Luận Văn Cơ học Lagrage trên đa tạp

Lời nói đầu.

Trong bài báo cáo này, chúng tôi muốn trình bày một ứng dụng của đa tạp vi phân vào
trong cơ học, đặc biệt là cơ học Lagrange.
Nội dung được chia làm hai phần. Phần một bao gồm định nghĩa về không gian cấu hình
với cấu trúc một đa tạp vi phân được gọi là đa tạp cấu hình. Những ví dụ minh hoạ cụ thể
những chuyển động trong cơ học gắn liền với những cấu trúc đa tạp. Định nghĩa ánh xạ trơn
giữu hai đa tạp, đa tạp nhúng. Định nghĩa véc tơ tiếp xúc và không gian tiếp xúc trên đa tạp
theo cách cụ thể và trừu tượng. Định nghĩa đạo hàm ánh xạ trơn. Định nghĩa đa tạp tiếp xúc,
đây là đa tạp trừu tượng có số chiều bằng hai lần số chiều đa tạp. Trên đa tạp tiếp xúc này ta
định nghĩa hàm Lagange trong cơ học. Phần hai nói về cơ học Lagrange trên đa tạp, đa tạp ở
đây là đa tạp tiếp xúc. Trong phần này chỉ ra phương pháp giải hệ Lagrange với ràng buộc
Holonom và hệ phụ thuộc vào thời gian. Cuối phần này là định lý Noether được phát biểu
trên đa tạp, công thức của định lí Noether và những ví dụ cụ thể áp dụng định Noether.
Cuối cùng, chúng tôi muốn gửi lời cám ơn đến thầy Huỳnh Quang Vũ đã tận tình giảng
dạy chúng tôi để chúng tôi có thể làm bài báo cáo này. Mặc dù chúng tôi đã cố gắng nhưng
trong bài báo cáo này vẫn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi rất mong thầy cô và các bạn đóng
góp ý kiến để chúng tôi có thể hoàn chỉnh bài báo cáo này hơn.
Sinh viên
Nguyễn Văn Tiên – Nguyễn Lữ Trọng Khiêm.



Mục lục
CƠ HỌC LAGRANGE TRÊN ĐA TẠP . 4
I. Không gian cấu hình - Ràng buộc Holonom. 4
1. Không gian cấu hình. 4
2. Ràng buộc Holonom. 5
II. Đa tạp vi phân 5
1. Định nghĩa đa tạp vi phân . . 5
2. Ví dụ. . 8
3. Đa tạp nhúng. . 17
4. Không gian tiếp xúc. . 19
5. Đạo hàm ánh xạ . 24
6. Chùm tiếp xúc (The tangent bundle). 25
7. Đa tạp Riemann. . 27
III. Hệ động lực Lagrange. . 28
1. Định nghĩa hệ Lagrange. . 28
2. Hệ tự nhiên. 29
3. Hệ ràng buộc Holonom. 29
4. Phương pháp để giải bài toán với ràng buộc Holonom. . 31
5. Hệ phụ thuộc thời gian (non-autonomous systems). 32
6. Định lí Noether. 33
Tài liệu tham khảo . 38