Thạc Sĩ Các bất đẳng thức AG - lồi, GG - lồi, GA - lồi và ứng dụng

Đề tài: Các bất đẳng thức AG - lồi, GG - lồi, GA - lồi và ứng dụng
2.4.3. Bài toán 3 . 28
2.4.4. Bài toán 4 . 29
2.4.5. Bài toán 5 . 30
2.4.6. Bài toán 6 . 31
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 345
Mở đầu
Trong lý thuyết Giải tích lồi, chúng ta đã biết đến hàm lồi, với bất đẳng
thức Jensen có ảnh hưởng lớn đến lý thuyết Bất đẳng thức. Trong những
năm gần đây, nhiều nhà toán học đã quan tâm tới việc mở rộng một số
bất đẳng thức khác, thông qua việc nghiên cứu hàm lồi số học (Arithmetic
convex functiuon), hàm lồi hình học (Geometric convex functiuon). Các
tác giả C.P. Niculescu, R.A. Satnoianu (xem [5], [6]) đã nhận được nhiều
kết quả thú vị trong khi xem xét các hàm lồi như vậy.
Xuất phát từ những kết quả mà một số tác giả đã tìm được, tôi thấy
cần hiểu biết thêm và muốn được tiếp cận nó. Vì lý do đó, tôi lựa chọn đề
tài Các bất đẳng thức AG-lồi, GG-lồi, GA-lồi và ứng dụng.
Nội dung của luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1: Bất đẳng thức lồi. Trong chương này, chúng tôi trình bày các
kiến thức cơ sở có liên quan đến bất đẳng thức lồi, đó là: Khái niệm hàm
lồi trong không gian R
n
, Bất đẳng thức Jensen, Hàm lồi 1 biến số và một
số ứng dụng.
Chương 2: Bất đẳng thức số học và hình học. Đây là nội dung chính của
khoá luận. Trong chương này, sau khi trình bày bất đẳng thức số học và
hình học, chúng tôi cố gắng xem xét một số tính chất và sự áp dụng của
nó. Cuối cùng là 6 bài toán áp dụng nhằm minh hoạ cho ảnh hường của
các bất đẳng thức đã nêu. Các kết quả của chương 2, chúng tôi chủ yếu
dựa theo các kết quả của các bài báo [5], [6], có tham khảo thêm [1].
Khoá luận được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học
của PGS. TS. Trần Xuân Sinh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới6
thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tác giả trong suốt thời gian
học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS. TS. Nguyễn Văn
Quảng, các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê, khoa Toán, khoa Sau
Đại học. Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và các bạn
bè, đã quan tâm, góp ý và tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thực hiện khoá
luận này.
Mặc dù đã cố gắng song khoá luận không thể tránh khỏi những sai sót.
Tác giả mong nhận được những đóng góp của quý thầy cô giáo và các bạn
để khoá luận được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 05 năm 2009
Tác giả7
Chương 1
Bất đẳng thức lồi
1.1. Hàm lồi trong không gian R
n
1.1.1. Định nghĩa
ã Hàm f(k) xác định trên tập lồi M được gọi là hàm lồi, nếu với mọi
x, y ∈ M và α ∈ [0, 1] có bất đẳng thức
f[αx + (1 ư α)y] ≤ αf(x) + (1 ư α)f(y). (1)
Ta gọi bất đẳng thức (1) là bất đẳng thức lồi.
ã Nếu f[αx + (1 ư α)y] ≥ αf(x) + (1 ư α)f(y) thì ta nói f là hàm lõm.
Ví dụ:
Hàm tuyến tính và tuyến tính afin là hàm vừa lõm, vừa lồi.
Hàm y = max{x, a}, với a > 0 là hàm lồi (tuyến tính từng khúc với
điểm gẫy là x = a).
Cho f(x) là hàm lồi, liên tục trên tập lồi M. Khi đó hàm
y = max{f(x), 0}, với x ∈ M
là hàm lồi.
1.1.2. Một số tính chất chung
ã Bất đẳng thức Jensen
Định lý. Cho tập lồi M ⊂ R, xi ∈ M, i = 1, k, λi ≥ 0,
Pk
i=1 λi = 1. Hàm
f là hàm lồi trên tập lồi M khi và chỉ khi
f
Xk
i=1
λixi
≤
Xk
i=1
λif(xi). (2)