Tài liệu Đa thức nội suy và phương pháp bình phương tối thiểu

ĐỀ TÀI: Đa thức nội suy và phương pháp bình phương tối thiểu

Lời nói đầu
Trong quá tŕnh giảng dạy, ngoài việc chuẩn bị giáo án, lên bục giảng th́ việc ra đề thi, ra bài tập cho sinh viên luyện tập là việc làm không thể thiếu đối với mỗi thầy cô. Và công việc của các thầy cô c̣n vất vả hơn gấp bội khi phải ra những đề đ̣i hỏi khối lượng tính toán lớn, đ̣i hỏi độ chính xác đến 6-7 số lẻ sau dấu phảy. Mặc dù hiện nay các thầy cô có máy tính điện tử cùng các chương tŕnh phần mềm tính toán rất mạnh hỗ trợ như: Mathematica, Maple, Mathlap Nhưng các chương tŕnh này chỉ hỗ trợ tính toán ra kết quả cuối cùng trong khi đó đáp án của một đề thi th́ lại đ̣i hỏi giải theo từng bước. Do đó các thầy cô lại phải tính tay vật lộn với những con số, và mồ hôi lại tiếp tục lăn dài mỗi khi mùa thi tới.
Sau năm năm học tập, em sắp phải xa mái trường Bách Khoa thân yêu, xa thầy cô không quản vất vả cho em những kiến thức để vững chắc bước vào đời. Với những t́nh cảm sâu sắc mà các thầy cô giành cho em, đă giúp em vượt qua rất nhiều khó khăn để hoàn thành đồ án tốt nghiệp với chương tŕnh: “Trợ giúp ra đề phương pháp tính ExamMaker (Examination Maker). Đề tài này chính là món quà nhỏ em dành tặng các thầy cô giúp các thầy cô vơi đi nỗi vất vả trong công việc ra đề thi, ra bài tập. Chương tŕnh có thể trợ giúp các thầy cô ra đề tự động, tạo đáp án đầy đủ
Do thời gian thực hiện đề tài có hạn nên em không thể tạo hệ thống trợ giúp ra đề cho tất cả các môn học. Nhưng em cũng đă xây dựng được một mô h́nh ra đề có tính mở cho phép ra đề bất cứ môn học nào bằng việc viết thêm các môdun cho môn học đó. Hệ thống sẽ tự động cập nhật môdun đó vào. Sở dĩ em chọn môn phương pháp tính để ứng dụng mô h́nh trên v́: việc ra đề phương pháp tính có lẽ là vất vả nhất trong tất cả các môn v́ phải tính toán rất nhiều với những con số dài, hơn thế nữa việc tính toán c̣n đ̣i hỏi độ chính xác cao. Mặt khác môn phương pháp tính là môn học cơ sở mà tất cả sinh viên trường kỹ thuật nào cũng phải học. Do đó cần một khối lượng lớn đề thi và bài tập cho sinh viên luyện tập và thi. Nh­ vậy yêu cầu có một chương tŕnh trợ giúp ra đề phương pháp tính là hết sức cần thiết và cấp bách.
Qua đồ án tốt nghiệp này, em cũng đă được nghiên cứu, học tập và thử sức ḿnh với một đề tài thực tế, với rất nhiều kỹ thuật khó.
Để hoàn thành được đề tài đúng kỳ hạn, em đă vận dụng hết kiến thức, khả năng và nỗ lực của ḿnh. Tuy nhiên vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được những ư kiến đóng góp từ phía các thầy cô và các bạn để chương tŕnh được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội tháng 5 năm 2005





Mục lục
Lêi năi ®Çu
Môc lôc
PhÇn 1. Tæng quan
Ch­¬ng 1. Tæng quan v̉ ch­¬ng tr×nh ExamMaker
1.1 Nhưng ®iÓm næi bËt cña ch­¬ng tr×nh ExamMaker
1.1.1 ExamMaker cho phĐp t¹o ®̉ mét c¸ch tù ®éng.
1.1.2 ExamMaker cho phĐp t¹o ®̉ b¸n tù ®éng.
1.1.3 ExamMaker că kh¶ n¨ng tù ®éng gi¶i ®̉ theo tơng b­íc.
1.1.4 ExamMaker cho phĐp qu¶n lư ng©n hµng ®̉.
1.1.5 ExamMaker ®­îc thiƠt kƠ theo c«ng nghÖ COM.
1.1.6 ExamMaker tƯch hîp nhỉu kü thuËt khă.
1.1.7 ExamMaker că giao diÖn ®Ñp, tiÖn dïng.
1.2 øng dông cña ExamMaker
1.3 Môc tiªu cña ExamMaker
1.4 H­íng ph¸t triÓn cña ExamMaker .
Ch­¬ng 2. Nhưng kü thuËt ®Æc biÖt dïng trong ch­¬ng tr×nh ExamMaker.
2.1 Kü thuËt lËp tr×nh COM
2.1.1 Giíi thiÖu
2.1.2 Kü thuËt
2.2 Kü thuËt liªn kƠt giưa .Net víi Mathematica
2.3 Kü thuËt lËp tr×nh Mathematica
PhÇn 2. C¬ s¬ to¸n häc cho ch­¬ng tr×nh ExamMaker
Ch­¬ng 1. TƯnh gÇn ®óng nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh ®¹i sè vµ siªu viÖt
1.1 §Æt vÊn ®̉
1.2 Kho¶ng ph©n ly nghiÖm.
1.3 C¸c ph­¬ng ph¸p tƯnh gÇn ®óng nghiÖm
1.3.1 Ph­¬ng ph¸p chia ®«i
1.3.2 Ph­¬ng ph¸p lÆp
1.3.3 Ph­¬ng ph¸p d©y cung (cßn gäi lµ ph­¬ng ph¸p c¸t tuyƠn)
1.3.4 Ph­¬ng ph¸p tiƠp tuyƠn(cßn gäi lµ ph­¬ng ph¸p Niut¬n)
Ch­¬ng 2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyƠn tƯnh
2.1 §Æt vÊn ®̉
2.2 C¸c ph­¬ng ph¸p tƯnh gÇn ®óng nghiÖm
2.2.1 Ph­¬ng ph¸p lÆp ®¬n.
2.2.2 Ph­¬ng ph¸p lÆp D©y®en.
Ch­¬ng 3. §a thøc néi suy vµ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng tèi thiÓu
3.1 Bµi to¸n néi suy
3.2 TƯnh gi¸ tr̃ cña ®a thøc b»ng s¬ ®å Hoăcne.
3.3 §a thøc néi suy Lagr¨ng.
3.3.1 Thµnh lËp ®a thøc néi suy Lagr¨ng.
3.3.2 §¸nh gi¸ sai sè.
3.3.3 S¬ ®å khèi cña ®a thøc néi suy Lagr¨ng
3.3.4 ­u nh­îc ®iÓm cña ®a thøc néi suy Lagr¨ng
3.4 §a thøc néi suy Niut¬n
3.4.1 §a thøc néi suy Niut¬n mèc tuú ư.
3.4.2 §a thøc néi suy Niut¬n mèc c¸ch ®̉u.
3.4.3 S¬ ®å khèi cña ph­¬ng ph¸p
3.4.4 ­u nh­îc ®iÓm cña ph­¬ng ph¸p
3.5 Ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng tèi thiÓu
3.5.1 Néi dung cña ph­¬ng ph¸p.
3.5.2 S¬ ®å khèi cña ph­¬ng ph¸p
Ch­¬ng 4. TƯnh gÇn ®óng ®¹o hµm vµ tƯch ph©n x¸c ®̃nh
4.1 TƯnh gÇn ®óng ®¹o hµm
4.1.1 §Æt vÊn ®̉
4.1.2 C«ng thøc tƯnh gÇn ®óng ®¹o hµm cÊp mét.
4.1.3 S¬ ®å khèi cña ph­¬ng ph¸p
4.2 TƯnh tƯch ph©n
4.2.1 §Æt vÊn ®̉
4.2.2 C¸c c«ng thøc tƯnh gÇn ®óng tƯch ph©n
4.2.3 S¬ ®å khèi cña ph­¬ng ph¸p tƯnh tƯch ph©n gÇn ®óng
Ch­¬ng 5. Gi¶i gÇn ®óng ph­¬ng tr×nh vi ph©n th­êng
5.1 §Æt vÊn ®̉
5.2 Ph­¬ng ph¸p ¥le_ph­¬ng ph¸p ¥le c¶i tiƠn.
5.2.1 Ph­¬ng ph¸p ¬le
5.2.2 Ph­¬ng ph¸p ¬le c¶i tiƠn.
5.2.3 S¬ ®å khèi cña ph­¬ng ph¸p
5.2.4 ­u nh­îc ®iÓm cña ph­¬ng ph¸p
5.3 Ph­¬ng ph¸p Runge_Kutta
5.3.1 Runge_Kutta cÊp 3
5.3.2 Runge_Kutta cÊp 4
5.3.3 S¬ ®å khèi cña ph­¬ng ph¸p
5.3.4 ­u nh­îc ®iÓm cña ph­¬ng ph¸p
PhÇn 3. X©y dùng ch­¬ng tr×nh ExamMaker
Ch­¬ng 1. Kh¶o s¸t vµ x¸c lËp gi¶i ph¸p
1.1 Kh¶o s¸t m« h×nh ra ®̉ thñ c«ng
1.1.1 M« h×nh ra ®̉ thñ c«ng
1.1.2 NhËn xĐt
1.1.3 Gi¶i ph¸p
1.2 Kh¶o s¸t thùc tƠ
1.2.1 Kh¶o s¸t c¸c hÖ thèng ra ®̉ hiÖn că
1.2.2 Kh¶o s¸t nhu cÇu
1.2.3 KƠt luËn
1.3 Kh¶o s¸t c¸c d¹ng bµi m«n ph­¬ng ph¸p tƯnh
1.3.1 Bµi to¸n 1 : TƯnh gÇn ®óng nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh ®¹i sè vµ siªu viÖt
1.3.2 Bµi to¸n 2 : Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh ®¹i sè tuyƠn tƯnh
1.3.3 Bµi to¸n 3 : §a thøc néi suy vµ ph­¬ng ph¸p b×nh ph­¬ng cùc tiÓu.
1.3.4 Bµi to¸n 4 : TƯnh gÇn ®óng ®¹o hµm vµ tƯch ph©n.
1.3.5 Bµi to¸n 5 : Gi¶i gÇn ®óng ph­¬ng tr×nh vi ph©n th­êng.
1.3.6 Bµi to¸n 6: bµi to¸n d­íi d¹ng lư thuyƠt
1.4 X¸c lËp gi¶i ph¸p
1.4.1 Ph¹m vi vµ quy m«
1.4.2 C¸c chøc n¨ng ®Æc biÖt
1.4.3 X¸c ®̃nh c«ng cô vµ ph­¬ng ph¸p
1.4.4 §¸nh gi¸ s¬ bé vµ dù kiƠn kƠ ho¹ch thùc hiÖn
Ch­¬ng 2. Ph©n tƯch vµ thiƠt kƠ hÖ thèng
2.1 Ph©n tƯch hÖ thèng
2.1.1 S¬ ®å chøc n¨ng
2.1.2 Ph©n tƯch giao diÖn (interface) cña c¸c ®èi t­îng COM
2.1.3 S¬ ®å luång dư liÖu ë c¸c møc.
2.1.4 S¬ ®å thùc thÓ quan hÖ
2.2 ThiƠt kƠ hÖ thèng
2.2.1 ThiƠt kƠ c¬ së dư liÖu
2.2.2 ThiƠt kƠ c¸c ®èi t­îng COM
2.2.3 ThiƠt kƠ ch­¬ng tr×nh.
KƠt luËn
Tµi liÖu tham kh¶o

PhÇn 1. Tổng quan

Ch­¬ng 1. Tổng quan về chương tŕnh ExamMaker

Chương tŕnh ExamMaker là một chương tŕnh trợ giúp ra đề, ra bài tập cho môn phương pháp tính. Ư tưởng của ExamMaker là tạo ra một chương tŕnh có thể trợ giúp thầy cô ra đề thi, hoặc ra bài tập, tạo một đáp án đầy đủ với lời giải cụ thể theo từng bước của bài toán. Đồng thời chương tŕnh c̣n có khả năng quản lư ngân hàng đề thi và bài tập.
1.1 Những điểm nổi bật của chương tŕnh ExamMaker


[TABLE]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]

Nh́n một cách tổng quan, chương tŕnh ExamMaker có các điểm nổi bật sau:

1.1.1 ExamMaker cho phép tạo đề một cách tự động.

Môn phương pháp tính là một môn cơ sở bắt buộc đối với sinh viên kỹ thuật, là môn giúp sinh viên rèn luyện các phương pháp và kỹ năng tính toán chính xác. Do đó khối lượng bài tập giao cho sinh viên luyện tập và đề thi là rất lớn. Để giảm tối thiểu thời gian ra đề, các thầy cô có thể nhờ chương tŕnh sinh ngẫu nhiên đề bài.
Do đặc trưng của môn phương pháp tính có rất nhiều dạng bài, và mỗi một dạng bài có nhiều phương pháp tính khác nhau. Ví dụ các dạng bài nh­: Tính gần đúng nghiệm thực của phương tŕnh đại số và siêu việt; Giải hệ phương tŕnh đại số tuyến tính Như vậy với mỗi dạng bài ExamMaker phải có cách sinh ngẫu nhiên khác nhau. Nhưng sinh ngẫu nhiên mà vẫn đảm bảo tính hợp lư của đề bài quả thật là việc vô cùng phức tạp.
Trong trường hợp đề bài được sinh tự động không vừa ư các thầy cô các thầy cô có thể chuyển sang phần ra đề bán tự động.
1.1.2 ExamMaker cho phép tạo đề bán tự động.

ExamMaker cho phép các thầy cô tạo đề bán tự động bằng các cách như sau:
Cho trước một vài tham sè sau đó nhờ chương tŕnh t́m nốt các tham số c̣n lại với điều kiện nào đó.
Ví dụ như trong trường hợp giải gần đúng hệ phương tŕnh đại số tuyến tính Ax=b: các thầy cô cho hệ số ma trận A, véctơ b, yêu cầu sai số giả sử là . Các thầy cô có thể nhờ chương tŕnh xác định được x[SUP](0)[/SUP] sao cho số bước lặp chỉ là 3.
Trợ giúp xác định khoảng phân ly bằng đồ thị hàm số đối với dạng bài Tính gần đúng nghiệm thực của phương tŕnh đại số và siêu việt.
Trợ giúp ra đề từ đề đă có sẵn bằng việc thay đổi một số hệ số.
1.1.3 ExamMaker có khả năng tự động giải đề theo từng bước.

Khi đề bài đă được tạo, các thầy cô sẽ nhờ ExamMaker tự động giải bài toán đó. Đây là một chức năng rất độc đáo của chương tŕnh v́ các phần mềm tính toán hiện nay hầu như chỉ đưa ra được kết quả cuối cùng mà không tŕnh bày được những kết quả trung gian ở từng bước giải của bài toán. Dưới đây là những khả năng tự động giải đề của ExamMaker:
ExamMaker hỗ trợ giải bài toán một cách đầy đủ theo từng bước một, giống như làm thủ công.
Chương tŕnh cũng trợ giúp chức năng tạo đáp án cho một đề thi hoàn chỉnh.
ExamMaker c̣n hỗ trợ giải lấy kết quả ngay trong trường hợp các thầy cô chỉ muốn xem kết quả để điều chỉnh đề bài.
1.1.4 ExamMaker cho phép quản lư ngân hàng đề.

ExamMaker hỗ trợ cơ chế bảo mật, lưu trữ, t́m kiếm , sắp xếp đề một cách khoa học. Cho nên nó giúp cho các thầy cô quản lư ngân hàng đề một cách an toàn và dễ dàng. Chương tŕnh c̣n cho phép kết hợp các ngân hàng đề cá nhân thành một kho đề chung cho khoa.
1.1.5 ExamMaker được thiết kế theo công nghệ COM.

Để tiện cho việc nâng cấp, thích ứng với nhiều loại dạng bài, nhiều thuật toán giải, có thể tổng hợp các dạng bài khác nhau thành một đề hoàn chỉnh, chương tŕnh đă được thiết kế theo công nghệ COM (Component Object Model Technologies) của Microsoft. Theo công nghệ này th́ ExamMaker được cấu thành từ nhiều modun. Các modun này có chung mét interface để tương tác với chương tŕnh ExamMaker và tương tác với nhau. ExamMaker tự động thêm một modun nào đó nếu nó được cài. Do đó chương tŕnh ExamMaker hết sức linh động.
1.1.6 ExamMaker tích hợp nhiều kỹ thuật khó.

Việc xây dựng chương tŕnh ExamMaker đ̣i hỏi em phải sử dụng rất nhiều công nghệ khó th́ mới đáp ứng được với những yêu cầu mà bài toán đặt ra. Ví dụ như: Kỹ thuật lập tŕnh COM, kỹ thuật liên kết giữa .Net với Mathematica, kỹ thuật lập tŕnh Mathematica, kỹ thuật tŕnh VBA(Visual Basic for Application)
1.1.7 ExamMaker có giao diện đẹp, tiện dùng.

Việc thiết kế giao diện cho chương tŕnh ExamMaker sao cho tiện dùng, đẹp quả là khó. V́ môn phương pháp tính có rất nhiều công thức toán học, việc tŕnh bày đề gặp phải rất nhều khó khăn. Tuy nhiên với việc kết hợp các công nghệ, các control giao diện mạnh như bộ Developer Express Inc.NET, em đă xây dựng được một hệ thống tương tác với người dùng hết sức thân thiện và bắt mắt.
1.2 Ứng dụng của ExamMaker

ExamMaker sẽ là một công cụ mạnh giúp các thầy cô ra đề, ra bài tập phương pháp tính. Thông qua đó nó sẽ góp phần làm tăng chất lượng dạy và học. Các thầy cô sẽ nhàn hơn trong công việc ra đề, và sinh viên sẽ có nhiều bài tập hơn để luyện tập. Với tính thiết thực của chương tŕnh, em hy vọng ExamMaker sẽ được ứng dụng rộng răi trong các trường đại học kỹ thuật.
1.3 Mục tiêu của ExamMaker

Mục tiêu thứ nhất của chương tŕnh là tạo ra một hệ thống ra đề phương pháp tính trợ giúp được các thầy cô trong việc ra bài tập, đề thi .
Mục tiêu quan trọng nhất của chương tŕnh ExamMaker, là đă cho em cơ hội học tập phương pháp làm việc khoa học để giải quyết một vấn đề thực tế. Ngoài ra sau khi hoàn thành chương tŕnh ExamMaker em cũng đă nắm bắt được rất nhiều kỹ thuật thiết kế, lập tŕnh khó, và cũng đă rót ra được nhiều kinh nghiệm cho bản thân.
1.4 Hướng phát triển của ExamMaker .

Chương tŕnh ExamMaker là một chương tŕnh mở. Do đó việc phát triển chương tŕnh rất dễ dàng, bằng việc viết thêm modun (các modun này được viết độc lập với chương tŕnh), chương tŕnh sẽ tự động cập nhật modun trên.
Chương tŕnh ExamMaker được thiết kế thành một mô h́nh ra đề hoàn thiện. Nếu áp dụng mô h́nh này, th́ ta có thể tạo được chương tŕnh ra đề cho bất kỳ một môn nào đó chứ không chỉ riêng môn phương pháp tính. Trong tương lai không xa, ExamMaker sẽ trở thành chương tŕnh mà có thể ra đề bất cứ môn học nào.

Ch­¬ng 2. Những kỹ thuật đặc biệt dùng trong chương tŕnh ExamMaker.

2.1 Kỹ thuật lập tŕnh COM

2.1.1 Giới thiệu

2.1.2 Kỹ thuật

2.2 Kỹ thuật liên kết giữa .Net với Mathematica

2.3 Kỹ thuật lập tŕnh Mathematica

PhÇn 2. Cơ sơ toán học cho chương tŕnh ExamMaker

Cơ sở toán học cho chươngtŕnh ExamMaker chính là lư thuyết môn phương pháp tính. Nó cung cấp rất nhiều định nghĩa, định lư, phương pháp tính đảm bảo cho việc xây dựng các thuật toán trên máy tính.
Lư thuyết môn phương pháp tính đă được tŕnh bày chi tiết ở các sách giáo tŕnh. Ở đây em chỉ nêu lên các khái niệm, định lư, công thức tính và công thức sai sè [1] nhằm xây dựng sơ đồ khối của thuật toán mà không đi sâu vào việc chứng minh.
Ch­¬ng 1. Tính gần đúng nghiệm thực của phương tŕnh đại số và siêu việt

1.1 Đặt vấn đề

Bài toán t́m nghiệm của phương tŕnh f(x)=0, trong đó f là hàm số đại số hoặc hàm số siêu việt bất kỳ, đóng một vai tṛ quan trọng trong khoa học kỹ thuật. Tuy nhiên việc giải chính xác nghiệm của phương tŕnh lại không hề đơn giản, hay không giải được đối với phương tŕnh đại số bậc cao, hoặc siêu việt. Mặt khác các thông số trong kỹ thuật cũng chỉ là số xấp xỉ. Nh­ vậy việc giải chính xác nghiệm cũng không c̣n ư nghĩa. Do đó việc giải gần đúng nghiệm và đánh giá sai số của nó là việc vô cùng quan trọng.
Chóng ta hăy cùng xem xét về khoảng phân ly nghiệm và các phương pháp giải gần đúng nghiệm trong chương này. Đồng thời em cũng đă xây dựng được sơ đồ khối cho mỗi phương pháp nhằm cung cấp thuật toán cho việc lập tŕnh.
1.2 Khoảng phân ly nghiệm.

§̃nh nghÜa1.1: Khoảng [a,b] được gọi là khoảng phân ly nghiệm nếu nó chỉ chứa một nghiệm của phương tŕnh
Ví dô: cho phương tŕnh :x[SUP]3[/SUP]-x-1=0

[TABLE]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]

Đồ thị hàm số là:

Từ đồ thị hàm số ta có khoảng phân ly nghiệm của phương tŕnh trên là (1, 2).
Định lư sau cho ta cách xác định khoảng phân ly nghiệm của phương tŕnh.
§̃nh lư 1.1 Định lư: Cho y=f(x) liên tục trong (a,b) có đạo hàm f’(x).
Nếu + f(a), f(b) trái dấu ((f(a).f(b)<0).
+f’(x) không đổi dấu trên khoảng (a,b).
th́ (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương tŕnh.
Có hai cách xác định khoảng phân ly nghiệm:
ü Phương pháp giải tích
ü Phương pháp h́nh học
1.3 Các phương pháp tính gần đúng nghiệm

Giả sử (a, b) là khoảng phân ly nghiệm của phương tŕnh f(x)=0. Ta có thể t́m nghiệm gần đúng của phương tŕnh bằng một trong các phương pháp sau:
1.3.1 Phương pháp chia đôi

1.3.1.1 Nội dung phương pháp

Ta chia đôi khoảng (a, b) :
+ Nếu th́ là nghiệm đúng của phương tŕnh f(x)=0.
+Nếu , ta chọn một trong hai khoảng (a, ) và (, b) mà tại hai nút của khoảng hàm số f(x) có dấu khác nhau, làm khoảng cách ly nghiệm mới. Ta gọi khoảng này là (a[SUB]1[/SUB], b[SUB]1[/SUB]) nó có độ dài bằng nửa khoảng (a, b).
Ta lại chia đôi khoảng (a[SUB]1[/SUB], b[SUB]1[/SUB]) và tiếp tục làm như trên
1.3.1.2 Sự hội tụ của phương pháp.

Dễ dàng thấy phương pháp chia đôi hội tụ khi ta thực hiện vô hạn lần việc chia đôi liên tiếp khoảng phân ly (a, b).
1.3.1.3 Sai số của nghiệm gần đúng

Trong thực hành ta không thể thực hiện phương pháp chia đôi vô hạn lần, mà ta chỉ có thể thực hiện được n phép chia đôi và lấy nghiệm gần đúng mà thôi (n nguyên dương và hưu hạn). Khi đó : và .
Ta có thể lấy nghiệm gần đúng như sau:
xa[SUB]n [/SUB] khi đó sai số của nghiệm gần đúng là:
.
xb[SUB]n[/SUB] khi đó sai số của nghiệm gần đúng là:
.
xkhi đó sai số của nghiệm gần đúng là:


1.3.1.4 Sơ đồ khối của phương pháp