Thạc Sĩ Bất đẳng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn điệu

Luận văn thạc sĩ năm 2011
Đề tài: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ NHIỄU ĐƠN ĐIỆU VÀ KHÔNG ĐƠN ĐIỆU

Mục lục
Mở đầu 3
Chương 1. Bất đảng thức biến phán đơn điệu 7
1.1. Bất đảng thức biến phân đơn điệu . 7
1.1.1. Phát biểu bài toán và ví dụ . 7
1.1.2. Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm . 13
1.2. Bài toán đặt không chinh . 16
1.2.1. Khái niệm về bài toán đặt chinh và đặt không chinh 16
1.2.2. Phương pháp hiệu chinh 18
Chương 2. Hiệu chính bất đảng thức biến phán đon điệu 23
2.1. Hiệu chinh bất đảng thức biến phân với toán tử nhiễu đơn điệu 23
2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chinh . 23
2.1.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chinh 26
2.2. Hiệu chinh bắt đảng thức biến phân với toán tử nhiễu không
đơn điệu 30
2.2.1. Bầ đảng thức biến phân hiệu chinh 30
2.2.2. Tốc độ hội tụ 33
2.2.3. Ví dụ số 35
Tài liệu tham khảo 38

MỞĐẦư
Bất đảng thức biến phân đơn điệu là lớp bài toán nảy sinh từ nhiều văn đề của toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các bài toán vật lý toán, tối ưu hóa. Ngoài ra nhiều vấn đề thực tế như bài toán cân bằng mạng giao thông đô thị, IT1Ô hình cân bằng kinh tế đều có thể mô tả được dưới dạng của một bất đảng thức biến phân đơn điệu. Rất tiếc rằng bài toán bất đảng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại là bài toán đặt không chỉnh. Do tính không ổn định của bài toán đặt không chinh nên việc giải số của nó gặp khó khỉln. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến một sai số bắt kỳ trong lời giải. Vì thế nảy sinh vấn đề tìm các phương pháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh, sao cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán ban đầu.
Cho X là Iĩiột không gian Banach phán xạ thực, X* là không gian liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ||.||, Ả : X —> X* là toán tử đơn điệu đơn trị và K là một tập con lồi đóng của X. Bài toán bâí đảng thức biến phân đơn điệu được phát biểu như sau: với / € X* cho trước, hãy tìm phần tử XQ € K sao cho
(Ax0 — /, X — X(ị) > 0, Vx € K, (0.1)
ở đây là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục X* € X* tại
X € X. Nếu K = X thì bài toán (0.1) có dạng phương trình toán tử
A(x) = f. (0.2)
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bắt đảng thức biến phân đơn điệu (0.1) là việc xây dựng các phương pháp giải. Khi toán tử
A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì bài toán (0.1), nói chung, là bài toán đạt không chinh. I. p. Ryazantseva [13] đã xây dựng nghiệm hiệu chinh cho bài toán này trên cơ sở tìm x'[SUB]t[/SUB]\[SUP]á[/SUP] € K sao cho
(A[SUB]h[/SUB](x[SUP]h[/SUP]J) + aU[SUP]s[/SUP](x[SUP]h[/SUP]J - at.) - fs,X - x[SUP]h[/SUP]J) > 0, V* e K. (0.3)
trong đó Ah : X -> X* là xấp xi của A có tính đơn điệu, fs là xấp xi của /, u[SUP]s[/SUP] là ánh xạ đối ngầu của X, a > 0 là tham số hiệu chinh phụ thuộc vào h và s, X, là phần tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn.
Nếu toán tử nhiẽu Aị, không đơn điệu thì bất đảng thức biến phân hiệu chinh (0.3) có thể không có nghiệm. Trong trường hợp này Liskovets [11] đưa ra bất đảng thức biến phân hiệu chinh dạng
(A[SUB]h[/SUB]x[SUP]T[/SUP][SUB]a[/SUB] + aU[SUP]s[/SUP](x[SUP]T[/SUP][SUB]a[/SUB]-x*)-fs,x-x[SUP]T[/SUP][SUB]a[/SUB]) > -i/0(|KH)||a: - X[SUP]T[/SUP]J,
(0.4)
Va; G K, x[SUP]T[/SUP][SUB]a[/SUB] e K,
ở đây V > h, T = (h, 5).
Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày phương pháp giải ổn định bất đảng thức biến phân đơn điệu (0.1) trên cơ sở xây dựng nghiệm hiệu chinh của bầ đảng thức biến phân hiệu chinh (0.3) và (0.4). Trình bày sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chinh với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach phân xạ thục dựa trên việc chọn tham số hiệu chinh tiên nghiệm.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu về bất đảng thức biến phân đơn điệu, trình bày sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm của bầ đảng thức biến phân đơn điệu. Đồng thòi trình bày một số kiến thức cơ bỉm về bài toán đạt không chinh và một vài phương pháp hiệu chinh giải loại bài toán này.
Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chinh Tikhonov cho bất đảng thức biến phân đơn điệu. Cụ thể là trình bày sự hội tụ và đánh giá tốc
độ hội tụ của phương pháp hiệu chinh (0.3), trình bày sự hội tụ và nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chinh của phương pháp hiệu chinh (0.4) vói tham số hiệu chinh được chọn tiên nghiệm, kết quả này đã được nhận đàng ở tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên năm 2011. Ờ phần cuối của chương là một kết quả số có tính chải minh họa, chương trình thục nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB.

Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh và Nguyẻn Birờng (2005), Bài toán không chỉnh, Nhà xuất bân Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Tuấn Anh (2011), "Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chinh của bất đảng thức biến phân vói toán tử nhiễu không đơn điệu" (nhận đàng).
[3] Y. Alber and I. Ryazantseva (2006), Nonlinear ill-posed problems cf monotone type, Springer.
[4] V. Barbu (1976), Nonlinear semigroups and deferential equations in Ba- nach spaces, Noordhoff International Publishing, Leyden The Nether­lands.
[5] Ng. Buong (2003), "Convergence rates in regularization under arbitrar­ily perturbative operators", Zlh Vychisl. Mat. i Mat. Fiz., 43(3), pp. 323- 327.
[6] Ng. Buong (2005), "Convergence rates in regularization for ill-posed variational inequalities", CUBO Mathematical Journal Chile, 7(3), pp. 87-94.
[7] I. Ekeland and R. Temam (1976), Convex analysis and Variational prob­lems, Amstedain: North Holland.
[8] H. w. Engl, M. Hanke and A. Neubauer (1996), Regularization cf In­verse Problems, Kluwer Dordrecht.
[9] J. Hídamard (1932), Le probléme de Caushy et equations aux dérivées partielles linéaires hyperpoliques, Hermann, Paris.
[10] M. M. Lavrentiev (1967), Some Improperly Posed Problems in Mathe­matical Physics, Springer, New York.
[11] o. A. Liskovets (1991), "Regularization of ill-posed variational in­equalities on approximately given sets", Differen. Equa, Minsk, 1-53.
[12] F. Liu and M. z. Nashed (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates", Set-Valued Analysis, 6, pp. 313-344.
[13] I. P. Ryazantseva (1983), "Solution of variational inequalities with monotone operators by the method of regularization", Zli. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz., 23, pp. 479-483 (in Russian).
[14] Ng. T. T. Thuy (2010), "An iterative method to a common solution of inverse-strongly monotone problems in Hilbert spaces", Ach ances and Applications in Mathematical Sciences, 3, pp. 165-174.