Thạc Sĩ Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ

Đề tài: Các điểm hữu tỷ trên các đường cong Elliptic trên trường hữu tỷ
LỜI CÁM ƠN
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn khoa học của TS Phan Dân. Tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, vì Thầy đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi tiếp xúc với
các nguồn tài liệu quý, tài liệu nước ngoài , giảng giải và chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt
quá trình làm luận văn . Hơn nữa thầy đã dành nhiều công sức , thời gian để đọc và chỉnh
sửa luận văn .
Tôi xin chân thành cám ơn Quý Thầy Cô khoa Toán – Tin trường Đại Học Sư Phạm
Tp Hồ Chí Minh , đặc biệt là Quý Thầy tổ Hình học đã cung cấp những kiến thức chuyên
môn cần thiết cho tôi để làm nền tảng cho việc hoàn thành luận văn này
Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Tổ chức hành chính, phòng Khoa học
Công nghệ và Sau đại học, phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư phạm Tp.Hồ
Chí Minh, Ban giám hiệu Trường PTTH Phú Nhuận cùng toàn thể các đồng nghiệp, các
bạn học viên và gia đình đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin chân thành cám ơn
Tp.Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2010
Tác giả
Trần Thế Phục LỜI GIỚI THIỆU
1 - MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Một trong những vấn đề thời sự của Toán học trong suốt ba thế kỷ qua là việc nghiên
cứu tìm lời giải cho Bài toán Fermat (còn được gọi là Định lý lớn Fermat hay Định lý
Fermat-Wiles). Đây là một bài toán thuộc về lĩnh vực Lý thuyết số nhưng đã thu hút được
sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học. Điều thú vị nhất là trong quá trình tìm
kiếm lời giải cho giả thuyết Fermat, người ta đã phải sử dụng tới rất nhiều kiến thức và kỹ
thuật cũng như phương pháp nghiên cứu của rất nhiều ngành khác nhau như Lý thuyết số,
Đại số giao hoán, Giải tích, Hình học, Lý thuyết Galois, , và đặc biệt trong số đó có sự
đóng góp rất quan trọng của ngành Hình học Đại số. Lý thuyết về các đa tạp, các đường
cong đại số và các điểm hữu tỷ trên chúng, các hàm elliptic, các dạng modular, là các
khái niệm rất quan trọng và các kết quả nghiên cứu liên quan là những tiệm cận của lời giải
định lý Fermat. Chúng tôi lựa chọn đề tài này thuộc lĩnh vực Hình học Đại số với ý tưởng
tìm hiểu và giới thiệu một số kiến thức chuyên môn về “Lý thuyết về các đường cong
Elliptic” cùng với việc xét tính chất của một số họ đường cong trên trường số hữu tỷ và mô
tả sự phân bố của nhóm các điểm hữu tỷ trên chúng.
Trong phạm vi đề tài , chúng tôi sẽ xét các đường cong Elliptic trên trường các số hữu
tỷ được mô tả dưới dạng Weierstrass.
Vì vậy, Luận văn được đặt tên là :
“Các điểm hữu tỷ trên các đường cong elliptic trên trường hữu tỷ”
1.2 Lịch sử của vấn đề
Cơ sở lý thuyết và công cụ nghiên cứu cũng như phương pháp giải quyết vấn đề trong
Luận văn dựa trên một số kết quả sau đây:
a) Một là kết quả rất thú vị về tính chất tách trực tiếp của các nhóm aben hữu hạn
sinh (các Z-mođun hữu hạn sinh ) thành phần xoắn và không có xoắn, và cuối cùng là sự
tách trực tiếp thành tổng các hạng tử không thể tách được mà mỗi một trong chúng là nhóm
cyclic. b) Định lý Nagell-Lutz về sự mô tả các điểm hữu tỷ, Định lý Mordell-Weil khẳng
định rằng tập các điểm hữu tỷ trên một đường cong elliptic là một nhóm abel hữu hạn sinh
và Định lý Mazur mô tả tập các điểm có cấp hữu hạn trong tập các điểm hữu tỷ.
c) Các kết quả và phương pháp mô tả luật nhóm trên nhóm các điểm hữu tỷ trên các
đường cong Elliptic.
Luận văn của chúng tôi tập trung giải quyết một số vấn đề về: xác định nhóm các điểm
hữu tỷ trên một số họ đường cong trên Q được cho dưới dạng Weierstrass:
2 3
y = x + Ax + B, với A B Z ,  . Một số kết quả nghiên cứu thuộc hướng này đã và đang
được tiếp tục phát triển trong thời gian gần đây bởi nhiều tác giả.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong elliptic
dưới dạng Weierstrass trên trường các số hữu tỷ.
- Xét một số họ các đường cong với mục đích là mô tả nhóm các điểm hữu tỷ dựa theo
luật nhóm xác định trên chúng.
- Phân loại nhóm con xoắn của các điểm hữu tỷ trên một số họ đường cong
( các điểm cấp 2, cấp 3 )
- Đề tài chỉ giới hạn trong phạm vi xét các đường cong Elliptic E không kỳ dị trên Q với
ý tưởng là mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(Q).
1.4 Mục đích nghiên cứu
- Mô tả cấu trúc nhóm của tập các điểm hữu tỷ E(Q) của đường cong Elliptic không kỳ
dị E trên Q.
- Mô tả các điểm xoắn trên một số lớp đường cong Elliptic
- Mô tả thuật toán xác định các điểm xoắn hữu tỷ trên đường cong elliptic
1.5 Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp, công cụ của Đại số và Lý thuyết số để giải quyết bài toán
mô tả cấu trúc của các nhóm abel hữu hạn sinh. Kết hợp các kết quả này với các Định lý
Nagell-Lutz (mô tả các điểm hữu tỷ) và Định lý Mazur (mô tả các điểm có cấp hữu hạn) để
xác định các điểm xoắn trên một số họ đường cong được xét. Cuối cùng, tập các điểm hữu
tỷ trong những trường hợp cụ thể có thể xác định nhờ Định lý Mordell -Weil. Đây là một số
hướng nghiên cứu và các phương pháp được dùng khá phổ biến trong việc xét các đường cong elliptic. Các hướng nghiên cứu này đã và đang được sử dụng và phát triển bởi nhiều
tác giả trong nhiều năm gần đây. Các phương pháp nghiên cứu và các kỹ thuật cũng như
các thuật toán được dùng trong Luận văn này dựa trên những công cụ nghiên cứu đã được
sử dụng trong [Ful 74] ,[ Har 77] , [Was 03]
2 - NỘI DUNG
2 .1 Luận văn bao gồm 2 chương
Chương 1: Kiến thức cơ bản.
Chương này trình bày một số khái niệm và các kết quả nghiên cứu đã được công bố
trong nhiều tài liệu về các chuyên ngành Toán:
- Các định lý cơ bản về sự tách trực tiếp các nhóm aben hữu hạn sinh.
- Một số kết quả quen biết về lĩnh vực Lý thuyết số.
- Các đa tạp xạ ảnh, afin.
- Một số kiến thức cơ bản và kỹ thuật, thuật toán liên quan thuộc về Hình học Đại
số, trích dẫn từ [ Fri 01] , [ Mil 06] , [Sil 86] , [Sil 92] ,[Was 30]
- Các khái niệm, các kết quả nghiên cứu về đường cong elliptic. Các đường cong
trên trường số hữu tỷ. Các định lý cơ bản mô tả về cấu trúc của nhóm các điểm hữu tỷ trên
các đường cong elliptic.
Chương 2: Các đường cong Elliptic dạng Weierstrass trên Q.
- Tổng quan về các đường cong dạng Weirstrass trên Q.
- Các điểm hữu tỷ trên đường cong Elliptic trên Q .
Nhóm Mordell – Weil
- Mối liên hệ giữa đường cong elliptic với phép nhân tử hóa
- Điểm xoắn hữu tỷ trên đường cong elliptic
- Mô tả thuật toán xác định điểm xoắn hữu tỷ trên đường cong Elliptic
BẢNG CÁC KÝ HIỆU
T(A) Nhóm con xoắn của nhóm abel A
A B  Tổng trực tiếp của A và B
K Bao đóng đại số của K
X(K) Tập hợp các điểm K- hữu tỷ trên đường cong X
X( )  Tập hợp các điểm hữu tỷ của đường cong X xác định trên 

2 Mặt phẳng xạ ảnh
E(k) Đường cong E xác định trên trường k , với k , , ,F    q
C( )  tors Tập hợp các điểm hữu tỷ xoắn của đường cong C xác định trên

h(P) Hàm chiều cao của P
.
lân
n
   
n
    
Nhóm abel tự do hạng n , không xoắn
k x , x
1 n
 
   
Vành đa thức trên trường k với n biến

n
Không gian affine n chiều trên trường k
kX Vành tọa độ của X
(X) Vành các hàm chính quy trên X
I Căn của ideal I
k(X) Trường các hàm hữu tỷ trên X
Div X 
k
Nhóm các k – số chia là tập hợp của những tổng tự nhiên của các
điểm trên X k 
 
0
Div X
k
Nhóm của những k - số chia có bậc 0
Pic(X) Nhóm Picard hay nhóm lớp các số chia của X
Spec0F Vành của những số nguyên của F
 Điểm tại vô cực fm  Biệt thức của fm của m - đa thức chia
 Biệt thức của đường cong elliptic
BẢNG CHÚ GIẢI THUẬT NGỮ KHOA HỌC
Thuật ngữ Trang
Nhóm abel 7
Nhóm con xoắn 7
Không gian affine 
n 10
Đa tạp đại số affine 10
Đa tạp bất khả quy 10
Vành Noether 11
Không gian xạ ảnh n-chiều 
n
(hoặc 
n
(k) ) trên k
13
Đa tạp đại số xạ ảnh 13
Vành tọa độ ( affine ) 15
Hàm số chính quy 15
Ánh xạ chính quy 16
Đa tạp tựa xạ ảnh 18
Đa tạp không khả quy 18
Hàm hữu tỷ chính quy 18
Ánh xạ đẳng cấu 18
Ánh xạ hữu tỷ 19
Đa tạp hữu tỷ 19
Điểm kỳ dị 24
Đường cong elliptic 40
Luật nhóm 42
Đường cong phẳng 19
Điểm K - hữu tỷ 19
Ideal thuần nhất 13
Hàm chiều cao 31
Định lý Nagell – Lutz về điểm hữu tỷ trên đường cong 39 Định lý Mazur về tập hợp các điểm hữu tỷ trên  ( cấp hữu hạn ) 39
Định lý Mordell – Weil về E 40
Nhóm Mordell –Weil 43
Dạng Weierstrass của đường cong elliptic 41
Đường cong xạ ảnh 53
Dạng cơ bản của đường cong elliptic 54
Điểm P C  là điểm xoắn có cấp n 58
Định lý Nagell – Lutz về điểm xoắn 59
Đa thức chia 59
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 CÁC NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH.
Định nghĩa 1 : Một nhóm abel A được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại hữu hạn phần
tử a ,a , .,a A
1 2 n  sao cho với bất kỳ x A  , tồn tại các số nguyên
k1, k2, , kn thỏa
n
x = k a .
i=1 i i

Định nghĩa 2: Cho A là một nhóm abel. Nhóm con xoắn của A, ký hiệu T(A), là tập:
T(A) = {a A | n N sao cho na = 0}    .
Định nghĩa 3: Một nhóm abel A được gọi là không có xoắn nếu
T(A) = {0}.
Bổ đề 4: Cho A là một nhóm abel. Khi đó A/T(A) là không có xoắn.
Định nghĩa 5: .
lân
n
   
n
    
được gọi là nhóm abel tự do
hạng n.
Định lý 6 : Nếu A là một nhóm abel không có xoắn hữu hạn sinh mà có một
tập hợp nhỏ nhất các phần tử sinh gồm n phần tử, thì A đẳng cấu với nhóm abel tự do hạng
n.
Chứng minh:Áp dụng phương pháp quy nạp trên số phần tử sinh nhỏ nhất của A.
Nếu A là cyclic (nghĩa là được sinh bởi một phần tử khác 0), khi đó A  . Giả sử rằng kết
quả trên đúng với tất cả các nhóm abel không có hữu hạn sinh với một tập hợp các phần tử
sinh nhỏ nhất có số phần tử ít hơn n phần tử. Giả sử rằng A là không có xoắn và giả sử rằng
{ a ,a , .,a
1 2 n
} là một tập nhỏ nhất các phần tử sinh của A. Nếu T(A/<a
1
>)={0} khi đó
A/<a
1
> là không có xoắn và được sinh bởi n -1 phần tử nên <a
1
>  . Nếu T(A/<a
1
>)
không là nhóm tầm thường thì có một nhóm con B A  sao cho T(A/<a
1
>)  B/<a
1
>.
Như thế với bất kỳ phần tử 0 b B   có một số nguyên 0 i   sao cho ib<a
1
>. Nhưng
ta lại có ib = ja
1
với số nguyên j. Khi đó , ta định nghĩa một ánh xạ :