Thạc Sĩ Các MD5- Đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các phân lá tạo bởi các K-Quỹ đạo chiều cực

Đề tài: Các MD5- Đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các phân lá tạo bởi các K-Quỹ đạo chiều cực đại ủa các MD5-Nhóm liên thông tương ứng

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa 1
Lời cam đoan . 2
Mục lục 3
Danh mục các ký hiệu . 4
MỞ ĐẦU . 5
Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ
1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie . 10
1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie 11
1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie 16
1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số 19
Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT
GIAO HOÁN 4 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC
CÁC K-QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN
THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG
2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo . 22
2.2. Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều 25
2.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông
đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét . 29
Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO
CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT
3.1. Phân lá – Phân lá đo được 36
3.2. Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét 41
KẾT LUẬN . 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 51 4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.
Aut G : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G.
B: tập hoành Borel.
^ : trường số phức.
C V( )
∞
: không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V.
End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.
exp : ánh xạ mũ exp.
G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G.
GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.
J F( ): ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F.
Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G.
Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực.
\ : trường số thực.
T Ge
là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e.
V F/ : không gian lá của phân lá.
ΩF
: quỹ đạo Kirillov qua F.
∧: độ đo hoành (đối với phân lá). 5
MỞ ĐẦU
Một trong những bài toán cơ bản và quan trọng nhất của lý thuyết biểu
diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu
unita. Tức là cho trước một nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita
bất khả quy của G (sai khác một đẳng cấu).
Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số
Lie. Vấn đề nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie là
một hướng nghiên cứu lớn trong Hình học – Tôpô và có rất nhiều ứng dụng
trong Vật lý, đặc biệt là vật lý lượng tử. Để giải quyết bài toán này, năm 1962,
A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo để nghiên cứu
lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả
các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải
được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó.
Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các
K-quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó,
việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông
giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp,
tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để.
Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm
Lie và đại số Lie thực giải được đơn giản về phương diện phân tầng các Kquỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov). Đó là lớp các MD-nhóm và MD-đại số.
Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc
là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm. Khi số chiều cực đại bằng số chiều
của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD -nhóm. Đại số Lie của một MD-nhóm
(tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số). 6
Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã liệt kê và phân loại triệt để
lớp các MD -đại số. Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie giao hoán n-chiều
( ), đại số Lie 2-chiều aff\ và đại số Lie 4-chiều aff .
n
\
n ≥1 ^
Về phương diện hình học, không gian các K-quỹ đạo của mỗi MD-nhóm
khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi MD-nhóm chỉ gồm 2 tầng các K-quỹ đạo:
tầng các quỹ đạo 0-chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng
các quỹ đạo chiều cực đại của một MD-nhóm liên thông thì ta thu được các
quỹ đạo là các đa tạp liên thông đôi một rời nhau cùng số chiều, điều này cho
ta liên tưởng đến một phân lá.
Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của hệ khả tích
các phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, phải đến khi các công trình của
Reeb (xem [Re]) ra đời năm 1952 thì các phân lá mới thực sự trở thành đối
tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành
ngành tôpô phân lá – một ngành thuộc lĩnh vực Hình học – tôpô. Tôpô phân
lá tìm được nhiều ứng dụng trong Toán học, cũng như trong vật lý, cơ học.
Việc phân loại các MD-đại số đến nay vẫn là một bài toán mở. Để đơn
giản, ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều. Khi đó ta có
thể kí hiệu MDn-nhóm và MDn-đại số là các MD-nhóm và MD-đại số có số
chiều là n. Vì rằng tất cả các đại số Lie dưới 4-chiều đã được liệt kê hết từ lâu
nên ta chỉ xét các lớp MDn-nhóm và MDn-đại số với n ≥ 4 .
Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê, nhưng chưa phân loại,
toàn bộ lớp các MD4-đại số. Năm 1990, trong các bài báo và luận án tiến sĩ
của mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) đã phân loại triệt để (chính
xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số này. Đồng thời, Lê Anh Vũ còn
chứng minh được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các MD4-
nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của 7
Connes. Hơn nữa, Lê Anh Vũ cũng đã phân loại tôpô các MD4-phân lá và
đặc trưng các C
*
- đại số tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương
pháp KK-song hàm tử.
Như vậy, ta có thể coi lớp các MDn-nhóm và MDn-đại số đã được giải
quyết triệt để trong trường hợp n ≤ 4 . Do đó ta chỉ xét bài toán này trong
trường hợp . Cụ thể là hiện nay với n = 5 thì bài toán vẫn chưa được giải
quyết trọn vẹn.
n ≥ 5
Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng
việc xét chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với n ≤ 4 .
Điều này được khẳng định và minh họa trong [Vu7]. Do đó ta chỉ xét các
MD5-đại số bất khả phân. Nếu không sợ lầm lẫn thì ta dùng thuật ngữ MD-
đại số thay cho MD-đại số bất khả phân.
Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn
xuất giao hoán k chiều (với k<5) và đã đạt được một số kết quả. Trong các
năm từ 2003 đến 2006, Lê Anh Vũ cùng các học trò của mình là Nguyễn
Công Trí (xem [Vu8] và [Vu-Tri]) và Dương Minh Thành (xem [Vu9] và
[Vu-Tha]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn
xuất giao hoán không quá 3 chiều. Đồng thời các tác giả cũng chứng minh
được rằng, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông
tương ứng với các MD5-đại số đó đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa
của Connes và gọi đó là các MD5-phân lá. Cũng trong năm 2006, Lê Anh Vũ
(xem [Vu10] ở phụ lục 1) tiếp tục liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số
bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4-chiều. Dựa trên kết quả này,
chúng tôi tiếp tục nghiên cứu và đạt được những kết quả sau đây:
1) Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên
thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã liệt kê. 8
2) Phân loại và mô tả chi tiết tôpô trên các MD5-phân lá tương ứng.
Các kết quả thu được là nội dung chính của bản luận văn. Bởi thế, luận
văn này được mang tên “Các MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 4-
chiều và các phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-
nhóm liên thông tương ứng”.
Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu.
Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie, Kbiểu diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số.
Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan
đến bài toán đang xét.
Chương 2 và Chương 3: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với
đầy đủ những chứng minh chặt chẽ. Bao gồm việc mô tả chi
tiết bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại
số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều đã được Lê Anh Vũ
liệt kê, đồng thời phân loại và mô tả chi tiết tôpô trên các
MD5-phân lá tương ứng.
Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp
tục nghiên cứu.
Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông
dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu).
Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng
hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi].