Thạc Sĩ Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học toán ở trườn

Đề tài: Bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học toán ở trường phổ thông
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Cách đây rất lâu, con người đã biết sử dụng kiến thức lượng giác trong thực tế cuộc sống,
chẳng hạn như đo góc quay của kim đồng hồ, đo khoảng cách giữa các ngôi sao gần, hoặc để đo
khoảng cách giữa các con tàu trên đại dương Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức lượng giác đã có từ
khi nào? Và kiến thức ấy xuất hiện trong tình huống nào? Khi ấy con người đã dùng lượng giác để
giải quyết thứ tự các dạng toán nào?
Ngày nay, trong chương trình và SGK Toán ở trường phổ thông, kiến thức lượng giác được
đưa vào giảng dạy chủ yếu ở 3 khối lớp (lớp 9, lớp 10, lớp 11). Vì vậy chúng tôi tự hỏi kiến thức
lượng giác được giảng dạy hiện nay ở bậc phổ thông có đi theo trình tự giống như kiến thức lượng
giác trong quá khứ đã đi qua hay không? Đồng thời giữa từng cặp khối lớp (Lớp 9 sang lớp 10); lớp
10 sang lớp 11 thì kiến thức lượng giác có sự gián đoạn hoặc kế thừa không?
Lượng giác là một nội dung học phong phú. Trong chương trình môn Toán, lượng giác được
giảng dạy ở cả 3 khối lớp của cấp THPT, và cả ở lớp 9 của cấp THCS, với nội dung cụ thể như sau:
 Ở lớp 9: Lượng giác có mặt ở phần: Hệ thức lượng trong tam giác vuông qua bài tỉ số
lượng giác của góc nhọn.
 Ở lớp 10: Lượng giác được đề cập trong 2 phần.
- Chương II (Sách Hình học 10): Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng.
- Chương VI (Sách Đại số 10): Góc lượng giác và công thức lượng giác.
 Ở lớp 11: Lượng giác được đề cập đến trong phần Hàm số lượng giác và phương trình
lượng giác.
 Ở lớp 12: Lượng giác có ở phần ứng dụng của đạo hàm, nguyên hàm, tích phân
Trong khuôn khổ của luận văn này, chúng tôi quan tâm đến bước chuyển từ lượng giác Lớp
9 sang lượng giác ở Lớp 10 để tìm các yếu tố gián đoạn hoặc sự kế thừa của các kiến thức ấy.
Ở Lớp 9, lượng giác luôn gắn liền với tam giác vuông, đi liền với nó là các tỉ số giữa cạnh
đối với cạnh huyền, cạnh kề với cạnh huyền của 1 tam giác vuông. Do vậy lượng giác ở lớp 9
còn có tên gọi khác là lượng giác trong tam giác. Ở đây học sinh đã “giải được tam giác vuông”
khi biết ít nhất 2 yếu tố của nó trong đó phải có ít nhất 1 yếu tố độ dài, đồng thời số đo của 1 góc
nhọn nằm trong phạm vi từ 0
o
đến 90
o
.
Ở Lớp 10, lượng giác có mặt trong 2 cuốn SGK Hình học 10 và Đại số 10.
Trong cuốn Hình học 10 thì lượng giác có mặt trong chương tích vô hướng 2 véctơ và ứng
dụng, đi liền sau đó là giải tam giác thường. Và từ đây số đo của góc đã được mở rộng ra từ 0
o
đến
180
o
. Trong cuốn Đại số 10 thì lượng giác có mặt ở phần góc lượng giác và công thức lượng giác,
mà góc lượng giác lại có số đo là 1 số thực bất kỳ.
Do có sự tương ứng giữa số thực  và điểm M trên đường tròn lượng giác nên với mọi số
thực  cho trước sẽ tìm được duy nhất 1 điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo AM = .
Từ đó, điểm M có thể nằm ở bất kỳ 1 vị trí nào trên đường tròn lượng giác mà chỉ phụ thuộc vào số
thực  cho trước. Bởi vậy lượng giác ở lớp 10 còn có tên gọi khác là lượng giác trong đường tròn.
Từ những vấn đề vừa trình bày ở trên, chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài “bước chuyển từ
lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn trong dạy học Toán ở trường phổ
thông”.
Sự lựa chọn này xuất phát từ những lý do sau:
- Tại sao lượng giác trong tam giác lại được giảng dạy trước lượng giác trong đường tròn?
- Lượng giác trong tam giác đã trang bị những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của
lượng giác trong tam giác.
- Lượng giác trong đường tròn đã trang bị những kiến thức gì cho người học – Đặc trưng của
lượng giác trong đường tròn.
Qua đó cho thấy có mối quan hệ nào giữa lượng giác trong tam giác và lượng giác trong
đường tròn?
Việc nghiên cứu về bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường
tròn trong dạy học Toán ở trường phổ thông là thực sự cần thiết; vì nó cho phép hiểu rõ hơn những
điều kiện và ràng buộc của quá trình truyền thụ tri thức gắn liền với lượng giác trong tam giác và
lượng giác trong đường tròn.
2. Mục đích nghiên cứu
Qua những ghi nhận ban đầu được trình bày ở trên, dẫn chúng tôi đến các câu hỏi dưới đây, mà
việc tìm kiếm câu trả lời là mục đích của luận văn này.
Trong quá khứ kiến thức lượng giác được hình thành trong tình huống nào? Các kiến thức lượng
giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào?
Trong 1 số giáo trình được giảng dạy ở trường Sư phạm, các TCTH nào được xây dựng xung
quanh lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn.
Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong tình
huống nào? Đâu là các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam giác, lượng
giác trong đường tròn. Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu với các TCTH được dạy ở
phổ thông? Có sự gián đoạn hoặc kế thừa từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường
tròn? Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong quá
trình làm việc với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn? Chúng được thể hiện
cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?
Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ
lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn không? Đó là những khó khăn nào?
Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên những công cụ
cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu không, cần điều chỉnh quy trình đào
tạo này như thế nào?
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để trả lời cho các câu hỏi trên, nghiên cứu của chúng tôi, dựa vào khung lý thuyết tham
chiếu là didactic Toán cụ thể là một số khái niệm của lý thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể
chế, mối quan hệ cá nhân, tổ chức toán học – praxéologie), tổ chức didactic và khái niệm hợp
đồng didactic. Sự chọn lựa này xuất phát từ những lý do sau:
Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học sinh,
tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng và
chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng
didactic là cần thiết, vì để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp
đồng hiện hành là dạng thể hiện thực tế của nó. Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự
tiến triển mong đợi.
Việc dựa vào lý thuyết nhân chủng học cho chúng tôi làm rõ những mối quan hệ thể chế với
tri thức và giữa tri thức với cá nhân nào đó. Qua đó cho chúng tôi biết tri thức xuất hiện ở đâu, có
vai trò gì trong thể chế và việc học tập của cá nhân về tri thức bị ảnh hưởng bởi những ràng buộc
nào trong mối quan hệ với thể chế.
Việc mô hình hoá các hoạt động toán học theo cách tiếp cận của tổ chức toán học (trong lý
thuyết nhân chủng học) sẽ giải thích được thực tế của hoạt động toán học theo những quan điểm
khác nhau và bằng những cách khác nhau thành 1 hệ thống các nhiệm vụ xác định. Đánh giá từng
thành phần của tổ chức toán học cho biết chúng có được nêu lên một cách rõ ràng hay không? Có
dễ hiểu không? Phạm vị hợp thức như thế nào? Có đáp ứng nhu cầu hiện tại và trong tương lai?
Nghiên cứu các tổ chức toán học là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và là công cụ
phân tích thực tế dạy học. Việc chỉ rõ các mối quan hệ với tri thức cũng giúp ta xác định một số
quy tắc của hợp đồng didactic.
Đặc biệt ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách
nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hoá việc sử dụng tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được
quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng
tri thức, vào những ước định được hình thành trong quá trình giảng dạy. 4. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu
Với khung lý thuyết tham chiếu, chúng tôi trình bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm
hiểu câu trả lời chính là mục đích nghiên cứu của luận văn.
Q1: Trong quá khứ, kiến thức lượng giác được hình thành gắn liền với tình huống nào?
Kiến thức lượng giác ấy đã tuần tự giải quyết các dạng bài toán nào?
Q2: Trong một số giáo trình ở Đại học; các TCTH nào gắn liền với lượng giác trong tam
giác, lượng giác trong đường tròn.
Q3: Lượng giác đã được đưa vào trong chương trình và SGK Toán ở bậc phổ thông trong
tình huống nào? Các TCTH được xây dựng xung quanh vấn đề lượng giác trong tam
giác, lượng giác trong đường tròn. Có sự chênh lệch nào giữa các TCTH tham chiếu
với các TCTH được giảng dạy ở bậc phổ thông.
Q4: Các quy tắc của hợp đồng didactic được hình thành giữa giáo viên và học sinh trong
bước chuyển từ lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn? Chúng
được thể hiện cụ thể qua những kiểu nhiệm vụ, những kỹ thuật nào?
Q5: Học sinh có gặp khó khăn gì trong việc học lượng giác nói chung và trong bước chuyển từ
lượng giác trong tam giác sang lượng giác trong đường tròn hay không? Đó là những khó
khăn nào?
Q6: Đào tạo ở trường cao đẳng sư phạm, đại học sư phạm có cung cấp đủ cho sinh viên
những công cụ cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp sau này của họ hay không? Nếu
không, cần điều chỉnh quy trình đào tạo này như thế nào?
5. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên, chúng tôi sẽ tiến hành các nghiên cứu sau:
 Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác qua các thời kỳ.
 Phân tích một số giáo trình được dùng trong đào tạo giáo viên ở trường sư phạm để
làm rõ chiến lược đào tạo nói chung, cũng như mối quan hệ của thể chế này với đối
tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn.
 Phân tích đồng thời chương trình và SGK Toán các lớp 9 và 10 để làm rõ mối quan hệ
thể chế với đối tượng lượng giác trong tam giác và lượng giác trong đường tròn và
đưa ra các giả thuyết nghiên cứu.
 Xây dựng các tình huống thực nghiệm dựa trên các giả thuyết nghiên cứu
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn này gồm:
 Mở đầu Chương 1: Sơ lược quá trình hình thành và phát triển của kiến thức lượng giác
qua các thời kỳ. Các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến lượng giác trong
tam giác và lượng giác trong đường tròn.
 Chương 2: Mối quan hệ thể chế với lượng giác trong tam giác và lượng giác trong
đường tròn trong chương trình Toán ở bậc phổ thông.
 Chương 3: Nghiên cứu thực nghiệm.
 Kết luận.