Thạc Sĩ Bất phương trình và phương pháp chứng minh

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NĂM 2012
MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển, nhưng xuất hiện trong mọi lĩnh vực của toán học. Trong chương trình toán phổ thông, bất đẳng thức có mặt ở tất cả các bộ môn Số học, Đại số, Giải tích, Hình học và Lượng giác. Đặc biệt, trong kỳ thi Đại học, Học sinh giỏi quốc gia và quốc tế đều có bài bất đẳng thức. Chính vì thế mà chuyên đề bất đẳng thức rất thiết thực đối với những ai muốn tìm hiểu sâu về toán sơ cấp. Hơn nữa, bất đẳng thức còn liên quan đến sự đánh giá, tìm cái chặn hoặc cực trị cho một biểu thức. Bởi vậy bất đẳng thức là một trong số những bài toán được rất nhiều người thuộc nhiều lĩnh vực quan tâm đến. Bất đẳng thức không phải là bài toán khó, nhưng chọn cách chứng minh như thế nào cho đơn giản. Sáng tác bất đẳng thức cũng không khó, nhưng biểu diễn hình thức ở hai vế thế nào cho đẹp mắt. Nếu để ý sẽ thấy các bài toán bất đẳng thức được chia ra làm hai nhóm. Nhóm I là vận dụng một số bất đẳng thức luôn đúng để chứng minh một bất đẳng thức mới qua các phép biến đổi và nhóm II là tìm cực trị một biểu thức. Đây chính là bài toán tìm một cái chặn và xét xem khi nào biểu thức sẽ đạt được cái chặn ấy. Như vậy, chuyên đề trình bày ở đây nhằm giải quyết được hai vấn đề chính:
(i) Chứng minh lại, nhưng theo phương pháp sáng tác, một số bất đẳng thức gắn liền với tên tuổi những nhà toán học và trình bày việc vận dụng để giải quyết một vài ví dụ.
(ii) Tìm cực trị cho một số biểu thức để từ đó suy ra tính chất đặc biệt cần quan tâm của một đối tượng nào đó.
Luận văn này gồm ba chương.
Chương 1 trình bày khái niệm và một vài tính chất đặc biệt của bất đẳng thức được nhắc lại cùng với một vài ví dụ vận dụng ở mục
1.1. Mục 1.2 giới thiệu một vài phương pháp đơn giản thường sử dụng để chứng minh bất đẳng thức.
Chương 2: Tập trung trình bày phương pháp hàm số để xây dựng bất đẳng thức cùng với việc chứng minh lại một số bất đẳng thức cổ điển.
Chương 3: Một số ứng dụng bất đẳng thức về việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức ở mục 3.1, chứng minh bất đẳng thức trong hình sơ cấp ở mục 3.2, áp dụng giải phương trình và hệ phương trình với những điều kiện nhất định ở mục 3.3 .
Dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu xót nhất định và tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn.