Tiến Sĩ Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát và các vấn đề liên quan

Luận án tiến sĩ năm 2011
Đề tài: Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát và các vấn đề liên quan


Mục lục
Mở đầu 4
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 11
1.1 Nón và các khái niệm liên quan . 11
1.2 ánh xạ đa trị 13
1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . 14
1.4 Tính lồi của ánh xạ đa trị . 22
1.5 Điểm bất động của ánh xạ đa trị . 23
Chương 2. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại một 26
2.1 Đặt vấn đề . 26
2.2 Định lý tồn tại nghiệm . 30
2.3 Một số bài toán liên quan . 34
2.4 Bài toán tựa cân bằng . 45
Chương 3. Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại hai 51
3.1 Định lý tồn tại nghiệm . 53
3.2 Bao hàm thức tựa biến phân 60
3.3 Một số bài toán tựa cân bằng . 64
2
Chương 4. Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp 77
4.1 Giới thiệu bài toán . 77
4.2 Định lý tồn tại nghiệm . 79
4.3 Hệ tựa cân bằng 84
4.4 Hệ bao hàm thức tựa biến phân 96
Kết luận chung và kiến nghị 102
Danh mục các công trình liên quan đến luận án 103
Tài liệu tham khảo 104


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết tối ưu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý
thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20. Sau
đó, trong lĩnh vực này có rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật cũng như
thực tế như: Borel (1921), von Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi,
Koopman (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hoá. Tối ưu véctơ là bộ
phận quan trọng của lý thuyết tối ưu. Nhưng, phải nói rằng sau những công
trình của H. W. Kuhn và A. W. Tucker về điều kiện cần và đủ cho một véctơ
thoả mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, thì tối ưu véctơ mới thực sự là
một ngành toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán
cơ bản trong lý thuyết tối ưu véctơ bao gồm: bài toán tối ưu, bài toán cân bằng
Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, .
Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi các công trình của Arrow-Debreu [14], Nash (xem trong [43]) sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng
để xây dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) và
Browder-Minty (1978) đã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài
toán cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991, Blum và Oettli
đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm cách liên kết bài toán
của Ky Fan và của Browder-Minty với nhau thành một dạng chung. Bài toán
được phát biểu ngắn gọn là: tìm  x 2 K sao cho f ( x; x)  0 với mọi x 2 K;
trong đó K là tập con cho trước của một không gian nào đó, f : K  K ! R
là hàm số thực thoả mãn f (x; x)  0: Đây là dạng suy rộng trực tiếp của các
bài toán cơ bản sau như những trường hợp đặc biệt.
5
(i) Bài toán tối ưu: cho hàm số g : D ! R: Tìm  x 2 D sao cho
g( x)  g(x) với mọi x 2 D:
(ii) Bài toán bất đẳng thức biến phân: gọi X

là không gian đối ngẫu của
không gian X: Cho ánh xạ T : D ! X

: Tìm  x 2 D sao cho
hT ( x);  x yi  0 với mọi y 2 D:
(iii) Bài toán cân bằng Nash: cho Di  X; i 2 I là các tập con khác
rỗng trong X; I là tập hữu hạn các phần tử. Đặt D = i2I Di
; f
i
: D ! R:
Với mỗi x = (x
i
)
i2I 2 D; đặt x
i
= (x
j
)
j 2I;j6 =i
: Tìm  x 2 D sao cho
f
i
( x)  f
i
( x
i
; y
i
) với mọi y
i 2 Di
: Điểm  x được gọi là điểm cân bằng Nash.
(iv) Bài toán điểm yên ngựa: cho D1;D
2  X; ' : D1  D2 ! R: Tìm
điểm ( x
1
;  x
2
) 2 D1  D2
sao cho '( x
1
; y
2
)  '( x
1
;  x
2
)  '(y
1
;  x
2
) với mọi
(y
1
; y
2
) 2 D1  D2
: Điểm  x được gọi là điểm yên ngựa.
Do nhu cầu phát triển của Toán học, bài toán cân bằng và các bài toán tối
ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng. Nếu chúng ta cho thêm các ánh
xạ ràng buộc, thì bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng. Ban đầu người
ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu
hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự được đưa ra bởi
nón Orthant dương. Sau đó, các bài toán này được mở rộng với không gian có
số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Có rất nhiều sự mở rộng của bài toán tựa cân
bằng đối với hàm véctơ và ánh xạ đa trị. Tuy nhiên các kết quả đạt được của
nhiều tác giả cho đến nay vẫn chưa cho ta được cái nhìn thống nhất giữa các
bài toán tối ưu liên quan đến ánh xạ đa trị như trường hợp của đơn trị. Chính
vì lẽ đó, bài toán tựa cân bằng đang được nhiều nhà nghiên cứu đặc biệt quan
tâm trong những năm gần đây.
Với những lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là
"Các bài toán tựa cân bằng đa trị tổng quát và các vấn đề liên quan".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là đưa ra các mô hình về bài toán tựa cân bằng tổng
quát và nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của chúng. Từ đó tìm các điều kiện đủ
cho các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu có nghiệm.
6
3. Đối tượng nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các bài toán tựa cân bằng tổng quát và một số ứng dụng
của chúng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán tựa cân bằng tổng
quát và một số bài toán liên quan với bài toán cân bằng trong lý thuyết tối ưu.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong quá trình thực
hiện đề tài. Sử dụng các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và
Bổ đề Fan - KKM để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán đặt ra
trong luận án.
6. ý nghĩa khoa học và thực tiễn
ý nghĩa khoa học: Góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu
về bài toán cân bằng và những bài toán khác trong lý thuyết tối ưu. Đồng thời
cho ta thấy rõ mối liên kết giữa các bài toán trong lý thuyết tối ưu.
ý nghĩa thực tiễn: ứng dụng vào các bài toán trong thực tế như xây dựng lý
thuyết trò chơi, đưa ra các mô hình cân bằng kinh tế .
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Bài toán tựa cân bằng được xét đầu tiên (xem [26], [27], .) là: tìm điểm
( x;  y) 2 D  K sao cho  x 2 S ( x);  y 2 T ( x) và f ( y;  x; x)  0 với mọi
x 2 S ( x); trong đó D;K là các tập con khác rỗng của các không gian X;W
tương ứng, S : D ! 2
D
; T : D ! 2
K
là các ánh xạ đa trị, f : K  D  D ! R
là hàm thực. Sau đó, bài toán này được mở rộng cho f là hàm véctơ và ánh xạ
đa trị (xem [3], [19], [27], [39], [50], [54],[55]). Có nhiều cách mở rộng các
bài toán tối ưu theo nhiều hướng khác nhau. Năm 2002, Nguyễn Xuân Tấn và
A. Gueraggio (xem trong [27]) đã đưa ra bài toán: tìm ( x;  y) 2 D  K sao cho


Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Xuân Tấn, Nguyễn Bá Minh (2006), "Một số vấn đề trong lý
thuyết tối ưu đa trị", Nhà xuất bản Giáo dục.
Tiếng Pháp
[2] C. Berge (1959), "Espaces topologiques fonctions multivoques", Dunod,
Paris.
Tiếng Anh
[3] Q. H. Ansari, W. Oettli and D. Schlager (1997), "A Generalization of
Vectorial Equilibria", Mathematical Methods of Operation Research, 46,
147-152.
[4] J. P. Aubin (1979), "Mathematical Methods of Game and Economic
Theory", North-Holland, Amsterdam.
[5] J. P. Aubin, A. Cellina (1994), "Differential Inclusion", Springer Verlag,
Berlin, Germany.
[6] S. Al-Homidan, Q. H. Ansari and S. Schaible (2007), "Existence of solu-tions of systems of Generalized Implicit Vector Variational Inequalities",
Journal of Optimization Theory and Application, 134, 515-531.
[7] M. Balaj and D. T. Luc (2010), "On mixed variational relation problems",
Computers and Mathematic with Applications, 60(9), 2712-2722.
[8] M. Balaj (2008), "Coincidence and maximal element theorems and their
applications to generalized equilibrium problems and minimax inequali-ties", Nonlinear Analysis, 68, 3962-3971.
[9] M. Bianchi and R. Pini (2005), "Coercivity conditions for equilibrium
problems", Journal of Optimization Theory and Application, 124, 79-92.
105
[10] E. Blum and W. Oettli (1993), "From Optimization and Variational In-equalities to Equilibrium Problems", The Mathematical Student, 64, 1-23.
[11] D. Chan and J. S. Pang (1982), "The generalized quasi-variational inequal-itiy problem", Mathematical Methods of Operations Research, 7, 211-222.
[12] G. Y. Chen and S. J. Li (1996), "Existence of Solutions for a Generalized
Quasi-Vector Variational Inequality", Journal of Optimization Theory and
Application, 90, 321-334.
[13] S. Chang, X. Wu, Y. J. Cho, G. M. Lee (1996), "Generalized quasi-variational inequality problems", Journal of Optimization Theory and
Application, 203, 686-711.
[14] G. Debreu (1954), "Valuation equilibrium and Pareto optimum", Proceed-ings of the National Academy of Sciences U.S.A, 40, 588-592.
[15] T. T. T. Duong and N. X. Tan (2010), "On the existence of solutions to
generalized quasi-equilibrium problems of type I and Related Problems",
Advances in Nonlinear Variational Inequalities, 13(1), 29-47.
[16] T. T. T. Duong and N. X. Tan (2011), "On the existence of solutions to
generalized quasi-equilibrium problems of type II and Related Problems",
Acta Mathematica Vietnamica, 36(2), 231 - 248.
[17] T. T. T. Duong and N. X. Tan (2012), "On the existence of solutions to
generalized quasi-equilibrium problems", Journal of Global Optimization,
52(4), 711-728.
[18] T. T. T. Duong, "Mixed generalized quasi-equilibrium problems", Journal
of Global Optimization (to appear).
[19] X. P. Ding and J. Y. Park (2004), "Generalized Vector Equilibrium Prob-lems in Generalized Convex Space", Journal of Optimization Theory and
Applications, 120, 327-353.
[20] C. J. Himmelberg (1972), "Fixed points of compact multifunctions",
Journal of Mathematical Analysis and Application, 38, 205-207.
[21] K. Fan (1972), "A minimax inequality and application, in Inequalities III
(O. Shisha (Ed)), Aca Press, New York.
106
[22] K. Fan (1961), "A Generalization of Tychonoff's Fixed Point Theorem",
Mathematische Annalen, 142, 305-310.
[23] F. Ferro (1989), "A minimax theorem for vector-valued functions", Jour-nal of Optimization Theory and Application, 60, 19-31.
[24] F. Ferro (1982), "Minimax Type Theorem for n-Valued Functions", Annali
di Mathematica Pura ed Applicata, 32, 113-130.
[25] F. Ferro (1991), "Minimax Type Theorem for Vector-Valued Functions,
Part 2", Journal of Optimization Theory and Application, 68, 35-48.
[26] J -Y. Fu (2000), "Generalized vector quasi-equilibrium problems", Math-ematics Methods of Operations Reseach, 52, 57-64.
[27] A. Gurraggio and N. X. Tan (2002), "On General Vector Quasi-Optimization Problems", Mathematical Methods of Operation Research,
55, 347-358.
[28] N. Hadjisavvas (2003), "Continuity and maximality properties of pseu-domonotone operators", Journal of Convex Analysis, 10, 465-475.
[29] N. X. Hai and P. Q. Khanh (2007), "The solution existence of general
variational inclusion problems", Journal of Mathematic Analysis and
Application, 328, 1268-1277.
[30] N. X. Hai and P. Q. Khanh (2007), "Systems of set-valued quasivariational
inclusion problems", Journal of Optimization Theory and Application,
135, 55-67.
[31] N. X. Hai and P. Q. Khanh (2007), "The existence of e-solutions to general
quasiequilibrium problems", Vietnam Journal of Mathematics, 35, 563-572.
[32] N. X. Hai, P. Q. Khanh and N. H. Quan (2009), "On the Existence
of Solutions to Quasivariational Inclusion Problems", Journal of Global
Optimization, 45, 565-581.
[33] X. B. Li and S. J. Li (2010), "Existence of solutions for generalized vector
quasi-equilibrium problems", Optimization Letters, 4, 17 -28.
107
[34] L. J. Lin (2007), "Systems of generalized quasivariational inclusion prob-lems with applications to variational analysis and optimization problems",
Journal of Global Optimization, 38, 21- 39.
[35] L. J. Lin (2009), "Systems of variational inclusion problems and differ-ential inclusion problems with applications", Journal of Global Optimiza-tion, 44, 579-591.
[36] L. J. Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclusion
problems and systems of generalized quasi-variational inclusion prob-lems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49.
[37] L. J. Lin and H. W. Hsu (2007), "Existences theorems of systems of vector
quasi-equilibrium problems and mathematical programs with equilibrium
constraint", Journal of Global Optimization, 37, 195-213.
[38] L. J. Lin and C. I. Tu (2008), "The studies of systems of variational in-clusion and variational disclusion problems with applications", Nonlinear
Analysis, 69, 1981-1998.
[39] L. J. Lin and N. X. Tan (2007), "On quasivariational inclusion problems
of type I and related problems", Journal of Global Optimization, 39(3),
393-407.
[40] L. J. Lin and N. X. Tan (2009), "Quasi-equilibrium inclusion problems
of Blum-Oetli type and related problems", Acta Mathematica Vietnamica,
34(1), 111-123.
[41] L. J. Lin and S. Y. Wang (2009), "Simultaneuous variational relations
problem and related application", Computers and Mathematics with Ap-plication, 58, 1711-1721.
[42] L. J. Lin, Z. T. Yu and G. Kassay (2002), "Existence of Equilibria
for Monotone multivalued Mappings and Its Applications to Vectorial
Equilibria", Journal of Optimzation Theory and Applications, 114, 189-208.
[43] D. T. Luc (1982), '' On Nash equilibrium I'', ActaMathematica Academiae
Scientiarum Hungararicae, 40(3-4), 267-272.