Thạc Sĩ Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

Luận văn thạc sĩ năm 2011
Đề tài: Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu 1-2
Chương 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng .3
1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng 3
1.2 Một số đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng .10
1.3 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua đạo hàm theo hướng 23
1.4 Đặc trưng hàm lồi và hàm lồi suy rộng qua dưới vi phân .37
Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua dưới vi phân Frechet và dưới
vi phân Mordukhovich 40
2.1 Một số định nghĩa cơ bản 41
2.2 Điều kiện cần cấp hai .46
2.3 Điều kiện đủ cấp hai .48
2.4 Đặc trưng của hàm lồi mạnh .57
Kết luận 61
Tài liệu tham khảo .62

LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích lồi với nền tảng cơ bản là tập lồi và hàm lồi đã được nghiên
cứu và triển khai ứng dụng vào bài toán tối ưu hóa, các bài toán kinh tế và
quản lí, . từ những năm 70 của thế kỉ trước.
Nhiều nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng dẫn tới nhu cầu mở rộng khái
niệm hàm lồi. Nhiều lớp hàm lồi suy rộng (tựa lồi, giả lồi, .) đã được
Mangasarian, Hoàng Tụy, Rockaffelar, .nghiên cứu cách đây 50 năm. Ngày
nay, đặc trưng và nghiên cứu các tính chất của các lớp hàm lồi, mối liên quan
của tính lồi với tính đơn điệu của đạo hàm (suy rộng) bậc nhất và tính xác
định dương của đạo hàm (suy rộng) bậc hai vẫn đang được các nhà toán học
trên thế giới và ở Việt Nam quan tâm mạnh mẽ.
Các hàm số gặp trong các bài toán ứng dụng nói chung thường có dạng
phức tạp, vì vậy thường là không khả vi. Điều này dẫn tới phải mở rộng khái
niệm đạo hàm. Các đạo hàm suy rộng thường gặp là đạo hàm theo hướng, đạo
hàm Dini, dưới vi phân Clark, dưới vi phân Rockaffelar, dưới vi phân
Frechet, dưới vi phân Mordukhovich, . Các đạo hàm suy rộng là những công
cụ tốt để nghiên cứu nhiều vấn đề của giải tích ứng dụng, trong đó có đặc
trưng hàm lồi.
Luận văn Các đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi suy rộng có mục đích
trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi (thông qua các tính chất hình
học và giải tích, thông qua đạo hàm và dưới vi phân suy rộng, .).
Nội dung chính của Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 Hàm lồi và hàm lồi suy rộng
Chương 1 trình bày định nghĩa các lớp hàm lồi và hàm lồi suy rộng và
quan hệ giữa chúng. Trình bày tổng quan các đặc trưng của hàm lồi và hàm
lồi suy rộng thông qua các tính chất giải tích và hình học. Đặc biệt trình bày
các đặc trưng của hàm lồi thông qua công cụ đạo hàm (gradien, Hessian,
gradient suy rộng, đạo hàm theo hướng, .).
Chương 2 Đặc trưng hàm lồi qua dưới vi phân Frechet và dưới vi phân
Mordukhovich.
Một hướng mở rộng khá tự nhiên và hữu hiệu khái niệm đạo hàm là
khái niệm đối đạo hàm và dưới vi phân Mordukhovich. Gần đây, nhóm
nghiên cứu của Giáo sư Nguyễn Đông Yên đã sử dụng thành công khái niệm
dưới vi phân Mordukhovich cấp hai để đặc trưng hàm lồi và hàm lồi mạnh.
Chương hai trình bày các đặc trưng này dựa trên hai bài báo [10] và [11].

CHƯƠNG I HÀM LỒI VÀ HÀM LỒI SUY RỘNG
1.1 Một số khái niệm của hàm lồi và hàm lồi suy rộng
1.1.1 Tập lồi

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Vũ Thiệu (2003), Cơ sở giải tích lồi, Bài giảng lớp cao học, Viện
Toán học, Hà Nội.
[2] Alberto Cambini, Laura Martein (2008), Generalized Convexity and
Optimization, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems,
Springer, California.
[3] B. S. Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized
Differentiation, Vol. 1: Basic Theory, Vol. II: Applications, Springer, Berlin.
[4] D. Aussel (1998), Subdifferential Properties of Quasiconvex and
Pseudoconvex Functions: Unified Approach, Journal of Optimization Theory
and Applications: Vol. 97, No. 1, 29-45, April.
[5] D. W. Jorgenson and L. J. Lau (1974), Duality and differentiability in
production, J. Econ. Theory 9, 23-42.
[6] L. Mangasarian (1967) Nonlinear Programming, McGraw-Hill Book
Company, New York.
[7] Postein (1967), Seven kinds of convexity, SIAM Rev. 9, 115-119.
[8] Rockaffelar (1998), R. T., Wets, R. J.-B., Variational Analysis, Springer,
Berlin.
[9] Rudin, W., (1974), Real and Complex Analysis, 2
nd
editions, McGrawHill, New York.
[10] N. H. Chiêu, T. D. Chuong, J.-C. Yao, N. D. Yen (2011),
Characterizing convexity of a function by its Fre’chet and limiting secondorder subdifferential, Set-Valued Analysis, 19: 75-96.
[11] N. H. Chiêu, N. Q. Huy (2011), Second-order subdifferential and
convexity of real-valued function, Nonlinear Analysis, 74, 154-160.
[12] W. E. Diewert, M. Avriel, I. Zang (1981), “Nine Kinds of
Quasiconcavity and Concavity”, Journal of Economic Theory, 25, 379-420.
[13] W. Fenchel (1953), Convex cones, sets and functions, Lecture Notes,
Department of Mathematics, Princeton University.
[14] W. Ginsberg (1973), Concavity and Quasiconcavity in economics, J.
Econ. Theory 6, 596-605.