Tiến Sĩ Bài toán tựa cân bằng tổng quát và một số ứng dụng

Líi cam oan . i
Líi c£m ìn . ii
Nhœng k‰ hi»u vi
Mð ƒu . 1
Chưìng 1. M¸T S¨ KI˜N THÙC CÌ BƒN 9
1.1 Khæng gian tæpæ tuy‚n t‰nh lçi àa phưìng Hausdorff . 9
1.1.1. Khæng gian tæpæ . 9
1.1.2. Khæng gian tæpæ tuy‚n t‰nh . 11
1.2 Nân v  ¡nh x⁄ a trà . 12
1.2.1. Nân 12
1.2.2. nh x⁄ a trà . 14
1.2.3. T‰nh li¶n töc cıa ¡nh x⁄ a trà . 15
1.2.4. T‰nh lçi cıa ¡nh x⁄ a trà 18
1.2.5. Mºt sŁ ành lþ i”m b§t ºng 21
Chưìng 2. B€I TON TÜA C…N BŒNG T˚NG QUT 24
2.1 °t b i to¡n 24
2.2 C¡c b i to¡n li¶n quan 25
2.3 Sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n tüa c¥n b‹ng tŒng qu¡t lo⁄i 2 31
2.4 Sü tçn t⁄i nghi»m cıa c¡c b i to¡n li¶n quan . 34
2.4.1. B i to¡n tüa quan h» bi‚n ph¥n . 34
2.4.2. B i to¡n tüa c¥n b‹ng væ hưîng . 36
2.4.3. B i to¡n bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n lþ tưðng . 37
2.4.4. B i to¡n tüa c¥n b‹ng lþ tưðng . 39
2.4.5. C¡c b i to¡n tüa c¥n b‹ng Pareto v  y‚u 40v
2.4.6. C¡c b i to¡n b§t flng thøc tüa bi‚n ph¥n v†ctì 62
2.5 Sü Œn ành cıa c¡c t“p nghi»m cıa b i to¡n tüa c¥n b‹ng tŒng
qu¡t 66
Chưìng 3. B€I TON BAO H€M THÙC TÜA BI˜N PH…N
PARETO HÉN HÑP 70
3.1 °t b i to¡n 71
3.2 Sü tçn t⁄i nghi»m . 75
3.2.1. B i to¡n bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp
tr¶n-tr¶n 75
3.2.2. B i to¡n bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp tr¶n
- dưîi . 80
3.2.3. B i to¡n bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp dưîi
- tr¶n 81
3.2.4. B i to¡n bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp dưîi
- dưîi . 82
3.3 Mºt sŁ b i to¡n li¶n quan 84
3.3.1. H» bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto . 84
3.3.2. B i to¡n tüa c¥n b‹ng Pareto hØn hæp . 87
Chưìng 4. PH×ÌNG PHP LP TœM NGHI›M B€I TON
B‡T NG THÙC BI˜N PH…N 92
4.1 Giîi thi»u b i to¡n 92
4.2 Phưìng ph¡p l°p 'n tr¶n t“p i”m b§t ºng chung cıa hå hœu
h⁄n c¡c ¡nh x⁄ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert 95
K‚t lu“n chung 103
Danh möc cæng tr nh cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n 104
T i li»u tham kh£o 105B£ng k‰ hi»u v  vi‚t t›t
Trong lu“n ¡n n y ta dòng nhœng k‰ hi»u vîi c¡c þ ngh¾a x¡c ành dưîi ¥y:
N
∗ t“p hæp c¡c sŁ tü nhi¶n kh¡c khæng
Q t“p hæp c¡c sŁ hœu t
R t“p hæp c¡c sŁ thüc
R
+ t“p hæp c¡c sŁ thüc khæng ¥m
R ư t“p hæp c¡c sŁ thüc khæng dưìng
R
n khæng gian v†ctì Euclid nư chiãu
R
n
+ t“p hæp c¡c v†ctì câ c¡c th nh phƒn khæng ¥m
cıa khæng gian R
n
R
n
ư t“p hæp c¡c v†ctì câ c¡c th nh phƒn khæng dưìng
cıa khæng gian R
n
X
∗ khæng gian Łi ng¤u tæpæ cıa khæng gian tæpæ tuy‚n t‰nh X
2 X t“p c¡c t“p con cıa t“p hæp X
hT, Ki t“p hæp c¡c gi¡ trà cıa ξ ∈ T ⊆ L(X, Y ) t⁄i x ∈ K ⊆ X
i = 1, n i = 1, 2, ., n
{x α } d¢y suy rºng
x n * x x n hºi tö y‚u tîi x
∅ t“p rØng
F : X → 2 Y ¡nh x⁄ a trà tł t“p X v o t“p Y
dom F miãn ành ngh¾a cıa ¡nh x⁄ F
Gr F ç thà cıa ¡nh x⁄ a trà F
C
0 nân Łi ng¤u cıa nân Cvii
C
0+ nân Łi ng¤u ch°t cıa nân C
C
0ư nân Łi ng¤u y‚u cıa nân C
A ⊆ B A l  t“p con cıa B
A 6⊆ B A khæng l  t“p con cıa B
A ∪ B hæp cıa hai t“p hæp A v  B
A ∩ B giao cıa hai t“p hæp A v  B
A \ B hi»u cıa hai t“p hæp A v  B
A + B tŒng ⁄i sŁ cıa hai t“p hæp A v  B
A × B t‰ch Descartes cıa hai t“p hæp A v  B
co A bao lçi cıa t“p A
cl A bao âng tæpæ cıa t“p hæp A
int A phƒn trong tæpæ cıa t“p hæp AM— †U
1. Lþ do chån ã t i
Lþ thuy‚t tŁi ưu v†ctì ưæc h nh th nh tł þ tưðng vã c¥n b‹ng kinh t‚, lþ
thuy‚t gi¡ trà cıa Edgeworth [17] n«m 1881 v  Pareto [44] n«m 1909. Nhưng tł
nhœng n«m 1950 trð l⁄i ¥y, sau nhœng cæng tr nh vã iãu ki»n cƒn v  ı cho
tŁi ưu cıa Kuhn - Tucker [31] n«m 1951, vã gi¡ trà c¥n b‹ng v  tŁi ưu Pareto
cıa Debreu [12] n«m 1954, lþ thuy‚t tŁi ưu v†ctì mîi trð th nh mºt lþ thuy‚t
mîi cıa to¡n håc hi»n ⁄i, vîi nhiãu øng döng trong thüc t‚. Lþ thuy‚t tŁi ưu
v†ctì ưæc nghi¶n cøu kh¡ t¿ m¿ v  h» thŁng trong cuŁn s¡ch chuy¶n kh£o cıa
inh Th‚ Löc [36]. âng vai trÆ quan trång trong lþ thuy‚t tŁi ưu l  b i to¡n
t m cüc ti”u cıa h m f tr¶n t“p D : T m ¯x ∈ D sao cho
f(¯x) ≤ f(x), vîi måi x ∈ D, (0.1)
vîi D l  mºt t“p con kh¡c rØng trong khæng gian X , f : D → R l  mºt h m
thüc. B i to¡n n y công ¢ ưæc nhiãu nh  to¡n håc nghi¶n cøu, mð rºng cho
¡nh x⁄ a trà trong c¡c khæng gian v†ctì. Chóng tæi quan t¥m ‚n lîp c¡c b i
to¡n tüa c¥n b‹ng tŒng qu¡t v  sü tçn t⁄i nghi»m cıa chóng. C¡ch tŒng qu¡t
hâa c¡c b i to¡n như v“y cho ph†p ta nh n nh“n c¡c b i to¡n trong lþ thuy‚t
tŁi ưu mºt c¡ch h» thŁng v  nh§t qu¡n, v  nghi»m cıa chóng câ li¶n quan ch°t
ch‡ vîi nhau. ” t m nghi»m c¡c b i to¡n tŁi ưu v  c¡c b i to¡n mð rºng, ngưíi
ta thưíng x¥y düng nhœng thu“t to¡n ” t m nghi»m cho tłng b i to¡n cö th”,
tòy thuºc °c trưng cıa mØi lo⁄i. Mºt trong c¡c phưìng ph¡p â l  x¥y düng
c¡c d¢y l°p hºi tö vã nghi»m. Ch‰nh v v“y, vi»c t m iãu ki»n ı cho sü tçn t⁄i
nghi»m cıa c¡c b i to¡n l  mºt trong nhœng v§n ã quan trång khi nghi¶n cøu
c¡c b i to¡n trong lþ thuy‚t tŁi ưu. C¡c k‚t qu£ ¢ ưæc ưa ra trưîc ¥y chưa
thüc sü tŒng qu¡t cho c¡c b i to¡n ho°c iãu ki»n tçn t⁄i nghi»m cÆn qu¡ ch°t.2
Vîi c¡c lþ do tr¶n, chóng tæi lüa chån ã t i nghi¶n cøu "B i to¡n tüa c¥n
b‹ng tŒng qu¡t v  mºt sŁ øng döng".
2. Möc ‰ch cıa ã t i lu“n ¡n
2.1. Möc ‰ch thø nh§t cıa ã t i lu“n ¡n l  x†t b i to¡n tüa c¥n b‹ng tŒng
qu¡t, chøng minh iãu ki»n ı ” b i to¡n câ nghi»m v  nghi¶n cøu t‰nh Œn
ành nghi»m cıa b i to¡n â. Ngo i ra, lu“n ¡n nghi¶n cøu mŁi quan h» cıa b i
to¡n tüa c¥n b‹ng tŒng qu¡t vîi c¡c b i to¡n ¢ ưæc ưa ra trưîc â v  t m
mºt sŁ øng döng v o c¡c v§n ã trong kinh t‚, iãu khi”n tŁi ưu v  mºt sŁ l¾nh
vüc kh¡c.
2.2. Möc ‰ch thø hai cıa ã t i lu“n ¡n l  giîi thi»u c¡c b i to¡n bao h m
thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp, chøng minh iãu ki»n ı ” c¡c b i to¡n
â câ nghi»m v  suy ra mºt sŁ k‚t qu£ cho c¡c b i to¡n li¶n quan ¢ ưæc ưa
ra trưîc â.
2.3. Möc ‰ch thø ba cıa ã t i lu“n ¡n l  x¥y düng thu“t to¡n t m nghi»m
cıa b i to¡n tüa c¥n b‹ng tŒng qu¡t, bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto trong
trưíng hæp °c bi»t: T m nghi»m cıa b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n tr¶n
t“p i”m b§t ºng chung cıa mºt hå c¡c ¡nh x⁄ khæng gi¢n.
3. Łi tưæng v  ph⁄m vi nghi¶n cøu
Lu“n ¡n t“p trung nghi¶n cøu t‰nh li¶n töc, t‰nh lçi (theo nân) cıa c¡c ¡nh
x⁄ ìn trà v  a trà, t‰nh KKM cıa ¡nh x⁄ a trà, t‰nh lçi âng cıa t“p hæp, .
” t m ra iãu ki»n tçn t⁄i nghi»m cho b i to¡n tüa c¥n b‹ng tŒng qu¡t v  b i
to¡n bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n Pareto hØn hæp.
4. Phưìng ph¡p nghi¶n cøu
Trong lu“n ¡n, mºt sŁ ành lþ i”m b§t ºng ¢ ưæc dòng ” chøng minh
c¡c k‚t qu£ ch‰nh: ành lþ i”m b§t ºng Ky Fan, ành lþ Fan-Browder v  mºt
sŁ d⁄ng tưìng ưìng kh¡c. Ngo i ra, phưìng ph¡p væ hưîng hâa c¡c b i to¡n
trong khæng gian v†ctì công ¢ ưæc sß döng mºt c¡ch hi»u qu£.
5. Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti„n3
C¡c b i to¡n tüa c¥n b‹ng v  bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n ¢ v  ang ưæc
nhiãu nh  to¡n håc tr¶n th‚ giîi quan t¥m nghi¶n cøu. Trong nưîc, câ th” k”
‚n c¡c t¡c gi£ như Phan QuŁc Kh¡nh, Ph⁄m Hœu S¡ch, . , ngo i nưîc câ Lin
L.J., inh Th‚ Löc, . Nhiãu cæng tr nh nghi¶n cøu khoa håc vã c¡c v§n ã n y
¢ ưæc ra íi, chóng câ nhiãu øng döng trong gi£i quy‚t nhœng mæ h nh kinh
t‚, lþ thuy‚t trÆ chìi, . v  c¡c ng nh khoa håc kh¡c.
6. TŒng quan v  c§u tróc lu“n ¡n
âng vai trÆ trung t¥m, b i to¡n tŁi ưu (0.1) câ mŁi quan h» m“t thi‚t ‚n
nhiãu b i to¡n kh¡c trong lþ thuy‚t tŁi ưu, chflng h⁄n b i to¡n c¥n b‹ng, b§t
flng thøc bi‚n ph¥n, b i to¡n i”m b§t ºng, b i to¡n c¥n b‹ng Nash trong mæ
h nh kinh t‚, .
N«m 1980, Stampacchia [30] ưa ra b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n (0.2)
v  t m iãu ki»n ı ” b§t flng thøc bi‚n ph¥n câ nghi»m. B i to¡n ưæc ph¡t
bi”u nguy¶n thıy như sau: Cho D l  t“p con trong khæng gian Euclid hœu h⁄n
chiãu R
n , G : D → R
n l  ¡nh x⁄ ìn trà. T m ¯x ∈ D sao cho
hG(x), x ư xi ≥ 0 vîi måi x ∈ D. (0.2)
Khi f l  mºt h m lçi, kh£ vi tr¶n t“p lçi D, th b i to¡n tŁi ưu (0.1) tưìng ưìng
vîi b i to¡n b§t flng thøc bi‚n ph¥n (0.2), vîi G(x) = ∇f(x) . Sau â, b i to¡n
ưæc mð rºng sang khæng gian væ h⁄n chiãu v  th¶m h m sŁ ϕ : D → R . Cö
th”, cho D l  t“p con trong khæng gian Banach X vîi Łi ng¤u X
∗
, G : D → X
∗
l  ¡nh x⁄ ìn trà, ϕ : D → R l  h m sŁ. Ta câ b i to¡n: T m ¯x ∈ D sao cho
hG(x), x ư xi + ϕ(x) ư ϕ(¯x) ≥ 0 vîi måi x ∈ D.
Song song vîi b i to¡n n y, Minty [42] ¢ ưa ra b i to¡n b§t flng thøc bi‚n
ph¥n sau ¥y: T m ¯x ∈ D ⊆ R
n sao cho
hG(x), x ư xi ≥ 0 vîi måi x ∈ D. (0.3)
Hai b§t flng thøc n y l  ho n to n kh¡c nhau. Khi D l  t“p lçi th t“p nghi»m
cıa (0.3) công l  t“p lçi. Nhưng t“p nghi»m cıa (0.2) nâi chung khæng lçi. Khi
G l  to¡n tß ìn i»u th (0.2) tưìng ưìng vîi (0.3).4
Còng vîi c¡c b i to¡n tr¶n, ta cÆn câ b i to¡n i”m b§t ºng: Cho T : D → X
l  ¡nh x⁄ ìn trà. T m ¯x ∈ D sao cho
¯x = T(¯x). (0.4)
N‚u T l  mºt ¡nh x⁄ li¶n töc v  ¡nh x⁄ G := I ư T , vîi I l  ¡nh x⁄ çng nh§t
tr¶n D , th b i to¡n i”m b§t ºng (0.4) tưìng ưìng vîi b i to¡n b§t flng
thøc bi‚n ph¥n (0.2) (xem [30]).
N«m 1994, Blum, E. v  Oettli, W. ¢ ph¡t bi”u v  chøng minh sü tçn t⁄i
nghi»m cıa b i to¡n i”m c¥n b‹ng: Cho D l  t“p con cıa khæng gian tæpæ
tuy‚n t‰nh lçi àa phưìng Hausdorff X, ϕ : D × D → R . T m ¯x ∈ D sao cho
ϕ(t, ¯x) ≥ 0 vîi måi t ∈ D. (0.5)
B i to¡n n y chøa c¡c b i to¡n (0.1), (0.2), (0.3) v  c¡c b i to¡n i”m y¶n ngüa,
minimax, b i to¡n bò, b i to¡n i”m b§t ºng, . như nhœng trưíng hæp °c
bi»t.
N«m 2002, Nguy„n Xu¥n T§n v  Guerraggio, A. [24] ¢ ph¡t bi”u v  chøng
minh sü tçn t⁄i nghi»m cıa b i to¡n tüa tŁi ưu tŒng qu¡t hay cÆn gåi l  b i to¡n
tüa tŁi ưu phö thuºc tham sŁ lo⁄i 1: Cho X, Z l  c¡c khæng gian tæpæ tuy‚n
t‰nh lçi àa phưìng Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z l  nhœng t“p con kh¡c rØng. Cho
S : D × K → 2 D , T : D × K → 2 K l  nhœng ¡nh x⁄ a trà, F : K × D × D → R
l  h m sŁ. T m (¯x, ¯y) ∈ D × K sao cho
1) ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T(¯x, ¯y),
2) F(¯y, ¯x, ¯x) = min
t∈S(x,y)
F(¯y, ¯x, t).
(0.6)
B i to¡n (0.6) tŒng qu¡t hìn b i to¡n (0.5). Khi F khæng phö thuºc v o y ,
F(x, x) = 0 vîi måi x ∈ D, ta ch¿ vi»c °t S(x, y) ≡ D v  ϕ(t, x) = F(x, t)
vîi måi x, t ∈ D. Tł (0.6), ta câ ngay 0 = F(¯x, ¯x) ≤ F(¯x, t), ∀t ∈ D, tøc l 
ϕ(t, ¯x) ≥ 0 vîi måi t ∈ D v  (0.5) ưæc thäa m¢n. C¡c b i to¡n tüa tŁi ưu lþ
tưðng lo⁄i 2 công ¢ ưæc x†t ‚n trong b i b¡o [1], danh möc cæng tr nh ¢
cæng bŁ li¶n quan ‚n lu“n ¡n.
B i to¡n (0.1) ¢ ưæc ph¡t bi”u cho trưíng hæp v†ctì: Cho X, Y l  c¡c
khæng gian tæpæ tuy‚n t‰nh lçi àa phưìng, D l  t“p con trong X , C l  nân5
trong Y . Nân C sinh ra quan h» thø tü tłng phƒn tr¶n Y : x  y khi v  ch¿ khi
x ư y ∈ C. Tł quan h» thø tü n y, ngưíi ta ành ngh¾a t“p c¡c i”m hœu hi»u
lþ tưðng, thüc sü, Pareto v  y‚u cıa t“p A ⊆ Y, (xem ành ngh¾a 1.2.4). Ta k‰
hi»u αMin(A/C) l  t“p c¡c i”m hœu hi»u α cıa t“p A Łi vîi nân C, ( α l  lþ
tưðng, thüc sü, Pareto, y‚u). B i to¡n: T m ¯x ∈ D sao cho
F(¯x) ∈ αMin(F(D)/C), (0.7)
trong â F : D → Y , ưæc gåi l  b i to¡n tüa tŁi ưu α v†ctì. i”m ¯x ưæc gåi
l  nghi»m v  F(¯x) ưæc gåi l  gi¡ trà tŁi ưu α cıa (0.7).
N«m 1985, Nguy„n Xu¥n T§n [47] ¢ mð rºng b i to¡n (0.2) cho trưíng hæp
¡nh x⁄ a trà v  trưíng hæp miãn r ng buºc D thay Œi bði ¡nh x⁄ a trà S. Tøc
l , cho D l  t“p con cıa khæng gian tæpæ tuy‚n t‰nh lçi àa phưìng Hausdorff
X vîi Łi ng¤u X
∗
. Cho S : D → 2 D , P : D → 2 X
∗ l  nhœng ¡nh x⁄ a trà v 
ϕ : D → R l  h m sŁ. B i to¡n: T m ¯x ∈ D, ¯x ∈ S(¯x) v  ¯y ∈ P(¯x) sao cho
hy, x ư xi + ϕ(x) ư ϕ(x) ≥ 0 vîi måi x ∈ S(x), (0.8)
ưæc gåi l  b§t flng thøc tüa bi‚n ph¥n a trà.
N«m 1998, Nguy„n Xu¥n T§n v  Phan Nh“t T¾nh [49] ¢ mð rºng b i to¡n
(0.3) cho trưíng hæp v†ctì. N«m 2000, Nguy„n Xu¥n T§n v  Nguy„n B¡ Minh
[40] mð rºng ti‚p cho trưíng hæp ¡nh x⁄ a trà v  chøng minh ành lþ vã sü tçn
t⁄i nghi»m cıa Blum-Oettli cho trưíng hæp n y.
N«m 2007, Lin J. L. v  Nguy„n Xu¥n T§n [33] ph¡t bi”u b i to¡n bao h m
thøc tüa bi‚n ph¥n lo⁄i 1: Cho X, Z, Y l  c¡c khæng gian tæpæ tuy‚n t‰nh lçi
àa phưìng Hausdorff, D ⊆ X, K ⊆ Z l  c¡c t“p kh¡c rØng, C ⊆ Y l  nân. Cho
S : D × K → 2 D , T : D × K → 2 K , P i : D → 2 D , i = 1, 2, Q : D × D → 2 K , F :
K × D × D → 2 Y , l  nhœng ¡nh x⁄ a trà.
B i to¡n bao h m thøc tüa bi‚n ph¥n lþ tưðng tr¶n (dưîi) lo⁄i 1: T m (¯x, ¯y) ∈
D × K sao cho
1) ¯x ∈ S(¯x, ¯y), ¯y ∈ T(¯x, ¯y),
2) F(¯y, ¯x, t) ⊆ F(¯y, ¯x, ¯x) + C vîi måi t ∈ S(¯x, ¯y),
F(¯y, ¯x, t) ∩ F(¯y, ¯x, ¯x) + C 6= ∅ vîi måi t ∈ S(¯x, ¯y)
.
(0.9)