Tài liệu Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các vấn đề liên quan

Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các vấn đề liên quan

Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm điểm hữu hiệu mà Edgeworth và Pareto đề xướng từ cuối thế kỷ 19. Sau đó nó được nhiều nhà toán học như Debreu, Nash, . sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế mà trong những năm cuối thế kỷ 20, nhiều nhà kinh tế trên thế giới quan tâm khai thác. Để chứng minh sự tồn tại điểm cần bằng của mô hình kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý bất động kiểu Brouwer, Katutani [11], KyFan [8], Browder [5], . Sau này, người ta đã chỉ ra rằng định lý điểm bất động Brouwer tương đương với định lý về sự tương giao hữu hạn của các tập compact, định lý không tương thích của Hoàng Tụy [22] và định lý KKM [12]. Như vậy người ta đã tìm ra nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán. Năm 1972 Ky Fan [7] và năm 1978 Brower-Minty [18] đã phát biểu bài toán một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Brower-Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số. Năm 1991, Blum và Oettli [3] đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Brower-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên nguyên lý KKM.

Bài toán điểm cân bằng bao gồm các bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động, bài toán bù, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash. Bài toán này đã được N. X. Tấn, Phan Nhật Tĩnh [23] và J. Lin [13] mở rộng cho trường hợp véctơ và đa trị, hơn nữa nó còn mở rộng cho các bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán tựa cân bằng, bài toán quan hệ biến phân. Trong luận văn này ta trình bày sự mở rộng của bài toán trên cho lớp bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và các ứng dụng của nó.

Về bố cục, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của nón, khái niệm và các tính chất của ánh xạ đa trị, các phép tính về ánh xạ đa trị, tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị, tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị và một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị cần dùng tới trong luận văn này.

Chương 2: Trình bày về bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I và một số bài toán liên quan như: bài toán tựa cân bằng vô hướng, bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên, bài toán bao hàm tựa biến phân véctơ tổng quát và xét sự tồn tại nghiệm của chúng.

Chương 3: Trình bày về bài toán tựa tối ưu, bài toán quan hệ tựa biến phân, bài toán bao hàm tựa biến phân lý tưởng trên và sự tồn tại nghiệm của chúng cũng như mối quan hệ của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I với các bài toán khác.​