Tài liệu Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học của vật rắn trong không gian

Đề tài: Cơ sở lý thuyết chung về phân tích động học của vật rắn trong không gian

CHƯƠNG 2
CƠ SỞ LƯ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC CỦA VẬT RẮN TRONG KHÔNG GIAN

2.1 Ma trận cosin chỉ hướng
2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn
Cho vật rắn B và hệ quy chiếu R = {}. Trong đó là ba véc tơ đơn vị trên các trục Ox[SUB]0[/SUB], Oy[SUB]0[/SUB], Oz[SUB]0 . [/SUB]Ta gắn chặt vật rắn vào một hệ quy chiếu R = {}, với là ba véc tơ đơn vị trên các trục Az, Ay, Az, (H́nh 2.1).
`

Định nghĩa ma trận vuông cấp ba
A= (2.1)
được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ quy chiếu R[SUB]0[/SUB].
Nếu ta đưa vào kư hiệu
a[SUB]ij[/SUB] = . = cos(.), với (i,j = 1,2,3) (2.2)

Th́ ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng
A = (2.3)
Từ định nghĩa trên, trong hệ quy chiếu R[SUB]0[/SUB] ta có các hệ thức hiên hệ:


(2.4)


Nếu ta kư hiệu e[SUB]i[/SUB] là ma trận cột gồm các phần tử của véc tơ trong hệ qui chiếu R[SUB]0[/SUB].
Ta có:
e[SUB]1[/SUB], e[SUB]2[/SUB], e[SUB]3[/SUB] (2.5)
T́m ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng:
A = [e[SUB]1, [/SUB]e[SUB]2[/SUB], e[SUB]3[/SUB]] (2.6)
Ma trận cosin chỉ hướng A c̣n được gọi là ma trận quay của vật rắn.

2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng
a) Tính chất 1: ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao.
Theo công thức (2.6):
A = [e[SUB]1, [/SUB]e[SUB]2[/SUB], e[SUB]3[/SUB]]
Ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba véc tơ trực chuẩn. Do đó A là ma trận trực giao.
Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên A.A[SUP]T[/SUP] = E. Từ đó nhận được 6 phương tŕnh liên hệ giữa các thành phần của ma trận cosin chỉ hướng như sau:



Do vậy chỉ có 3 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập.