Thạc Sĩ Đa thức duy nhất và Bi-URS kiểu (1,N) cho hàm phần hình trên trường không Acsimet

Đề tài: Đa thức duy nhất và Bi-URS kiểu (1,N) cho hàm phần hình trên trường không Acsimet
Mở đầu
Một trong các vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm giải tích là nghiên
cứu các không điểm và điểm kỳ dị. Theo hướng này, vào những năm 20 của
thế kỷ XX, R. Nevanlinna đã công bố các công trình nghiên cứu mà ngày
nay được xem là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc nhất của
toán học: Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của lý thuyết Nevanlinna
là hai định lý cơ bản: định lý cơ bản thứ nhất là một tương tự siêu việt
của định lý cơ bản của đại số, định lý cơ bản thứ hai là mở rộng của định
lý Picard. Gần 60 năm sau, P. Vojta đã phát hiện ra bản dịch của lý thuyết
Nevanlinna trong số học: định lý Roth. Phát hiện này đã giúp P. Vojta đề
ra giả thuyết tổng quát về lý thuyết Nevanlinna số học mà một trong các
hệ quả là định lý Fermat tiệm cận. Sự tương tự giữa lý thuyết Nevanlinna
và xấp xỷ Diophant đã cho một công cụ mới để nghiên cứu các vấn đề của
số học: chỉ cần tìm ra từ điển thích hợp, có thể phiên dịch các kết quả của
lý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học. Lý thuyết Nevanlinna cũng
cho một sự tương tự giữa số đại số và hàm phân hình. Nếu xét trên trường
cơ sở là trường không Acsimet, mà trường các số phức p-adic là một ví dụ,
chúng ta có lý thuyết Nevanlinna p-adic, được xây dựng và phát triển bởi
Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, W. Cherry, P. C. Hu, C. C.
Yang, A. Escassut, A. Boutabaa, Giả thuyết nổi tiếng của W. Cherry chỉ ra
có sự tương tự giữa trường số phức và trường p-adic: ”Mọi kết quả đúng cho
đa thức (hoặc hàm hữu tỷ) trên C thì cũng đúng cho hàm nguyên (hàm phân
hình, tương ứng) trên Cp, trừ những kết quả hiển nhiên sai”, nghĩa là tồn tại
một bản dịch từ trường số phức C sang trường không Acsimet K. Đây là
vấn đề đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới.
Năm 1926, R. Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xác
định một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không tính bội của năm giá trị phân
biệt. Định lý năm điểm của Nevanlinna suy ra rằng hai hàm nguyên khác
hằng chung nhau bốn giá trị hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm3
f và g chung nhau giá trị a nếu f
ư1
(a) = g
ư1
(a)). Kết quả này không thể
tốt hơn, vì hai hàm e
z
và e
ưz
chung nhau tại 0, 1, ư1. Sau đó, Polya chỉ ra,
nếu hai hàm phân hình f và g chung nhau bốn giá trị phân biệt, kể cả bội,
thì g là biến đổi Mobius của f, nghĩa là g =
af + b
cf + d
với các hằng số a, b, c, d
thỏa mãn (c, d) = (0 6 , 0).
Lý thuyết về tập xác định duy nhất của các hàm phân hình được F.
Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghịch ảnh của một tập con
S mà không phải là nghịch ảnh của từng phần tử, chúng ta có thể nhận
được các kết quả tương tự định lý năm điểm Nevanlinna hay không? Tức
là có tồn tại hay không tập S để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa
mãn f
ư1
(S) = g
ư1
(S) kéo theo f = g?
Ký hiệu W là trường số phức C hoặc trường K đóng đại số, đặc số
không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) là vành các hàm chỉnh
hình trên W, M(W) là trường các hàm phân hình trên W. Giả sử S là tập
con không rỗng của Wc = W ∪ {∞}, F là một họ nào đó các hàm xác định
trên W lấy giá trị trên Wc, f ∈ F. Đặt
Ef (S) =
[
a∈S
{(z, m) ∈ W × N|z là không điểm bội m của f ư a},
Ef (S) =
[
a∈S
{z ∈ W|z là không điểm của f ư a}.
Hai hàm phân hình f, g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng,
không tính bội) nếu Ef (S) = Eg(S) (tương ứng, Ef (S) = Eg(S)). Tập S được
gọi là tập xác định duy nhất (tương ứng, tập xác định duy nhất không tính bội)
cho họ các hàm F, kí hiệu là URS (tương ứng, URSIM), nếu với mọi hàm
f, g ∈ F thỏa mãn Ef (S) = Eg(S) (tương ứng, Ef (S) = Eg(S)) thì f = g.
Giả sử B = {a1, a2, . , an} là tập hữu hạn, chúng ta gọi PB(z) =
(z ư a1)(z ư a2) .(z ư an) là đa thức liên kết với tập hợp B. Trong [13], C.
C. Yang - P. Li đã nêu khái niệm sau.
Định nghĩa. Đa thức P(z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh
cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f, g ∈ F và hằng số c = 0 6 nào đó thỏa
mãn P(f) = cP(g) thì c = 1 và f = g. Tương tự, đa thức P(z) ∈ W[z] được
gọi là đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f, g ∈ F thỏa4
mãn P(f) = P(g) thì f = g.
Từ các định nghĩa của URS và đa thức duy nhất ta thấy rằng có một
mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng. Cho tập S là URS cho các hàm phân hình,
chúng ta xây dựng một đa thức P(z) không có nghiệm bội và nhận S làm
tập nghiệm. Khi đó điều kiện Ef (S) = Eg(S) có nghĩa là P(f) và P(g) có
cùng không điểm với cùng bội, điều này yếu hơn điều kiện P(f) = cP(g).
Nghĩa là, nếu S là URS cho các hàm phân hình thì đa thức P liên kết
với S cũng là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình. Vì vậy để
nghiên cứu URS cho các hàm phân hình ta nghiên cứu các đa thức duy nhất.
Khi xem xét sự xác định của hàm phân hình thông qua ảnh ngược
của một tập hợp ta gặp rất nhiều khó khăn để giảm số điểm của tập hợp
đó. Cho đến nay, chưa có phương pháp nào để tìm URS cho các hàm phân
hình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé hơn 11 (tương ứng, 10). Vì
vậy có một vấn đề được đặt ra là xem xét sự xác định của các hàm phân
hình thông qua ảnh ngược của nhiều hơn một tập hợp.
Định nghĩa. ([3]) Giả sử S, T là các tập con trong Wc = W ∪ {∞} sao
cho S∩T = ∅. Khi đó cặp (S, T) được gọi là bi-URS cho F nếu với hai hàm
khác hằng số f, g ∈ F thỏa mãn Ef (S) = Eg(S) và Ef (T) = Eg(T) thì f = g.
Năm 1996, P. Li và C. C. Yang ([12]) đã chứng minh rằng trên C tồn
tại bi-URS kiểu (1, n) cho hàm phân hình có dạng ({∞}, S) với #S ≥ 15.
Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W. W. Adams và E. G. Straus đã
chỉ ra: với mọi a =6 b ∈ K, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên. Năm
1998, A. Boutabaa và A. Escassut ([4]), bằng các ước lượng phù hợp cho đa
thức P(z) = z
n ư az
m + 1, đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞},
tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1, z2, . , zn}). Tiếp theo, trong
[6], các tác giả đã chứng minh không tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng
({ω}, {z1, z2, z3}). Sau đó, đến năm 2001, bằng cách sử dụng các ước lượng
hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thị Hoài An ([9]) đã chỉ ra sự tồn
tại của bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1, z2, z3, z4}). Như vậy, vấn đề
tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (1, n) đã được giải quyết trọn vẹn và n = 4
là số tốt nhất có thể.
Gần đây, bằng cách sử dụng công cụ của Hình học đại số, xây dựng
các đa thức liên kết và xét tính hyperbolic của các đường cong tương ứng,5
Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) đã chỉ ra sự tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu
(2, n), với mọi n ≥ 3 và khẳng định n = 3 là số bé nhất có thể. Các kết
quả của Tạ Thị Hoài An và Nguyễn Trọng Hòa đạt được là những đóng
góp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiên
cứu các vấn đề tương tự. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu về đa thức duy nhất và song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho hàm
phân hình trên trường không Acsimet. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại
một cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ
ra. Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa các
kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. Đề tài của chúng tôi mang tên:
”Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1, n)
cho hàm phân hình trên trường không Acsimet”.
Phương pháp của chúng tôi là sử dụng ước lượng các hàm Nevanlinna
để đánh giá tập không điểm của một lớp các đa thức thỏa mãn một số điều
kiện nào đó.
Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, các tài liệu
tham khảo và ba chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic và lý
thuyết Nevanlinna p-adic. Đây là các kiến thức cơ sở cho các chương sau.
Chương 2 trình bày các kết quả về đa thức duy nhất cho các hàm
phân hình trên trường không Acsimet.
Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác định duy nhất kiểu
(1, n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Trọng
Hòa, ngưới đã đặt vấn đề và dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc của mình.
Tác giả xin gửi tới TS. Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành. Tác giả
cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS. TS. Mỵ Vinh Quang người thầy
đầu tiên đã hướng dẫn tác giả trong công việc nghiên cứu các vấn đề về
lý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng. Tác giả cũng xin chân thành
biết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố Hồ
Chí Minh, đặc biệt là TS. Nguyễn Thái Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả
hoàn thành công việc của mình. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS.6
TS. Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS. TS. Đậu Thế Cấp và PGS. TS.
Lê Hoàn Hóa đã giảng dạy cho tác giả các chuyên đề cao học. Tác giả cũng
xin gửi lời cảm ơn tới tập thể cán bộ Phòng Khoa học công nghệ và Sau
đại học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp tác giả hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình.
Cuối cùng, tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến Mẹ, người mà đã chấp nhận
khó khăn và dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành công
việc học tập của mình.7
Chương 1
Các kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở về hàm
phân hình và lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Trước hết,
chúng tôi đưa ra các ký hiệu dùng trong luận văn.
ã K là trường đóng đại số, đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không Acsimet.
ã C là trường các số phức.
ã Cp là trường các số phức p-adic.
ã L là C hoặc K.
ã A(L) là vành các hàm nguyên trên L.
ã M(L) là trường các hàm phân hình trên L.
ã W là trường đóng đại số, đặc số 0.
ã Wc là không gian xạ ảnh một chiều trên W.
ã F là một họ các hàm xác định trên W và lấy giá trị trên Wc.8
1.1 Trường không Acsimet
Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trình
bày một cách chi tiết trong [8].
Chuẩn không Acsimet
Định nghĩa 1.1. Một chuẩn trên trường W là ánh xạ
|.| : W → R+ = [0,∞),
thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) |x| = 0 ⇔ x = 0,
(2) |xy| = |x||y|; ∀x, y ∈ W,
(3) |x + y| ≤ |x| + |y|; ∀x, y ∈ W.
Nếu thay (3) bởi điều kiện mạnh hơn: (3
′
) |x + y| ≤ max{|x|, |y|} thì ta thu
được chuẩn không Acsimet.
Mỗi chuẩn |.| trên trường W cảm sinh một hàm khoảng cách d xác
định bởi d(x, y) = |x ư y| với mọi x, y ∈ W, và do đó chuẩn này cảm sinh
một tôpô trên W. Trường với chuẩn không Acsimet được gọi là trường không
Acsimet, ký hiệu K. Hai chuẩn trên một trường W gọi là tương đương nếu
nó cùng cảm sinh một tôpô trên W.
Cho r là số thực dương và điểm x ∈ W. Ký hiệu đĩa mở, đĩa đóng tâm
x bán kính r theo thứ tự bởi:
D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) < r},
D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) ≤ r}.
Đĩa D = D(0, 1) được gọi là đĩa đơn vị.
Với hằng số c > 1, hàm vc : W → R ∪ {∞},
vc(x) =
(
ư logc
|x| nếu x = 0 6 ,
+∞ nếu x = 0.
được gọi là hàm cộng tương ứng của chuẩn |.|.9
Mệnh đề 1.1. Một chuẩn trên trường W là không Acsimet nếu và chỉ nếu hàm
cộng v tương ứng của nó thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) v(x) = +∞ ⇔ x = 0,
(2) v(xy) = v(x)v(y); ∀x, y ∈ W,
(3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}; ∀x, y ∈ W.
Không gian p-adic (Xem [8], [2])
Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic, được xác định
như sau:
Cho p là số nguyên tố. Với mỗi số nguyên a = 0 6 , ta có thể viết a = p
v
a
′
,
p không chia hết a
′
. Số tự nhiên v được xác định duy nhất bởi a và p, cho
nên ta nhận được hàm
vp : Z
∗ → Z+, vp(a) = v.
Có thể mở rộng hàm vp lên trường các số hữu tỷ: với mọi x = a/b ∈ Q, đặt
vp(x) =
(
vp(a) ư vp(b) nếu x = 0 6 ,
+∞ nếu x = 0.
Khi đó, chúng ta có chuẩn p-adic tương ứng, ký hiệu |.|p trên Q, xác định
bởi:
|x|p =
(
p
ưvp(x)
nếu x = 0 6 ,
0 nếu x = 0.
Định lý 1.1 (Ostrowski [8]). Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương
đương với chuẩn p-adic hoặc chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường.
Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỷ Q. Mở rộng
theo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R. Mở
rộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, ký hiệu là Qp.
Gọi Qp là bao đóng đại số của Qp. Tuy đóng đại số nhưng Qp không
đầy đủ theo tôpô không Acsimet. Ký hiệu Cp = Qc
p là trường mở rộng
đầy đủ của Qp theo tôpô không Acsimet, và được gọi là trường các số phức
p-adic.
Mệnh đề 1.2. Cp là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn không Acsimet.
Cp là không gian khả ly nhưng không compact địa phương.10
1.2 Hàm phân hình p-adic
Định nghĩa 1.2. Một chuỗi lũy thừa
f(z) =
X∞
n=0
anz
n
; an ∈ K,
hội tụ trên đĩa D(0, ρ) được gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đĩa ấy. Hàm
chỉnh hình p-adic trên toàn K được gọi là hàm nguyên p-adic.
Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm
chung trên một đĩa. Khi đó hàm
ϕ =
f
g
,
được gọi là hàm phân hình p-adic trên đĩa đó. Nếu f và g là các hàm nguyên
p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên K, còn gọi là hàm phân hình p-adic.
Sau này, nếu không cần phân biệt, chúng ta gọi chung hàm phân hình
trên K và hàm phân hình trên C là hàm phân hình.
Cho f là hàm chỉnh hình p-adic khác hằng số trên đĩa D(0, ρ). Với
mỗi 0 < r < ρ, ta định nghĩa hạng tử tối đại:
µ(r, f) = max
n≥0
{|an|r
n
},
tương ứng là chỉ số tâm:
ν(r, f) = max
n≥0
{n : |an|r
n
= µ(r, f)}.
Chúng ta quy ước
µ(0, f) = lim
r→0+
µ(r, f); ν(0, f) = lim
r→0+
ν(r, f).
Bổ đề 1.1. Chỉ số tâm ν(r, f) tăng lên khi r → ρ và thỏa mãn công thức
log µ(r, f) = log |aν(0,f)
| +
Z r
0
ν(t, f) ư ν(0, f)
t
dt + ν(0, f) log r.
Bổ đề 1.2 (Định lý chuẩn bị Weierstrass). Cho f là hàm chỉnh hình trên đĩa
D(0, ρ). Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f) và một hàm
chỉnh hình p-adic g trên D(0, r) sao cho f = gP. Hơn nữa, g không có không
điểm trong D(0, r) và P có đúng ν(r, f) không điểm kể cả bội trên D(0, r).