Thạc Sĩ Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN . i
LỜI CẢM ƠN . ii
MỤC LỤC iii
BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT iii
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài . 1
2. Mục đích nghiên cứu . 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
4. Bố cục của luận văn . 2
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
1.1. Đặt vấn đề . 3
1.2. Nón và các khái niệm liên quan . 3
1.3. Ánh xạ đa trị . 5
1.4. Tính liên tục của ánh xạ đa trị 7
1.5. Tính lồi của ánh xạ đa trị 13
1.6. Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị 15
Chương 2: BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT HỖN HỢP . 18
2.1. Đặt vấn đề . 18
2.2. Một số bài toán liên quan . 19
2.3. Sự tồn tại nghiệm . 24
2.4. Ứng dụng 43
KẾT LUẬN 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

iv
BẢNG KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT

Trong luận án này ta dùng những kí hiệu với ý nghĩa xác định dưới đây: ℕ ∗ Tập hợp các số tự nhiên khác không ∗ Không gian đối ngẫu của ℚ Tập hợp các số hữu tỷ ℝ Tập hợp các số thực ℝ + Tập hợp các số thực không âm ℝ ư Tập hợp các số thực không dương ℝ Không gian vecto Euclid – chiều ℝ + Tập hợp các vecto có các thành phần không âm của không gian ℝ ℝ ư Tập hợp các vecto có các thành phần không dương của không gian ℝ 2 Tập các tập con của tập hợp , Giá trị của ∈ ∗ tại ∈ = 1, = 1,2, ∝ Dãy suy rộng ⇀ hội tụ yếu tới ∅ Tập rỗng ∃ Tồn tại ∀ Mọi x : → 2 Ánh xạ đa trị tự tập vào tập Miền định nghĩa của ánh xạ Đồ thị của ánh xạ đa trị ′ Nón đối ngẫu của nón ′ + Nón đối ngẫu chặt của nón ′ ư Nón đối ngẫu yếu của nón  là tập con của ⊈ không là tập con của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

v ∪ Hợp của hai tập hợp và ∩ Giao của hai tập hợp và ∖ Hiệu của hai tập hợp và + Tổng đại số của hai tập hợp và × Tích Descartes của hai tập hợp và Bao lồi của tập Bao nón lồi của tập hợp Nón sinh bởi tập Bao đóng topo của tập hợp Phần trong topo của tập hợp : ⇉ Ánh xạ đa trị từ vào
KKM Tên của ba nhà toán học Knater, Kuratowski và Mazurkiewicz ( ) Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp ∎ Kết thúc chứng minh


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Từ xưa toán học người ta đã quan tâm đến những bài toán tìm các giá trị
lớn nhất (cực đại) hay nhỏ nhất (cực tiểu), gọi là các bài toán tối ưu. Sau đó có
rất nhiều công trình đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vự khác
nhau của các ngành khoa học ký thuật cũng như thực tế như: Borel (1921), Von
Neuman (1926) đã xây dựng lý thuyết trò chơi dựa trên các khái niêm và kết
quả toán học, Koopmam (1947) đã đưa ra lý thuyết lưu thông hàng hóa. Lý
thuyết cân bằng là bộ phận quan trọng vủa lý thuyết tối ưu. Sau những công
trình của H.W.Kuhn và A.W.Tucker về các điền kiện cần và đủ cho một véc tơ
thỏa mãn các ràng buộc là nghiệm hữu hiệu, tối ưu véc tơ thực sự là một ngành
toán học độc lập và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Các bài toán cơ bản trong
lý thuyết tối ưu véc tơ bao gồm: Bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài
toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa .
Trong kinh tế, bài toán điểm cân bằng được biết đến từ lâu bởi cấc công
trình của Arrow- Debreu, Nash sau đó được nhiều nhà toán học sử dụng để xây
dựng những mô hình kinh tế từ nửa sau thế kỷ 20. Ky Fan (1972) trong [7] và
Browder- Minty (1968) trong [4] dã phát biểu và chứng minh sự tồn tại nghiệm
của bài toán điểm cân bằng dựa trên các định lý điểm bất động. Năm 1991,
Blum và Oettli [3] đã phát biểu bài toán cân bằng một cách tổng quát và tìm
cách liên kết bài toán của Ky Fan và Browder- Minty với nhau thành dạng
chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: Tìm ∈ sao cho ( , ) ≥ 0 với mọi ∈ , trong đó là tập cho trước của không gian, : × → là hàm số thực thỏa mãn (, ) ≥ 0 . Đây là dạng suy rộng trực
tiếp của các bài toán trong lý thuyết tối ưu vô hướng.
Ban đầu, người ta nghiên cứu những bài toán liên quan đến ánh xạ đơn
trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà
thứ tự được đưa ra bới nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/

2
số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được xây dựng và
phát triển do yêu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học
khác. Những định nghĩa, tính chất, sự phân lớp của ánh xạ đơn trị dần được mở
rộng cho ánh xạ đa trị. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả tương tự
như các kết quả đã biết từ đơn trị. Chính vì vậy mà bài toán điểm cân bằng trong
những năm gần đây được nhiều nhà nghiên cứu toán học đặc biệt quan tâm. Vì lí
do trên tôi chọn đề tài: “Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số kết quả của bài toán
cân bằng tổng quát hỗn hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ sau đây:
Trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích đa trị, một số tính chất
của ánh xạ đa trị và các phép toán.
Trình bày Bài toán tựa cân bằng tổng quát hỗn hợp và các vấn đề liên
quan đến chúng trong lý thuyết tối ưu đa trị.
4. Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được
trình bày gồm 2 chương.
Chương 1 trình bày một số khái niệm về ánh xạ đa trị, tính liên tục theo
nón và một số định lý điểm bất động làm công cụ chứng minh các kết quả trong
chương 2.
Chương 2 trình bày bài toán tựa bao hàm biến phân hỗn hợp. Định lý
2.3.1, 2.3.2, và 2.3.4 cho ta kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán. Các hệ
quả 2.3.5, 2.3.6 chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến
phân hỗn hợp.