Thạc Sĩ Bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội

Luận án tiến sĩ năm 2011
Đề tài: Bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội


[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]Mục lục
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 390"]
[TR]
[TD="align: left"]Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn 2
Danh mục các ký hiệu thường dùng 5
Mở đầu 1
1 Bài toán quy hoach lồi, quy hoach toàn phương và hàm lồi
thô 8
1.1. Bài toán quy hoạch lồi, quy hoạch toàn phương 9
1.2. Hàm lồi suy lộng thô . 12
1.3. Hàm 7-lồi ngoài 13
1.4. Hàm r-lồi ngoài 15
1.5. Hàm 7-lồi trong 17
2 Điểm inâmum toàn cuc của Bài toán (P) 20
2.1. Tính 7-lồi ngoài của hàm bị nhiễu 20
2.2. Điểm cực tiểu toàn cục và điểm inlìmum toàn cục . 27
2.3. Các tính chất của điểm iníìmum toàn cục 28
2.4. Tính chất tựa và điều kiện tối ưu . 33
3 Tính r-lồi ngoài của hàm bi nhiễu và điểm infimum toàn
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]3
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]


[TABLE="width: 390"]
[TR]
[TD="align: left"]cuc cùa Bài toán (P) 43
3.1. Tính r-lồi ngoài của hàm bị nhiễu . 43
3.2. Điểm infimum toàn cục của bài toán nhiễu 52
3.3. Tính Ổn định của tập các điểm infimum toàn cục 55
3.4. Dưới vi phân suy rộng thô và điều kiện tối ưu . 58
4 Điểm supremum của Bài toán (ộ) 64
4.1. Tính 7-lồi trong của hàm bị nhiễu 64
4.2. Điểm supremum toàn cục của hàm bị nhiễu . 66
4.3. Tính chất của tập các điểm supremum toàn cục . 73
4.4. Tính chất của tập các điểm supremum địa phương 86
Kết luân chung 94
Danh mục công trình của tác giâ liên quan đến luân án 96
Tài liêu tham khảo 97
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]


[TABLE="width: 61"]
[TR]
[TD="align: left"]1
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 378"]
[TR]
[TD="align: left"]MỞ ĐẦU
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 378"]
[TR]
[TD="align: left"]Bài toán quy hoạch toàn phương truyền thống có dạng
f(x) := (Ax,x) + (b,x) —> inf, X € D
trong đó A € ữì"*[SUP]n[/SUP] là ma trận vuông, 6 € Bỉ" là véc tơ và D c m[SUP]n[/SUP] là tập lồi.
Cùng với bài toán quy hoạch lồi, bài toán quy hoạch toàn phương được nhiều nhà toán học Việt nam và quốc tể nghiên cứu, ví dụ như H. w. Kuhn và A. w. Tucker [22], B. Bank và R. Hasel [5], E. Blum và w.
Oettli [7], B. c. Eaves [12], M. Frank và p. Wolfe [13], 0. L. Magasarian
[26], G. M. Lee, N. N. Tam và N. D. Yen [31], H. X. Phu [45], H. X. Phu và N. D. Yen [53], M. Schweighofer [57], H. Tuy [63], [64], [72], H. H. Vui và P. T. Son [66] .
Các kết quả quan trọng đã thu được khi nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương của các nhà toán học là về sự tồn tại nghiệm tối ưu, điều kiện cần tối ưu, điều kiện đủ tối ưu, thuật toán tìm nghiệm tối ưu, tính ôn định của nghiệm tối ưu khi các bài toán trên bị tác (lộng bới nhiễu. Nhiều kết quả nghiên cứu về bài toán trên đã được ứng dụng để giải các bài toán trong kinh tế và kỹ thuật, như bài toán lựa chọn đầu tư (portfolio selection) ([27], [28]). bài toán phát điện tối ưu (economic power dispatch) ([6], [11], [69]). bài toán kinh tế đối sánh (matching economic), ([17]), bài toán máy hỗ trợ véc to (support vector machine) ([29]) .
Khi A là nửa xác định dương hoặc nửa xác định âm thì bài toán trên có thể phân rã thành hai bài toán khác nhau sau:
f(x) := (Ax,x) + (b,x) —> inf, X € D (p)
f(x) := (Ax, x) + (b, x) -» sup, X € D. (Q)
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]


[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]2
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 391"]
[TR]
[TD="align: left"]Luận án này nghiên cứu các bài toán quy hoạch toàn phương lồi ngặt với nhiễu giới nội sau:
f(x) := (Ax,x) + (b.x) + p(x) —> inf, X € D (P)
f(x) ■— {Ax, X) + (b, x) + p(x) —► sup, X € D, (ộ)
trong đó p : D —> M thỏa mãn điều kiện sup^gp |p(.r)| < s với giá trị s € [0, +oo[ và A trong các bài toán (P), (Q), (P) và (ộ) được giả thiết là ma trận đối xứng xác định đương.
Vì sao các bài toán trên được chọn để nghiên cứu? Rõ ràng, khi s = 0 thì các bài toán (P) và (Q) chính là các bài toán (P) và (Q), hay nói cách khác các bài toán (p) và (Q) là các trường hợp riêng cứa các bài toán (p) và (ộ). Đây là lý do đê’ tiến hành nghiên cứu các bài toán trên, tối thiểu từ quan điểm lý thuyết. Tuy nhiên, còn một số lý do thực tế khác dưới đây, cho thấy việc nghiên cứu các bài toán (P), (Q) là thực sự cần.
Lý do thứ nhất: f(x) = (Ax,x) + (b,x) là hàm mục tiêu ban đâu và p là hàm nhiễu nào đó. Hàm nhiễu p có thê bao gồm các tác động bô sung (tất định hoặc ngẫu nhiên) lên hàm mục tiêu và các lỗi gây ra trong quá trình mô hình hóa, đo đạc, tính toán . Điểm đặc biệt là ở chỗ, chúng ta hạn chế chỉ xét nhiễu giới nội. Hạn chế này là không quá ngặt, có thể
được thỏa mãn trong nhiều bài toán thực tế, chẳng hạn như trong hai ví
dụ minh họa sau đây.
Một trong những ứng dụng nổi bật của quy hoạch toàn phương là bài toán lựa chọn đầu tư (H. M. Markowitz [27], [28]). Bài toán phát biểu như sau: Phân phối vốn qua n chứng khoán (asset) có sẵn để có thể giảm thiểu rủi ro và tối đa lợi nhuận, tức là tìm véc tơ tĩ lệ X Ễ D, D — {x = (x 1, #2, . , x[SUB]n[/SUB]) I Xj = 1} để /(x) = U)X[SUP]T[/SUP]TiX — p[SUP]T[/SUP]x đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó Xj,j — 1, ., n, là tỷ lệ chứng khoán thứ j trong danh mục đầu tư, UJ là tham số rủi ro, E € IR[SUP]nxn[/SUP] là ma trận hiệp phương sai, p Ễ ữĩ" là véc tơ lợi nhuận kỳ vọng. Vì E và p thường
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]


[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]TÀI LIỆU THAM KIlẦO
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 378"]
[TR]
[TD="align: left"][1] P. T. An. Hàm lồi thô và tính ôn định cứa hàm lồi suy rộng với nhiễu tuyến tính, Luận án Tiến sĩ Toán học, Đại học Vinh, 1999.
[2] Phạm Kỳ Anh. Giải tích số. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia, Hà nội. 1998.
[3] N. N. Hai, Một sổ tính chất giãi tích của hàm 'Ỵ-lồi và -y-dưới vi phân, Luận án Tiến sĩ Toán học, Hà nội. 2001.
[4] J. P. Aubin and H. FYankowska, Set-Valued Analysis, Birkliẵuser, Boston Basel Berlin, 1990.
[5] B. Bank and R, Hasel, Stability of mixed-integer quadratic program­ming problems, Mathematical Programming Study, 21, 1984, 1-17.
[6] P. P. J. van den Bosch and F. A. Lootsma, Scheduling of power gen­eration via large-scale nonliear optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, 55, 1987, 313-326.
[7] E. Blum and w. Oettli, Direct proof of the existence theorem for quadratic programming, Operations Research. 20, 1973, 165-167.
[8] M. J. Canovas, A. Hantoute. M. Lopez and A. Marco, Lipschitz behavior of convex semi-infinite optimization problems: a variational approach, Journal of Global Optimization, 41 2008, 1-13.
[9] c. H. Chen and s. N. Yell, Particle swarm optimization for economic power dispatch with valve- point effects. Transmission and Distribution
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]97
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]


[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]98
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 378"]
[TR]
[TD="align: left"]Conference and Exposition Latin America, Venezuela, 1-4244-0288- 3/20.00, 2006, IEEE.
[10] J. w. Daniel, Stability of the solution of definite quadratic programs, Mathematical Programming, 5, 1973, 41-53.
[11] R. M. S. Danaraj and F. Gajendran, Quadratic programming solution to emission and economic dispatch problem, IE(I) Journal-EL, 86, 2005, 129-132.
[12] B. c. Eaves, On quadratic programming, Management Science, 17, 1971, 698-711.
[13] M. Frank and p. Wolfe, An algorithm for quadratic programming, Naval Research Logistics Quarterly, 3, 1956. 95-110.
[14] M. A. Hanson, On sufficiency of the Kuhn-Tucker conditions, Journal of Mathematical Annalysis and Applications, 80, 1981, 545-550.
[15] H. Hartwig, Local boundedness and continuity of generalized convex functions, Optimization, 26, 1992, 1-13.
[16] T. c. Hu, V. Klee and D. Larman. Optimization of globally convex functions, SIAM Journal Control Optimization, 27, 1989, 1026-4047.
[17] T. R. Jefferson and c. H. Scott, Quadratic geometric programming with application to maching economics, Mathematical Programming, 37, 1985,137-152.
[18] S. Karamardian, Duality in Mathematical Programming, Doctoral Thesis, University of California Press, Berkeley, 1965.
[B][19] J. Kennedy and R. c. Eberhart, Swann Intelligence, Morgan Kaufi- mann, 2001.
[B][20] D. Klatte, On the lower semicontinuity of optimal sets in convex para- tnetric optimization. Point-to-set maps and mathematical program­ming, Mathematical Programming Study, 10, 1979. 104-109.
[/TD]
[/TR]
[/TABLE][/B][/B]