Thạc Sĩ Bài toán cô si với bao hàm thức biến hóa bậc cao

Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bi s
1.1 Họ giải thức 9
1.2 Không gian pha 13
1.3 Độ đo không compact và ánh xạ đa trị nén 14
2 Bài toán tong quát 19
3 Ứng dụng giải thức suy rông cho phương trình tiến hóa
cấp hai dạng đầy đủ 29

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Lý thuyết nửa nhóm là một công cụ mạnh cho việc nghiên cứu tính đạt đúng của các lớp bài toán liên quan đến phương trình vi tích phân. Cụ thể, tính đạt đúng của bài toán Cô-si đối với phương trình vi phân cấp một
u(t) = Au(t),t > 0 u(0) = £
liên quan chạt chẽ với việc A sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh, ở đây hàm trạng thái u lấy giá trị trong một không gian Banach X nào đó. Để nghiên cứu tính đạt đúng của các bài toán với phương trình vi phân bậc cao, ví dụ
u"(t) + Au'(t) + Bu(t) = 0, t > 0 u(0) = £, u'(0) = n,
người ta tìm cách đưa nó về hệ phương trình bậc nhất để có thể áp dụng các kết quả của lý thuyết nửa nhóm. Tuy nhiên công việc này không phải bao giờ cũng thực hiện được bởi sau khi chuyển về hệ bậc nhất, toán tử ma trận không có các tính chất đủ tốt để sinh ra nửa nhóm. Do vậy người ta đạt vấn đề xây dựng một giải thức suy rộng cho các phương trình bậc cao, tương tự như nửa nhóm đối với phương trình bậc nhất để nghiên cứu tính giải được của các bài toán liên quan. Các kết quả đối với bài toán tuyến tính tổng quát có thể tìm thấy trong các tài liệu [38].
Cho đến nay, vì lý do kỹ thuật, các kết quả đối với bài toán nửa tuyến tính còn ít được biết đến, nhất là đối với bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao. Với kỳ vọng tiếp cận một vấn đề nghiên cứu của toán học hiện đại, tôi chọn đề tài:
"Bài toán Cô-si đối với bao hàm thức tiến hóa bậc cao "
Mục tiêu của luận văn là nghiên cứu một lớp bài toán Cô-si tổng quát với bao hàm thức vi phân bậc cao có trễ vô hạn dựa trên các kết quả về giải thức suy rộng đã được thiết lập cho phương trình tuyến tính.
(CP1)
(CP 2)
Mục đích nghiên cứu
Áp dụng lý thuyết giải thức suy rộng để tìm điều kiện tồn tại nghiệm cho các bài toán Cô-si với bao hàm thức vi phân bậc cao. Trong đó chú trọng đến lớp bài toán (CP2).
Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý thuyết giải thức suy rộng cho phương trình vi phân tuyến tính bậc cao.
2. Nghiên cứu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị.
3. Tìm điều kiện giải được cho các bài toán Cô-si nửa tuyến tính.
Đối tương và phạm vi nghiên cứu
ã Đối tượng nghiên cứu: Phương trình và bao hàm thức vi phân bậc cao.
ã Phạm vi nghiên cứu: Tính giải được, cấu trúc tập hợp nghiệm của bài toán Cô-si đối với phương trình và bao hàm thức vi phân bậc cao.
Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các công cụ và các kết quả của giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm, giải thức suy rộng và độ đo không compact (MNC).
Dự kiến đóng góp mới và hướng nghiên cứu tiếp theo
Xác lập các điều kiện đủ cho tính giải được của một lớp bài toán đối với bao hàm thức vi phân bậc cao. Một số vấn đề đạt ra cho những nghiên cứu tiếp theo:
1. Sự tồn nghiệm tuần hoàn của bài toán: nghiệm có tính chất u( 0) = u(T);
2. Sự tồn tại nghiệm ràng buộc của bài toán: nghiệm có tính chất u(t) E K, Ví E [0,T], trong đó K là một tập đóng trong không gian pha;