Tiến Sĩ Các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên

Luận án tiến sĩ năm 2011
Đề tài: Các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên

MỤC LỤC
Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1
Mở đầu 2
Chương 1. Mảng hiệu martingale và một số bất đang
thức moment 9
1.1. Các kiến thức chuẩn bị . 9
1.2. Mảng hiệu martingale . 16
1.3. Một số bất đẳng thức moment . 18
1.4. Kết luận của Chương 1 27
Chiídng 2. Luật yếu số lổn đối vđi mảng phù hdp
và mảng phù hdp theo hàng 28
2.1. Luật vếu số lổn đối vói mảng phù hợp 28
2.2. Luật vếu số lổn đối vói mảng phù hợp theo hàng 41
2.3. Kết luận của Chương 2 46
Chiídng 3. Luật mạnh số lớn đối vđi mãng các biến
ngẫu nhiên 47
3.1. Các khái niệm và kết quả bo trợ 47
3.2. Luật mạnh số lổn đối vổi mảng các biến ngẫu nhiên .
cho trưòng hợp n —» oo . 54
3.3. Luật mạnh số lổn đối vổi mảng các biến ngẫu nhiên .
cho trưòng hợp |n| —T oo 62
3.4. Kết luận của Chương 3 77
Kết luận chung và kiến nghị 78
Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án 79
Tài liệu tham khảo 80

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Luật số lớn nói riêng, các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất nói chung đã được nhiều nhà. toán học quan tâm nghiên cứu. Luật số lớn có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngành khoa, học thực nghiệm khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có V nghĩa lv thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn to lớn.
1.2. A. N. Kolmogorov là người xâv dựng lý thuyết xác suất bằng phương pháp tiên đề và đã thiết lập luật số lớn nối tiếng mang tên ông. Luật số lớn đối với dãy các biến ngẫu nhiên tiếp tục được nhiều nhà toán học như J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, H. D. Brunk. Y. V. Prokhorov, K. L. Chung, w. Feller, . quan tâm nghiên cứu. Cho đến nay, nghiên cứu luật số lớn vẫn là một vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất.
1.3. Dối vói mảng các biến ngẫu nhiên, cấu trúc nhiều chiều của tập các chỉ số làm nảy sinh nhiều vấn đề. Trên tập các chỉ số. quan hệ thứ tự thông thường không có tính chất, tuyến tính; ta có thế xây dựng các quan hệ thứ tự khác nhau; các dạng hội tụ có thế được xét khi max hoặc min của. các tọa độ tiến tới vô cùng . Các đặc điếm đó góp phần tạo nên tính đa dạng của các kết quả nghiên cứu về luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên.
1.4. Các luật số lón cổ điển chủ yếu tập trung nghiên cứu cho dãy một chí số các biến ngẫu nhiên độc lập và nhận giá trị thực. Một hưổng phát triển các luật số lớn cổ điển là nghiên cứu về luật số lổn đối với dãy và mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. Các kết quả theo hướng nghiên cứu nàv thường có mối liên hệ chặt chẽ vói lý thuyết hình học Banach và tạo ra sư giao thoa giữa lý thuyết xác suất và giải tích hàm.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: “Các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là thiết lập các định lý giói hạn dạng luật số lớn đối vói mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach cho các trưòng hợp: có hoặc không có điều kiện về cấu trúc của mảng các biến ngẫu nhiên và có hoặc không có điều kiện hình học của không gian Banach.
3. Đối tượng nghiên cứu
Luật số lổn đối vói mảng các biến ngẫu nhiên.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn cho mảng các biến ngẫu nhiên bất kỳ nhận giá trị trong không gian Banach thực và khả ly, mảng phù hợp. măng hiệu martingale và mảng hiệu martingale theo khối nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn, măng các biến ngẫu nhiên độc lập, độc lập theo khối và mảng các biến ngẫu nhiên p-trực giao theo khối nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher loại p.
5. Phưdng pháp nghiên cứu
Chúng tồi sử dụng phương pháp nghiên crtu lý thuyết trong khi thưc hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, chúng tôi sử dụng ba phitơng pháp cơ bản trong chứng minh luật số lân. Đó là phiídng pháp chặt cụt. phương pháp sử dụng bất đắng thrtc cực đại dạng bất đắng thức Hájek-Rényi và phương pháp dãy con.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu về các định lý giới hạn trong lý thuyết xấc suất.
Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan về luận án
Luật yếu số lớn đầu tiên được chứng minh bởi một nhà toán học người Thụy Sỹ là J. Bernoulli, kết quả này được công bố vào năm 1713 khi ông đã qua đời. về sau, luật yếu số lổn của J. Bernoulli được mở rộng bỏi S. D. Poisson, J. Bienavmé, p. L. Chebyshev, A. A. Markov và A. Y. Khinchin. Tuy nhiên, phải đến năm 1909 thì luật mạnh số lớn mới được một nhà toán học người Pháp là E. Borel phát hiện và kết quả này đã được A. N. Kolmogorov hoàn thiện (xem [1], [19]). Một trong những kết quả khá sớm về luật mạnh số lớn là định lý của F. p. Cantelli (xem [42]). Định lý này phát biểu rằng: Nếu dãv cấc biến ngẫu nhiên {X[SUB]n[/SUB],Ti ^ 1} độc lập và thỏa, mãn điều kiện

A. N. Kolmogorov đã thay thế điều kiện được đề cập trong định lý của F. p. Cantelli bởi điều kiện Y1T=1 [SUP]—[/SUP] Ex„)[SUP]2[/SUP]/n[SUP]2[/SUP] < oo. Dồng thời,
A. N. Kolmogorov chỉ ra rằng nếu {X[SUB]nì[/SUB] n ^ 1} là một dãv các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối thì điều kiện cần và đủ cĩể có luật mạ.nh số lớn là các biến ngẫu nhiên đó có moment tuyệt đối bậc một hữu hạn. Sau đó, kết quả này đã được J. Marcinkiewicz và A. Zygmund mỏ rộng.

Một hướng phát triển các luật số lổn cổ điển là nghiên cứu về luật số lớn đối vói măng các biến ngẫu nhiên. Đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, R. T. Smythe [59] đã chứng minh luật mạnh số lớn Kolmogorov; luật số lớn Maicinkiewicz-Zygmund cũng đã được nghiên cứu bởi A. Gut [15], A. Gut và u. Stadtmiiller [18], D. H. Hong và
S. Y. Hwang [24], D. H. Hong và A. Volodin [26]. E. B. Czerebak- Mrozowicz, o. I. Klesov và z. Rychlik [7], Luật yếu số lổn đối vói mảng các biến Iigẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach đã được nhiều tác già quan tầm. Một số kết quả theo hướng nghiên cứu này thuộc về L. Zhang [67], D. H. Hong, M. Ordonez Cabrera, s. H. Sung và A. Volodin
[25] , A. Rosalsky và M. Sreehari [51], A. Rosalsky và A. Volodin [55]. Gần đây, luật mạnh số lổn đối vối mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach đã được nghiên cứu bởi J. Hoffmann-J0rgensen, K. L. Su và R. L. Taylor [23]. A. Kuczmaszewska. [32], T. Tómács [02], K. L. Su [60], z. A. Lagodowski [33].
Trong nước, luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên cũng đã dược một số tác giả như Nguvễn Duy Tiến, Nguyễn Văn Giang, Nguyễn Văn Hùng, Nguyễn Văn Quảng. Lẽ Văn Thành. Lê Văn Dũng, . nghiên cứu. Một số kết quả liên quan trực tiếp đến luận án có thể tìm thấy trong các bài báo [47], [49], [52], [53], [61].
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các định lý giới hạn dạng luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach cho các trưòng hợp: có hoặc không có điều kiện về cấu trúc của mảng các biến ngẫu nhiên và có hoặc không có điều kiện hình học của không gian Banach.
Trưóc hết chúng tôi giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale và chứng minh một bốt đắng thức cực đại dạng bất đắng thức Doob đối với mảng hiệu martingale. Chúng tôi cũng chứng minh một bất đắng thrtc cực đại dạng bất đắng thrtc Hájek-Rényi đối với mảng các biến ngẫu nhiên. Sử dụng nhftng kết quả. này cùng với việc bố sung các tính chất hình học của không gian Banach, chúng tôi nhận được các đặc trưng của không gian Banach p-khả trdn và không gian Banach Rademacher loại p dưới dạng bất đắng thức moment đối với mảng các biến ngẫu nhiên.
Dối vối luật yếu số lốn, dựa vào các bất đắng thức moment đối với mảng hiệu martingale, mảng hiệu martingale theo hàng và phương pháp chặt cụt, chúng tôi mở rộng tiêu chuẩn hội tụ suy biến cho trường hợp |n| —ỉ- oo đối vổi mảng phù hợp và mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị trong không gian Banach p-khả. trdn. Điểm lưu ý trong phần chrtng minh là cách xây dựng mảng hiệu martingale và măng hiệu martingale theo hàng tương ứng từ mảng phù hợp và mảng phù hợp theo hàng. Sử dụng nhrtng kết quả này, chúng tôi thu đitợc luật yếu số lổn Kolmogorov-Feller đối vói mảng phù hợp và mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị trong không gian Banach p-khả. trơn vổi giả thiết các biến ngẫu nhiên đó bị trội ngẫu nhiên.
Dối vói luật mạnh số lổn, chúng tôi tiến hành nghiên cứu cho cả hai trưòng hợp n —■ oc và IIII —ỉ- oo. về luật mạnh số lớn cho trường hợp n —> oo, chúng tồi đưa ra điều kiện để một mảng các biến ngẫu nhiên bất kỳ, nhận giá trị trong một không gian Banach tùy ý tuân theo luật mạnh số lân tổng quát. Sử dụng kết quả này, chúng tồi nhận được các đặc trưng của không gian Banach p-khả trdn và không gian Banach Rademacher loại p dưới dạng luật mạnh số lân tổng quát. Dối vói luật mạnh số lớn cho trưòng hợp |n| —¥ oo, sử dụng phitơng pháp dãy con, chúng tồi thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov đối với mảng hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Chúng tôi cũng đưa ra điều kiện để một mảng các biến ngẫu nhiên bất kỳ tuân theo luật mạnh số lổn. Sử dụng kết quả này cùng vổi việc bổ sung các giả thiết ràng buộc đối với mảng các biến ngẫu nhiên và tính chất hình học của không gian Banach, chúng tôi mở rộng một số luật mạnh số lớn đối vói mảng có cấu trúc ràng buộc theo khối. Đó là luật mạnh số lân Brunk- Prokhorov đối với mảng hiệu martingale theo khối nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn và mảng các biến ngẫu nhiên độc lập theo khối nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher loại p, luật số lớn dạng luật số lớn Rademacher-Menshov đối với mảng các biến ngẫu nhiên p-trực giao theo khối nhận giá trị trong không gian Banach Rademacher loại p.
Các kết quả chính của luận án dã được trình bày tại Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7 (Dại học Quy Nhơn. 8/2008), Hội nghị khoa học kỷ niệm “Nửa thế kỷ Tritờng Dại học Vinh anh hùng” (Đại học Vinh, 10/2009), Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về xác suất và thống kê (Dại học Vinh, 5/2010), Hội thảo khoa học nghiên cứu sinh của Trường Đại học Vinh (Đại học Vinh, 12/2010). Seminar của Bộ môn Xốc suất thống kê và Toán ứng dụng thuộc Khoa Toán học, Trường Đại học Vinh (Đại học Vinh, 6/2011). Phần lổn các kết quả này đã được công bố trên các tạp chí Journal of Probability and Statistical Science, Statistics and Probability Letters, Sankhyă: The Indian Journal of Statistics, Lobachevskii Journal of Mathematics và Journal of Inequalities and Applications.
7.2. Cấu trúc của luận án
Ngoài các phần Một số ký hiệu thưòng dùng trong luận án, Mở đầu, Kết luận chung và kiến nghị, Danh Iĩiục công trình liên quan triíc tiếp đến luận ốn và Tài liệu tham khảo, phần nội dung chính của luận án được trình bày trong ba chương.
Chương 1 được dành đế giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale và chứng minh một số bất đắng thức moment đối với mảng các biến ngẫu nhiên. Mục 1.1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị bao gồm các ký hiệu và khái niệm cơ bản cùng với bốn bố đề liên quan đến nội dung của cả. luận án. Mục 1.2 trình bày khái niệm măng hiệu martingale. Mục 1.3 được dành để chứng minh một số bất đẳng thức moment đối với mảng các biến
Iigẫu nhiên cho cả hai trưòng hợp: có và không có điều kiện hình học của không gian Banach. Các kết quả. chính của Chương 1 là Định nghĩa 1.2.3, Định lý 1.3.1, Định lý 1.3.3, Định lý 1.3.4 và Định lý 1.3.6.
Chương 2 trình bày về luật yếu số lớn đối với mảng phù hợp và mảng phù hợp theo hàng cho triíờng hợp |n| —> oo. Mục 2.1 được dành để thiết lập tiêu chuẩn hội tụ suy biến và luật yếu số lổn Kolrnogorov- Feller đối vái mảng phù hợp nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Mục 2.2 tiếp tục nghiên cứu những vấn íìề tương tư như trong Mục 2.1 đối với mảng phù hợp theo hàng. Các kết quả chính của Chương 2 là Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.9, Định lý 2.2.5 và Dịnh lý 2.2.7.
Chương 3 trình bày về luật mạnh số lổn đối với mảng các biến ngẫu nhiên cho hai trường hợp n -ỉ- oo và |n| —> oo. Mục 3.1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị bao gồm các kv hiệu và khái niệm cùng vói bốn bổ đề bổ trợ liên quan đến nội dung của hai mục tiếp theo. Mục 3.2 được dành để nghiên crtu luật mạnh số lổn tổng quát đối với măng các biến ngẫu nhiên cho triíờng hợp n oo. Mục 3.3 được dành để mở rộng luật mạnh số lổn Kolmogorov cho mảng hiệu martingale nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn và chứng minh một số dạng luật mạnh số lớn đối vối mảng các biến ngẫu nhiên có cấu trúc ràng buộc theo khối cho trưòng hợp |n| —> oo. Các kết quả chính của Chương 3 là Định lý 3.2.4, Định lý 3.2.6, Định lý 3.2.8, Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.6, Định lý 3.3.12, Định lý 3.3.16 và Định lý 3.3.18.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất bản Giáo dục.
Tiếng nước ngoài
[2] Brunk H. D. (1948), “The strong law of large numbers”, Duke Math. J., 15. 181-195.
[3] Castaing c., Quang N. V. and Thuan N. T. (2012), “A new family of compact convex valued random variables in Banach space and applications to laws of large numbers”, Statist. Probab. Lett 82(1). 84-95.
[4] Chandra T. K. and Ghosal s. (1998), "Some elementary strong laws of large numbers: a review”, Frontiers in probability and statistics, 61-81.
[5] Chow Y. S. and Teicher H. (1997), Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, third edition. Springer-Verlag. New York.
[6] Christofides T. c. and Serfling R. J. (1990). "Maximal inequalities for multidimensionally indexed submartingale arrays”, Ann. Probability, 18(2), 630-641.
[7] Czerebak-Mrozowicz E. B , Klesov o. I. and Rychlik z. (2002), “Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for pairwise independent random fields”, Probab. Math. Statist., 22(1), 127-139.
[8] Davis w. J. and Lindenstrauss J. (1976). “The /" problem and degrees of non-reflexivity II”, studia Math., 58(2), 179-196.
[9] Donahue M. J., Gurvits L., Darken c. and Sontag E. (1997). “Rates of convex approximation in non-Hilbert spaces”, Constr. Approx., 13(2), 187-220.
[10] Edgar G. A. and Sucheston L. (1992). stopping times and directed processes. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 47, Cambridge University Press, Cambridge.
[11] Fazekas I. and Klesov o. (2002), “A general approach to the strong laws of large numbers”, Theory Probab. Appi. 45(3), 436-449.
[12] Fazekas I. and Tómács T. (1998), “Strong laws of large numbers for pairwise independent random variables with multidimensional indices”, Publ. Math. Debrecen, 53(1-2). 149-161.
[13] Gan s. (1997), ‘The Hájek-Rénvi inequality for Banach space valued martingales and the p smoothness of Banach spaces”, Statist. Probab. Lett., 32(3), 245-248.
[14] Gan s. and Qiu D. (2007), “On the Hajek-Renyi inequality”, Wuhan Univ. J. Nat. Set., 12(6), 971-974.
[15] Gut A. (1978), “Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices”, Ann. Probability, 6(3), 469-482.
[16] Gut A. (2004), “An extension of the Kolmogorov-Feller weak law of large numbers with an application to the St. Petersburg game”, J. Theoret. Probab., 17(3), 769-779.
[17] Gut A. (2005), Probability: a graduate course, Springer, New York.
[18] Gut A. and Stadtmiiller Ư. (2009), “An asymmetric Marcinkiewicz- Zygmund LLN for random fields”, Statist. Probab. Lett., 79(8). 1016- 1020.
[19] Hald A. (2007). A history of parametric statistical inference from Bernoulli to Fisher, Springer. New York.
[20] Hall P. and Hey<lc c. c. (1980), Martingale limit theory and its application, Probability and Mathematical Statistics, Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich. Publishers]. New York- London.

[21] Hajek J. and Rényi A. (1955), “Generalization of an inequality of Kolmogorov”, Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 6. 281-283.
[22] Hoffmann-J0rgensen J. and Pisier G. (1976), “The law of large numbers and the centra] limit theorem in Banach spaces”, Ann. Probability, 4(4), 587-599.
[23] Hoffmann-J0rgensen J., Su K. L. and Taylor R. L. (1997), "The law of large numbers and the Ito-Nisio theorem for vector valued random fields”, J. Theoret. Probab., 10(1), 145-183.
[24] Hong D. H. and Hwang s. Y. (1999), “Marcinkiewicz-type strong law of large numbers for double arrays of pairwise independent random variables”, Int. J. Math. Math. Sci., 22(1), 171-177.
[25] Hong D. H., Ordonez Cabrera M., Sung s. H. and Volodin A. (1999), “Again on the weak law in martingale type p Banach spaces”. Extracta Math 14(1), 45-50.
[26] Hong D. H. and Volodin A. (1999), “Marcinkiewicz-tvpe law of large numbers for double arrays”, J. Korean Math. Soc 36(6), 1133-1143.
[27] Howell J. o. and Taylor R. L. (1981), “Marcinkiewicz-Zygmund weak laws of large numbers for unconditional random elements in Banach spaces”, Probability in Banach spaces III, Lecture Notes in Math Vol. 860. Springer. Berlin-New York. pp. 219-230.
[28] Huan N. V. and Quang N. V., "The Doob inequality and strong law of large numbers for multidimensional arrays in general Banach spaces”, Kybernetika (accepted).
[29] Huan N. V., Quang N. V. and Volodin A. (2010), “Strong laws for blockwise martingale difference arrays in Banach spaces”, Lobachevskii J. Math 31(4), 326-335.
[30] Klesov o., Fazekas I Noszaly c. and Tómács T. (1999), “Strong laws of large numbers for sequences and fields”, Theory stoch. Process 5(3-4), 91-104.
[31] Kolmogorov A. N. (1928), "Uber die Summen durch den Zufall bestimmter unabhangiger Grofien”, Math. Ann., 99(1), 309-319.