Thạc Sĩ Bài toán ổn định hoá phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến tính

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NĂM 2012

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài .1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .2
2.1. Mục đích nghiên cứu .2
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
3. Phương pháp nghiên cứu .2
4. Bố cục của luận văn 2
Chương 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 4
1.1. Phương trình vi phân .4
1.2. Lý thuyết ổn định phương trình vi phân .6
1.3. Phương pháp hàm Lyapunov 13
1.4. Bài toán ổn định hóa . 17
1.4.1. Ổn định hóa phản hồi trạng thái 17
1.4.2. Ổn định hóa phản hồi đầu ra . 24
1.5. Một số bổ đề cơ bản 26
Chương 2: ỔN ĐỊNH HÓA PHẢN HỒI ĐẦU RA CÁC HỆ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 27
2.1. Điều kiện cần và đủ cho ổn định hóa phản hồi đầu ra bằng tiếp cận bất
đẳng thức ma trận . 27
2.2. Ổn định hóa phản hồi đầu ra và phản hồi trạng thái hệ tuyến tính có trễ 31
KẾT LUẬN 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO . 39
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toán học
ứng dụng quan trọng mới xuất hiện và phát triển trong những thập kỷ gần
đây. Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lí thuyết định
tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý
toán, kỹ thuật, kinh tế, . Một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái
cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấu trúc ban đầu
của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân
bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu nghiên cứu từ cuối thế kỉ
XIX bởi nhà toán học V.Lyapunov, từ những năm 60 của thế kỉ XX, song
song với sự phát triển của lý thuyết điều khiển và do nhu cầu nghiên cứu các
tính chất chất định tính của hệ thống điều khiển người ta bắt đầu nghiên cứu
các tính chất ổn định của hệ thống điều khiển hay còn gọi là ổn định hóa của
hệ. Trải qua quá trình nghiên cứu và phát triển, đến nay lý thuyết ổn định, ổn
định hóa các hệ phương trình vi phân đã được nghiên cứu và phát triển như
một lý thuyết toán học độc lập và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực toán
học ứng dụng, điều khiển kỹ thuật, kinh tế,
Trong thực tế, nhiều bài toán đề cập các vấn đề kĩ thuật, điều khiển
thường liên quan đế các hệ động lực mô tả bởi các phương trình toán học với
thời gian liên tục hay rời rạc dạng:
trong đó x . là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u . là biến điều khiển
mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống. Các đối tượng điều khiển trong mô
hình điều khiển hệ thống được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động ở
mức độ này hay mức độ khác có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra
của hệ thống.
Một trong những mục đích quan trọng của của bài toán điều khiển hệ
thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho hệ thống đầu ra có tính chất mong
muốn. Vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển là tìm các hàm điều khiển
phản hồi (feedback controls) sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó
trở thành hệ thống ổn định được tại trạng thái cân bằng.
Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước quan tâm nghiên cứu.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn này là trình bày một số điều kiện đảm bảo
tính ổn định và ổn định hóa phản hồi đầu ra hệ phương trình vi phân tuyến
tính và hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về bài toán ổn định hóa
phương trình vi phân tuyến tính gồm ổn định hóa phản hồi trạng thái và ổn
định hóa phản hồi đầu ra.
- Trình bày một số kết quả về ổn định hóa phản hồi đầu ra các hệ
phương trình vi phân tuyến tính.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp của lý thuyết điều khiển và lý thuyết ổn định.
- Kế thừa phương pháp và kết quả của Lyapunov.