Tiến Sĩ Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến

LỜI NÓI ĐẦU

Nội dung chính của luận án này là tập trung khảo sát nghiệm của bài toán parabolic nhiệt phi tuyến ngược thời gian. Bài toán nhiệt ngược thời gian tức là bài toán xác định phân bố nhiệt độ tại thời điểm ban đầu từ phân bố nhiệt độ tại thời điểm cuối. Hai dạng bài toán phi tuyến ngược thời gian mà chúng ta sẽ khảo sát trong luận án này là:

1. Bài toán nhiệt ngược thời gian phi tuyến.
2. Bài toán parabolic phi tuyến .

Như chúng ta đã biết, nếu trong bài toán parabolic, ta lấy toán tử A là toán tử Laplace trong một không gian hàm nào đó, thì bài toán này sẽ trở thành bài toán nhiệt. Điều này cũng có nghĩa là dạng bài thứ hai tổng quát hơn so với dạng bài thứ nhất. Các bài toán được nêu ở trên là những bài toán không chỉnh theo nghĩa của Hadamard, nghĩa là ít nhất một trong ba trường hợp sau xảy ra:
i) Bài toán không có nghiệm,
ii) Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không duy nhất,
iii) Bài toán có nghiệm nhưng nghiệm không ổn định.
Việc nghiên cứu bài toán ngược bắt nguồn từ thực tế, trong các lĩnh vực cơ học, vật lý, .và đã được nhiều nhà toán học quan tâm. Thật vậy, trong Địa Vật Lý, chúng ta thường gặp phải bài toán xác định phân bố nhiệt độ trong trái đất hoặc một phần trái đất tại thời điểm t0 > 0 từ nhiệt độ đo được từ thời điểm t1 > t0. Cũng tương tự như vậy, bài toán này cũng được phát triển trong nhiều tình huống như: phun núi lửa, nổ hạt nhân, , trong đó nhiệt độ tại thời điểm ban đầu (thời điểm phun hoặc nổ) quá cao cho nên chỉ thuận lợi khi đo nhiệt độ tại thời điểm sau đó t1 > t0. Thông thường, bài toán nếu có nghiệm thì nghiệm sẽ không phụ thuộc liên tục vào nhiệt độ cuối. Trong thực tế, chúng ta không thể nào đo đạc một cách chính xác nhiệt độ, nghĩa là sự đo đạc phải có sai số. Khi có sai số rất nhỏ của nhiệt độ tại thời điểm cuối, sẽ xảy ra sự chênh lệch nhiệt độ rất lớn tại thời điểm ban đầu, thậm chí có thể sai lệch tới con số khá lớn. Khi ta đo đạc dữ liệu, thì thường ít khi nhận được dữ liệu chính xác, mà là nhận được dữ liệu tương đối gần với dữ liệu chính xác thôi. Như sẽ chỉ ra ở mục 0.3, một sự thay đổi rất nhỏ của dữ liệu tại thời điểm cuối sẽ dẫn đến sai số rất lớn tại thời điểm ban đầu. Điều này gây rất nhiều khó khăn trong việc tính toán số liệu. Vì thế, nhiệm vụ chính để khảo sát bài toán là phải chỉnh hóa nghiệm cho bài toán đó.

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU. 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN . 12
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN 26
1.1 Chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3) bằng phương pháp Quasi boundary value. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2 Chỉnh hóa bài toán (1.1)-(1.3) bằng phương pháp phương trình tích phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN 62
2.1 Phương pháp Stabilized quasi-reversibility cho bài toán parabolic (2.1)-(2.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Phương pháp chuỗi Fourier cho bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
CHƯƠNG 3. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 91
3.1 Trường hợp tuyến tính không thuần nhất. . . . . . . . . . 91
3.2 Trường hợp bài toán nhiệt phi tuyến 1 chiều. . . . . . . . . 95
KẾT LUẬN 101
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 103
TÀI LIỆU THAM KHẢO 105