∗
(C
∗
(S
n
)) là đặc trưng Chern không giao
hoán của C
∗
ư đại số của mặt cầu S
n
.
ii) Chứng minh ch
C
∗
ϵ
: K∗
(C
∗
ϵ
(S
2n+1
)) ư→ HE∗
(C
∗
ϵ
(S
2n+1
)) đặc trưng Chern
không giao hoán của C
∗
ư đại số của mặt cầu lượng tử là một đẳng cấu.
Trong 3.1, trình bày khái niệm đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại
số của mặt cầu S
n
. Vì O(n) là nhóm con đóng trong O(n + 1), nên mặt cầu
S
n
= O(n + 1)/O(n) là không gian thuần nhất. Do đó, C
∗
ư đại số của mặt
cầu S
n
chính là C
∗
ư đại số của nhóm biến đổi. Khi đó, theo A. J. Packer ([38]),
Định lý về tính ổn định của K∗
và HE∗
trong Chương 2 cho phép ta tính được
đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của mặt cầu S
n
(Định lý 3.1.3).
Trong 3.2, chúng tôi áp dụng Định lý 2.1.8 và Định lý về tính ổn định của HE∗
và
K∗
ở Chương 2 để tính đặc trưng Chern không giao hoán cho trường hợp không gian
thuần nhất không giao hoán là C
∗
ư đại số của mặt cầu lượng tử (Định lý 3.2.8).


Tài liệu tham khảo
[1] Brown L. G. and Pedersen G. (1991), "C
∗
ư algebras of real rank zero", Funct.
Anal, 99, 131 - 149.
[2] Connes A. (1981), "An analogue of the Thom isomorphism for crossed of a
C
∗
ư algebra by an action of R", Adv. Math, 39, 39 - 55.
[3] Connes A. (1982), "A survey of foliations and operator
algebras, in operator algebras and applications", Proc. Symp. Pure Math.
American. Math. Soc, 38(1), 521 - 628.
[4] Connes A. (1982), "Noncommutative differential geometry", Publ. Math.
IHES, 62, 14 - 144.
[5] Connes A. (1988), "Entire cyclis cohomology of Banach algebras and
characters of θư summable Fredholm modules", K - Theory, 1, 519 - 548.
[6] Connes A. (1994), "Noncommutative Geometry", Academic Press, San Diego.
[7] Connes A. and Baum P. (1988), "Chern character for Discrete Groups, in a Fête
of Topology", Academic Press, 163 - 232.
[8] Cuntz J. (1992), "A survey of some aspects of noncommutative geometry",
Math. Inst. Univ. Heidelberg, 35, 1 - 29.
[9] Deale V. A. (1988), "K - theory for graded Banach algebras I", Quart. J. Math.
Oxford, 39(2).
[10] Deale V. A. (1992), "K - theory for finite covariant systems", K - Theory, 6,
465 - 485.
86
[11] Diep D. N., Kuku O. A and Tho N. Q., (1999), "Noncommutative Chern char-acters of compact Lie group C
∗
ư algebras", K - Theory, 17, 195 - 208.
[12] Diep D. N., Kuku O. A and Tho N. Q., (2000), "Noncommutative Chern char-acters of compact Quantum group", Journal of Algebra, 226, 311 - 331.
[13] Diep D. N. and Thu N. V. (1997), "Homotopy invariance of entire current
cyclic homology", Vietnam J. Math, 25(3), 211 - 228.
[14] Diep D. N. and Thu N. V. (1996), "Entire Homotopy of noncommutative de
Rham Currents", ICTP, IC/96/214.
[15] Dixmier J. (1982), C
∗
ư Algebras, North- Holland, Amsterdam.
[16] Fedosov B. V. (1996), Deformation quantiztion and index theory, Akademie
Verlag, Berlin.
[17] Fried D. (1982), "Geometry of cross-sections to flows", Topology, 21,
353 - 371.
[18] Getzler E., Vergne M. and Berline N. (1992), Heat Kernels and Dirac
operators, Grundlehren der Mathmatischen Wisséncheften, No. 298,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York.
[19] Green P. (1977), "C
∗
ư algebras of transformation groups with smoothorbit
space", Pacific J. Math, 72, 71 - 97.
[20] Green P. (1978), "The local structure of twisted covariance algebras", Acta.
Math, 140, 191 - 250.
[21] Green P. (1980), "The structure of imprimitivity algebras", J. Funct. Anal, 36,
88 - 104.
[22] Harris A. (1962), "Suspensions and characteristic maps for symmetric spaces",
Ann. of Math, 76, 295 -305.
[23] Hodgkin L. (1967), "On the K- theory of Lie groups", Topology, 6, 1 - 36.
[24] Husemoller D. (1966), Fibre Bundles, Springer-Verlag, New York, Heidelberg,
Berlin.
[25] Jensen K. K. and Thomsen K. (1991), Elements of KK- Theory, Birkhauser,
Boston - Basel- Berlin.
[26] Ji R. (1985), On the crossed product C
∗
ư algebras associated with
Furstenbery transformations on tori, Ph.D. Thesis, SUNY, Stony Brook.
[27] Kasparov G. G. (1980), "Hilbers C
∗
ư modules: Theorem of stinespring and
voicu - lescu", J. Operator Theory, 4, 133 - 150.
[28] Kasparov G. G. (1981), " The operator K - functor and extensions of
C
∗
ư algebras" English translation, Math. USSR Izv, 16, 513 - 572.
[29] Kasparov G. G. (1988), "Equivariant KK - theory and the Novikov conjecture",
Invent. Math, 91, 147 - 201.
[30] Khalkhali M. (1992), "On the entire cyclic cohomology of Banach algebras,
I - Morita invariance", Math. Inst. Uni Heidelberg, 54, 1 - 24.
[31] Khalkhali M. (1992), "On the entire cyclic cohomology of Banach algebras,
I - Homotopy invariance", Math. Inst. Uni Heidelberg, 55, 1 - 18.
[32] Kirillov A. A. (1975), Elements of the Theory of Representations,
Spsinger-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York.
[33] Klimyk A. and Schmudgen K. (1997), Quantum Groups and their
Representations, Spsinger - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York.
[34] Lee L. (1987), "On the C
∗
ư algebras of operator fields", Indiana Univ.
Math. J, 25, 303 - 314.
[35] Mackey G. (1958), "Unitary representations of group extensions, I", Acta.
Math, 99, 265 - 311.
[36] Olesen D., Raeburn I., Rosenberg J. and Hurder S. (1986), "The connes
spectrum for actions of abelian groups on continuous trace algebras", Ergodic
Theory and Dynam. Sys, 6, 541 - 560.
[37] Packer A. J. (1986), "K- theoretic invariants for C
∗
ư algebras associated to
transformations and induced flows", J. Funct. Anal, 67, 25 - 29.
[38] Packer A. J. (1987), "C
∗
ư algebras generated by projective representations of
the discrete Heisenberg group", J. Operator Theory, 18, 42 - 46.
[39] Packer A. J. (1988), "Story Morita equivalence for Heisebery C
∗
ư algebras
and the positive cones of their K0ư groups", Canad. J. Math, 40, 833 - 864.
[40] Packer A. J. (1989), "Twisted group C
∗
ư algebras corresponding to nipotent
discrete groups", Math. Scand, 64, 109 - 122.
[41] Packer A. J. (1994), "Transformation group C
∗
ư algebras: A selective survey",
Contemporary Mathematics, 167.
[42] Pressley A. and Chari V. (1995), A Guide to Quantum Groups, Cambridge
Univ. Press, Cambridge, UK.
[43] Putnam I., Xia J. andMuhly P. (1992), "On the K- theory of some C
∗
ư algebras
of Toeplitz and singular integral operators", J. Funct. Anal, 110, 161 - 225.
[44] Quillen D. and Cuntz J. (1995), "Cyclic homology and nonsingularity",
J. Amer,Math. Soc, 8, 373 - 442.
[45] Reaburn I. and Packer J. A. (1989), "Twisted crossed products of
C
∗
ư algebras", Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 106, 293 - 311.
[46] Reaburn I. and Packer J. A. (1990), "Twisted crossed products of C
∗
ư algebras
II", Math. Ann, 287, 595 - 612.
[47] Rieffel M. (1972), "On the uniqueness for the Heisenberg commutation
relations", Duke Math. Journal, 39, 745 - 755.
[48] Rieffel M. (1974), "Induced representations of C
∗
ư algebras", Adv. in Math,
13, 194 - 257.
[49] Rieffel M., Browb P. and Green P. (1977), "Stable isomorphism and strong
Morita equivalence for C
∗
ư algebras", Pacific J. Math, 71, 349 - 363.
[50] Sakai's S. (1971), "C
∗
ư Algebras and W
∗
ư Algebras", Springer-Verlag,
Berlin-Heidelberg-New York.
[51] Smith H. (1974), "Commutative twisted group algebras", Trans. Amer. Math.
Soc, 197, 315 - 326.
[52] Spielberg J. (1991), "Free-product groups, Cuntz-Kreiger algebras, and
covariants maps", International J. Math, 2, 457 476.
[53] Tho N. Q., (2009), "Non-commutative Chern characters of compact Lie
group C
∗
ưalgebras of the sphers and quantum spheres", Journal of science,
Vietnam National University, Hanoi, Volume 25,No.4,(2009), 249 - 259.
[54] N. Q. Tho (1997), "Đặc trưng Chern không giao hoán của các không gian đối
xứng SU (2n)/Sp(n) và SU (2n + 1)/SO(2n + 1)", Thông báo khoa học
trường ĐHSP Vinh, 15, 28 - 33.
[55] N. Q. Tho (1998), "Đặc trưng Chern không giao hoán của các không gian đối
xứng compact SU (2n)/SO(2n) ", Thông báo khoa học trường ĐHSP Vinh,
18, 40 - 47.
[56] N. Q. Tho (1999), "Đặc trưng Chern không giao hoán của C
∗
ư đại số của mặt
cầu S
n
", Thông báo khoa học của các trường đại học (chuyên ngành Toán -Tin) Bộ Giáo dục và Đào tạo, ISSN. 0868.3034, 44 - 49.
[57] N. Q. Tho (2006), "Tính chất cộng tính của đồng điều nguyên của đại số Banach
đối hợp", Tạp chí khoa học trường ĐH Vinh, Tập 35, số 3A, 81 - 86.
[58] Thu N. V. (1989), "Morita invariance of entire current cyclic homotopy",
Vietnam J. Math, 26(2), 177- 179.