Thạc Sĩ Công thức Quy Net và một vài ứng dụng

Đề tài: Công thức Quy Net và một vài ứng dụng

LỜI CẢM ƠN
Tri thức là vốn quý nhất của loài người. Càng lên cao, vai trò và công
sức của những người thầy càng quan trọng.
Luận văn này được hoàn tất là nhờ sự tổng hợp khá nhiều kiến thức
từ các môn trong suốt các khóa học, mà trong đó, cũng nhờ quý thầy
đã tận tình hướng dẫn em nắm bắt được. Nhân đây em xin gửi lời cảm
ơn đến quý thầy đã giảng dạy em trong các khóa học.
Đặc biệt, sự hướng dẫn tận tình của thầy hướng dẫn luận văn đã giúp
đỡ em rất nhiều trong việc hoàn thiện kiến thức, hoàn thành luận văn
và hướng dẫn những bước đi chập chững đầu tiên trên con đường nghiên
cứu khoa học. Em xin được gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy.
Ngoài ra, em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy phản biện
đã đọc luận văn của em và giúp em hiểu sâu sắc hơn vấn đề.
Xin chân thành cảm ơn.4
cho qua cua
MỤC LỤC
trang
Trang phụ bìa . 2
Lời cảm ơn 3
Mục lục 4
Mở đầu 6
Chương 1- KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8
1.1. Phức và đồng điều . 8
1.1.1. Các định nghĩa . 8
1.1.2. Một số mệnh đề thường dùng . 9
1.1.3. Phép giải 10
1.2. Phức kì dị và đồng điều kì dị . 11
1.2.1. Các định nghĩa . 11
1.2.2. Một số mệnh đề 12
1.3. Tích tenxơ giữa các môđun 13
1.3.1. Định nghĩa . 13
1.3.2. Một vài tính chất . 14
1.4. Hàm tử Tor, mối liên hệ giữa Tor và tích tenxơ . 15
1.4.1. Tích xoắn các môđun . 155
1.4.2. Tích xoắn các nhóm aben . 17
Chương 2- TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC VÀ ĐỊNH LÝ
EILENBERG – ZILBER 19
2.1. Tích tenxơ giữa các phức . 19
2.1.1. Định nghĩa . 19
2.1.2. Một số mệnh đề 22
2.1.3. Áp dụng tích tenxơ giữa các phức để tính các tích
xoắn . 26
2.2. Định lý Eilenberg – Zilber . 29
2.2.1. Các model acyclic . 29
2.2.2. Định lý Eilenberg – Zilber . 36
Chương 3- CÔNG THỨC QUY NET VÀ MỘT VÀI ỨNG
DỤNG 38
3.1. Công thức Quy net . 38
3.1.1. Một vài mệnh đề bổ trợ 39
3.1.2. Công thức Quy net 47
3.1.3. Trường hợp đặc biệt đối với nhóm aben . 51
3.2. Một vài ứng dụng của công thức Quy net 55
3.2.1. Định lý hệ tử phổ dụng 55
3.2.2. Luật kết hợp của hàm tử Tor 56
3.2.2. Tính đồng điều kì dị của không gian tích 62
KẾT LUẬN 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO 686
cho qua cua
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Như ta đã biết, Đại Số Đồng Điều là một phần của Tôpô Đại Số,
chuyên ngành xuất hiện từ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu
sâu sắc hơn về các không gian tôpô. Trong đó, các tri thức về phức kì dị
đóng vai trò khá quan trọng.
Việc tính các đồng điều kì dị có những ứng dụng cụ thể trong Tôpô
Đại Số, chẳng hạn việc xác định tính đúng sai của sự đồng phôi hoặc
đồng luân giữa các không gian Tôpô hay làm rõ một kết quả nào đó, .
Xuất phát từ tính chất tương đương đồng luân giữa tích tenxơ của
hai phức kì dị của hai không gian tôpô và phức kì dị của không gian
tôpô tích (định lý Eilengberg – Zilber), ta có được sự đẳng cấu đồng
điều của hai phức này. Từ đó, nếu tính được đồng điều của tích tenxơ
của hai phức thông qua đồng điều của các phức thành phần thì ta có
thể tính đồng điều kì dị của không gian tích thông qua đồng điều kì dị
của các không gian thành phần. Điều này được giải quyết bởi định lý
công thức Quy net (K¨unneth). Cho nên, việc hiểu rõ về công thức Quy
net có vai trò hỗ trợ trong việc tìm hiểu sâu hơn về Đại Số Đồng Điều
và Tôpô Đại Số. Đó là lý do chọn đề tài.7
Mục đích
Tìm hiểu rõ về công thức Quy net và cho thấy một vài ứng dụng của
nó.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu trên phạm trù các phức, tích tenxơ các phức, các phức kì
dị và những vấn đề có liên quan.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Làm rõ một số vấn đề về công thức Quy net, bên cạnh đó, cho thấy
được một vài ứng dụng của nó, đặc biệt trong việc tính đồng điều kì dị.Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phức và đồng điều
1.1.1. Các định nghĩa
ã Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R môđun là họ
{Kn, ∂n} gồm các Rưmôđun Kn và các Rưđồng cấu ∂n : Kn →
Knư1 được cho theo tất cả các số nguyên n, ư∞ < n < ∞, hơn
nữa ∂n ◦ ∂n+1 = 0. Điều kiện sau cùng này tương đương với đòi hỏi
Ker ∂n ⊃ Im ∂n+1. Như vậy, phức K là một dãy vô tận về hai đầu:
K : · · · Knư1 Kn
∂n
Kn+1
∂n+1
· · ·
trong đó, tích hai đồng cấu liên tiếp bằng 0.
ã Chu trình n chiều của phức K là phần tử của môđun con Cn(K) =
Ker ∂n.
ã Phần tử bờ (hay biên) n chiều của phức K là phần tử thuộc môđun
con ∂n+1Kn+1.
ã Đồng điều H(K) là họ các môđun Hn(K) = Ker ∂n
.
Im ∂n+1
. Đẳng
thức Hn(K) = 0 có nghĩa là dãy K khớp tại Kn.
89
ã Nếu K và K′
là các phức thì một biến đổi dây chuyền f : K → K′
là họ các đồng cấu môđun {fn : Kn → K′
n
, n ∈ Z} sao cho ∂
′
n
fn =
fnư1∂n với mọi n.
f∗ = Hn(f) : Hn(K) ư→ Hn(K′
)
c + ∂Kn+1 7ư→ f(c) + ∂K′
n+1
được cảm sinh từ f là một đồng cấu.
ã Đồng luân dây chuyền s giữa hai biến đổi dây chuyền f, g : K → K′
là họ các đồng cấu môđun {sn : Kn → K′
n+1
, n ∈ Z}, hơn nữa
∂n+1sn + snư1∂n = fn ư gn
Khi đó, ta viết s : f ≃ g.
ã Ta nói rằng biến đổi dây chuyền f : K → K′
là tương đương dây
chuyền nếu tồn tại một biến đổi dây chuyền h : K′ → K và các
đồng luân s : hf ≃ 1K, t : fh ≃ 1K′.
1.1.2. Một số mệnh đề thường dùng
Định lý 1.1. Nếu s : f ≃ g : K → K′
thì với mọi n ∈ Z,
f∗ = g∗ : Hn(K) ư→ Hn(K′
)
Hệ quả 1.1. Nếu f : K → K′
là tương đương dây chuyền thì với mỗi
n ∈ Z, ánh xạ Hn(f) : Hn(K) → Hn(K′
) là đẳng cấu.
Mệnh đề 1.1. Cho K, K′
là các phức trong phạm trù các nhóm aben,
các Kn là các nhóm aben tự do và ∂n = 0 : Kn → Knư1. Khi đó, nếu
f, g : K → K′
là các biến đổi dây chuyền với
Hn(f) = Hn(g) : Hn(K) → Hn(K′
), ∀n ∈ Z10
thì f ≃ g.
Hệ quả 1.2. Cho K, K′
là các phức trong phạm trù các nhóm aben,
các Kn là các nhóm aben tự do và ∂n = 0 : Kn → Knư1. Khi đó, nếu có
f : K → K′
là biến đổi dây chuyền sao cho Hn(f) là đẳng cấu với mọi
n ∈ Z thì hai phức K và K′
là tương đương đồng luân.
Mệnh đề 1.2. Nếu s : f ≃ g : K → K′
và s
′
: f
′ ≃ g
′
: K′ → K′′
là các
đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền:
f
′
s + s
′
g : f
′
f ≃ g
′
g : K ư→ K′′
.
Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp). Đối với mỗi dãy khớp ngắn các phức
E : 0 K
χ
L
σ
M 0
(χ, σ là các biến đổi dây chuyền, và dãy khớp theo nghĩa khớp tại mọi
n), dãy dài các nhóm đồng điều sau là khớp:
· · · Hn+1(M)
En+1
Hn(K)
χ∗
Hn(L)
σ∗
Hn(M)
En
Hnư1(K)· · ·
trong đó, En : Hn(M) → Hnư1(K) gọi là đồng cấu nối và được xác định
như sau:
En(clsM m) = clsK(χ
ư1
∂
L
σ
ư1m)
1.1.3. Phép giải
Định nghĩa 1.1. Một phép giải của môđun C là dãy khớp dạng:
. Xn
∂
Xnư1
. X1
∂
Xo
ε
C 011
tức phức (X, ε) với các nhóm đồng điều Hn(X) = 0 khi n > 0 và
Ho(X) ∼= C. Phép giải là tự do nếu mọi Xn là tự do, và phép giải là xạ
ảnh nếu mọi Xn là xạ ảnh.
Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh). Nếu γ : C → C
′
là đồng cấu, ε : X → C
là phức xạ ảnh trên C và ε
′
: X′ → C
′
là phép giải của C
′
, thế thì tồn
tại biến đổi dây chuyền f : X → X′
, hơn thế ε
′
◦ fo = γ ◦ ε và bất kỳ hai
biến đổi dây chuyền như thế là đồng luân.
1.2. Phức kì dị và đồng điều kì dị
1.2.1. Các định nghĩa
ã qưđơn hình chuẩn: Cho q ≥ 0. Một qưđơn hình chuẩn, kí hiệu: ∆q
là tập con của R
q+1
, xác định bởi:
(xo, x1, . , xq) ∈ ∆q ⇐⇒



0 ≤ xi ≤ 1
Pq
i=0
xi = 1
e
o
, e
1
, . , e
q
là cơ sở chính tắc của R
q+1
thì e
j
∈ ∆q và gọi là đỉnh
thứ j của ∆q. Ánh xạ ε
j
q được xác định như sau:
ε
j
q
: ∆qư1 ư→ ∆q (j = 0, 1, . , q ư 1)
ε
j
q
(xo, . , xjư1, xj
, . , xqư1) = (xo, . , xjư1, 0, xj
, . , xqư1)
X là không gian tôpô
ã qưđơn hình kì dị là ánh xạ σ : ∆q → X liên tục.
ã SqX là nhón aben tự do, sinh bởi tập tất cả các qưđơn hình kì dị.