Thạc Sĩ Chuẩn Monge - Ampere đối với hàm Delta đa điều hòa dưới

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ii
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,
các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán
học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng sư phạm Saravan-CHDCND
Lào cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá
trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 6 năm 2015
Tác giả


Bounthoung SALILACK
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

iii
MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN . i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
MỞ ĐẦU . 1
1. Lý do chọn đề tài . 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
3. Phương pháp nghiên cứu . 2
4. Bố cục của luận văn . 2
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị . 3
1.2. Hàm điều hòa dưới . 7
1.3. Hàm đa điều hoà dưới . 9
1.4. Toán tử Monge- Ampère phức . 11
1.5. Các lớp Cegrell trong £ n
23
Chương 2. CHUẨN MONGE-AMPERE ĐỐI VỚI HÀM d - ĐA ĐIỀU
HOÀ DƯỚI . 25
2.1. Định nghĩa chuẩn 25
2.2. Tô pô của dF 29
2.3. Không gian đối ngẫu 31
2.4. So sánh với các hàm d - điều hoà dưới 36
KẾT LUẬN . 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 42 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lớp các hàm d - đa điều hoà dưới và toán tử Monge-Ampere từ lâu đã
được nghiên cứu bởi Arsove (năm 1953), tiếp theo bởi Kiselman (năm 1977),
Cegrell (năm 1977). Đó là lớp các hàm có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai
hàm đa điều hoà dưới. Ký hiệu lớp này là ( ) PSH d W . Cegrell (năm 1978) [5] đã
chỉ ra rằng trên miền giả lồi W mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
( ) PSH d W được mang bởi tập compact đa cực đều có thể viết được dưới dạng
hiệu của hai phiếm hàm dương. Gần đây Cegrell đã xét hiệu của các hàm đa
điều hoà dưới trong lớp năng lượng F . Giả sử W là miền siêu lồi trong n £ ,
khi đó ( ) = W F= F là một nón lồi trong không gian tuyến tính 1
( )
loc
L W . Ký hiệu
( ) d d = W F F là tập hợp tất cả các hàm 1
( )
loc
u L Î W có thể viết được dưới
dạng
1 2
u u u = - , ở đó
1
( ) u Î W F . Khi đó ( ) d W F làm thành không gian
tuyến tính và có thể trang bị cho không gian này một chuẩn phụ thuộc vào toán
tử Monge-Ampere tổng quát để nó trở thành không gian Banach dF . Theo
hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Chuẩn Monge-Ampere đối với
hàm delta- đa điều hòa dưới".
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell
và J.Wiklund. Xét các hiệu của các hàm đa điều hòa dưới trong lớp năng lượng
F như là không gian tuyến tính và trang bị cho không gian này một chuẩn phụ
thuộc vào toán tử Monge-Ampere phức tổng quát, biến không gian tuyến tính
thành không gian Banach dF . Trình bày một số vấn đề tôpô cơ bản đối với 2

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

không gian này và chứng minh dF không là không gian tách. Đồng thời
nghiên cứu không gian đối ngẫu của nó.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về Dạng vi phân và dòng
trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà
dưới, toán tử Monge-Ampère, giới thiệu về các lớp Cegrell trong £ n
.
- Trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell và J.Wiklund về chuẩn
Monge-Ampere đối với các hàm d - đa điều hoà dưới và toán tử Monge-
Ampere.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp
của giải tích hàm hiện đại, các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương
nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về Dạng vi phân
và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm đa
điều hoà dưới, toán tử Monge-Ampère, giới thiệu về các lớp Cegrell trong £ n
.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày một số kết quả về
chuẩn Monge-Ampere đối với các hàm d - đa điều hoà dưới. Phần đầu của
chương trình bày việc trang bị một chuẩn cho dF để nó trở thành không gian
Banach, và nghiên cứu một số tính chất tô pô của dF . Tiếp theo là nghiên cứu
không gian đối ngẫu ( ) d ¢ F của dF . Phần cuối cùng của chương trình bày các
nghiên cứu so sánh với các hàm d - điều hoà dưới trên các miền trong n  . 3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị
Giả sử n ¡ là không gian vector n chiều với cơ sở chính tắc
(0, ., 0,1, 0, ., 0)
j
e = , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1 j n £ £ kí hiệu
j
u là hàm tọa độ thứ j : ( )
j j
u x x = . Một ánh xạ : .
n n
p
f ´ ´ ® ¡ ¡ £
1444442 444443
gọi
là p - tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định.
Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho
1
( , ., ) 0
p
f v v = khi
1
,1
j j
v v j n
+
= £ <
gọi là ánh xạ p - tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p - tuyến tính thay dấu
từ .
n n
p
´ ´ ¡ ¡
1444442 444443
tới £ kí hiệu ( , )
n p Ù ¡ £ .
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử n WÐ ¡ là tập mở. Một p - dạng vi phân trên W là
ánh xạ :U a ® ( , )
n p Ù ¡ £ .
Nếu đặt ( ) ,1 ,
k k
dx x u k n x = £ £ Î W thì ta có thể viết mỗi p - dạng vi phân
a trên W dưới dạng:
( ) ' ( )
I I
I
x x dx a a = å
ở đó
1
1 1
( , ., ),1 . , . , ( )
p
p p I i i I
I i i i i n dx dx dx x a = £ < < £ = Ù Ù là các
hàm trên W. 4

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Giả sử '
I I
I
dx a a = å là p - dạng và ' ( )
J J
J
x dx b b = å là q - dạng, ở đó
1
1 .
p
i i n £ < < £ và
1
1 .
q
j j n £ < < £ khi đó tích ngoài a b Ù là
( ) p q + - dạng cho bởi công thức
L L
L
dx a b g Ù = å , ở đó 0
L L
dx g = nếu
k l
i j = với 1 ,1 k p l q £ £ £ £ và
1
( 1) .
p q
L L I J l l
dx dx dx
s
g a b
+
= - Ù Ù ,
1
1 .
p q
l l n
+
£ < < £ với s là hoán vị của dãy
1 2
.
p
i i i < < < và
1 2
.
q
j j j < < < trong tập hợp { } 1, .,n để tạo thành dãy tăng
1
1 .
p q
l l n
+
£ < < £ .
Nếu f là một hàm thì f f a a Ù = và ( ) ( ) f f a b a b Ù = Ù .
Mọi p - dạng a với p n > đều bằng 0. Các dạng có bậc cực đại là các dạng
bậc n . Cho a là p - dạng lớp 1
C . Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của a là
( 1) p + - dạng cho bởi:
'
I I
I
d d dx a a = Ù å
Nếu 0 da = ta nói a là dạng đóng. Mọi dạng có bậc cực đại là đóng.
Giả sử 1
1
. , ( )
n
dx dx L a j j = Ù Ù Î W . Khi đó

1
.
n
dx dx dV a j j
W W W
= Ù Ù = ò ò ò ,
dV là độ đo Lebesgue trên W.
Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều ( ) n p - trên tập mở n WÐ ¡
là dạng tuyến tính liên tục ( )
: ( )
n p
T
- W ® D £ . Nếu a là dạng trong
( )
( )
n p -
W D , giá trị của T tại a , kí hiệu bởi ( ) T a hay , T a . 5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Bây giờ giả sử , 0,1, ., p q n = . Ta kí hiệu
( , ) p q
£ là tập các dạng phức song
bậc ( , ) p q hệ số hằng trên n £ . Khi đó nếu
( , ) p q
w Î £ thì w có thể biểu diễn:
,
'
JK J K
J p K q
w w dz dz
= =
= Ù å
ở đó
1 1
, . , .
p q
JK J j j K k k
w dz dz dz dz dz dz Î = Ù Ù = Ù Ù £ tổng lấy theo các
bộ đa chỉ số
1 1
( , ., ), ( , ., )
p q
J j j K k k = = với
1
1 .
p
j j n £ < < £ ,
1
1 .
q
k k n £ < < £ .
Dạng Ka&&hler chính tắc trên n £ cho bởi:
2
1 2 2
n
j j
j
i i
z dz dz b
=
= ¶¶ = Ù å
Khi đó dạng thể tích trên 2 n n
@ £ ¡ cho bởi:
1 1 2 2
1 1
. .
! ! 2 2 2
n
n n
n
i i i
dV dz dz dz dz dz dz
n n
b b b = = Ù Ù = Ù Ù Ù Ù Ù Ù
14442 4443


1 1
( ) .
2
n
n n
i
dz dz dz dz = Ù Ù Ù Ù
Nếu
( , ) p p
w Î £ có thể biểu diễn
1 1 2 2
.
2 2 2
p p
i i i
w w w w w w w = Ù Ù Ù Ù Ù Ù
với
(1,0) j
w Î £ thì w gọi là dạng dương sơ cấp.
Mệnh đề 1.1.3. Không gian các dạng song bậc ( , ) p p được sinh ra bởi các
dạng dương sơ cấp. 6

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Chứng minh. Giả sử
( , ) p p
w Î £ . Khi đó có thể viết:

1 1
,
,
( ) .
2 p p
p
J K j k j k
J p K p
i
w w dz dz dz dz
= =
= Ù Ù Ù Ù å
Vậy chỉ cần biểu diễn
j k
dz dz Ù là tổ hợp tuyến tính của các dạng dương sơ
cấp. Thật vậy,

4
1
1
( ) ( )
4
s s s
j k j k j k
s
dz dz i dz i dz dz i dz
=
Ù = + Ù + å . 
Giả sử n WÐ £ là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc ( , ) p q với hệ số
thuộc
0
( , ) C
¥
W£ (tương ứng
0
( , ) C W£ ) được kí hiệu ( , )
( )
p q
W D (tương ứng
( , )
0
( )
p q
W D ).
Định nghĩa 1.1.4. Mỗi phần tử ( , )
( ( ))
n p n p
T
- - ¢ Î W D gọi là một dòng song bậc
( , ) p q hay ( , ) p q - dòng (tương ứng song chiều ( , ) n p n q - - ). Những phần tử
của ( , )
0
( ( ))
n p n q - - ¢ W D gọi là dòng cấp 0, song bậc ( , ) p q (hay ( , ) p q - dòng cấp 0).
Định nghĩa 1.1.5. Giả sử T là ( , ) p p - dòng trên tập mở n WÐ £ . T được gọi
là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp

1 1 2 2 ( , )
.
2 2 2
n p n p n p n p
i i i
C a a a a a a a
- - - -
= Ù Ù Ù Ù Ù Ù Î
ta có T aÙ là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên W.
Định lí 1.1.6. Mọi dòng dương có cấp 0, nghĩa là có hệ số là các độ đo Borel phức. 7

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/

Mệnh đề 1.1.7. Giả sử
,
, 2
j k j k
j k
i
T T dz dz = Ù å là (1,1) - dòng. Khi đó T là
(1,1) - dòng dương nếu ( ), 0 j j " Î W ³ D và mọi
1
( , ., )
n
n
b b b = Î £ ta có:

,
,
( ) 0
j k j k
j k
T b b j ³ å .
Chứng minh. Giả sử
,
( ), 0, ( ) 0
j k j k
T b b j j j Î W ³ ³ å D .
Với
,
0,
2
j k j k
i
T T dz dz
e e
e c c > * = * Ù å là (1,1) - dạng trơn và
0
limT T
e
e
c
®
* = theo nghĩa dòng. Để chứng minh T dương, cần chứng minh
với ( ), 0 j j Î W ³ D và
1 1 (1,0)
, .,
n
a a
-
Î £ thì

1
1 1 1 1
, ( ) . 0
2
n
n n
i
T j a a a a
-
- -
Ù Ù Ù ³ .
Nhưng

1
1 1 1 1
, ( ) .
2
n
n n
i
T j a a a a
-
- -
Ù Ù Ù

1
1 1 1 1
0
lim , ( ) .
2
n
n n
i
T
e
e
c j a a a a
-
- - ®
= * Ù Ù Ù Ù

,
, 1
( ) 0
n
j k j k
j k
T M M j
=
= ³ å .
Vậy T là dòng dương.
1.2. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm ) : , u X
é ® - ¥ + ¥
êë
gọi
là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a Î ¡ tập