Các dạng toán nâng cao lớp 7

[DOWNC="http://w1.mien-phi.com/data/file/2013/thang09/07/cac-dang-toan-nang-cao-L7.doc"]TẢI TÀI LIỆU[/DOWNC]
CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO LỚP 7
DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1: Tính B = 1 + 2 + 3 + . + 98 + 99
Lời giải:
Cách 1:
B = 1 + (2 + 3 + 4 + . + 98 + 99).
Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là:
(2 + 99) + (3 + 98) + . + (51 + 50) = 49.101 = 4949
Khi đó B = 1 + 4949 = 4950
Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? Số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.
Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
Cách 2:

Bài 2: Tính C = 1 + 3 + 5 + . + 997 + 999
Lời giải:
Cách 1:
Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng các bài trên ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + . + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
Cách 2: Ta thấy:

Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số C là 500 số hạng.
Áp dụng cách 2 của bài trên ta có:

Bài 3. Tính D = 10 + 12 + 14 + . + 994 + 996 + 998
Nhận xét: Các số hạng của tổng D đều là các số chẵn, áp dụng cách làm của bài tập 3 để tìm số các số hạng của tổng D như sau:
Ta thấy:

Tương tự bài trên: từ 4 đến 498 có 495 số nên ta có số các số hạng của D là 495, mặt khác ta lại thấy:  hay
số các số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách rồi cộng thêm 1
Khi đó ta có:

Thực chất 
Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau: Cho dãy số cách đều u[SUB]1[/SUB], u[SUB]2[/SUB], u[SUB]3[/SUB], . u[SUB]n[/SUB] (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d,
Khi đó số các số hạng của dãy (*) là: 
Tổng các số hạng của dãy (*) là: 
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là: u[SUB]n[/SUB] = u[SUB]1[/SUB] + (n - 1)d
Hoặc khi u[SUB]1[/SUB] = d = 1 thì 
DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHÔNG CÁCH ĐỀU.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1)
Lời giải:
Cách 1:
Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó: 
Gọi a[SUB]1[/SUB] = 1.2 → 3a[SUB]1[/SUB] = 1.2.3 → 3a[SUB]1 [/SUB]= 1.2.3 - 0.1.2
      a[SUB]2[/SUB] = 2.3 → 3a[SUB]2[/SUB] = 2.3.3 → 3a[SUB]2 [/SUB]= 2.3.4 - 1.2.3
      a[SUB]3[/SUB] = 3.4 → 3a[SUB]3[/SUB] = 3.3.4 → 3a[SUB]3[/SUB] = 3.4.5 - 2.3.4
     
      a[SUB]n-1[/SUB] = (n - 1)n → 3a[SUB]n-1[/SUB] =3(n - 1)n → 3a[SUB]n-1[/SUB] = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
      a[SUB]n[/SUB] = n(n + 1) → 3a[SUB]n[/SUB] = 3n(n + 1) → 3a[SUB]n[/SUB] = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:
3(a[SUB]1[/SUB] + a[SUB]2[/SUB] + + a[SUB]n[/SUB]) = n(n + 1)(n + 2)

Cách 2: Ta có
3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 


* Tổng quát hoá ta có:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3;
Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1)