Thạc Sĩ Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao

Đề tài: Bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao
LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn,
mặc dù bận rất nhiều việc nhưng đã tận tâm hướng dẫn và tạo điều kiện tối đa để tôi có thể
hoàn thành luận văn. Nhân đây em cũng xin lỗi thầy vì đã làm thầy thất vọng về mình trong
thời gian làm luận văn, và mong thầy luôn có sức khỏe tốt và thành công trong công việc.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã giành thời
gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn
chỉnh.
Tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng KHCN-Sau Đại học cùng toàn thể thầy cô khoa
Toán-Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện
tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi cũng chân thành cảm ơn gia đình, các anh chị đồng nghiệp và bạn bè thân hữu đã
động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
TP Hồ Chí Minh tháng 10 năm 2010 DANH MỤC KÍ HIỆU
 I a b   , 

n
R là không gian vectơ n chiều với vectơ cột  
1
n
i
i
x x

 trong đó
i
x R 
Trên
n
R ta trang bị chuẩn:
1
n
i
i
x x



n n
R

là không gian các ma trận cấp n n   
, 1
n
ik
i k
X x

 trong đó
x R i k n
ik    , 1,2, .,  với chuẩn:
, 1
n
ik
i k
X x

 
  
1
: 0; 1, ., 
n n n
i i
i
R x R x i n
 
    ,  
, 1
: 0; , 1, ., 
n n n n
ik ik
i k
R x R x i k n

 
   
 Nếu ,
n
x y R  và ,
n n
X Y R

 thì:
,
n n n
x y y x R X Y Y X R

         
 Nếu  
n n
i
i
x x R   và  
, 1
n n n
ik
i k
X x R


  thì:
       
1 , 1 1
, , sgn sgn
n n n
i ik i
i i k i
x x X x x x
  
  
  ; 
n
C I R không gian các vectơ hàm liên tục :
n
x I R  với chuẩn
x x t t I
C
  max :    
 C
với   0 là không gian các hàm liên tục  -tuần hoàn u R R :  với chuẩn:
u u t t R
C
max :    

 
  
1
0;
n
C 

là không gian các hàm u R : 0;    khả vi liên tục cấp (n – 1) với
chuẩn
   
 
1    
1
0;
1
n max : 0
n
k
C
k
u u t t

 


   

n 1
C

là không gian các hàm khả vi liên tục cấpn 1, -tuần hoàn với chuẩn  
1
1
1
n
n
k
C
C
k
u u








n 1
C

là không gian các hàm
n 1
u C

 với
 n 1
u

là liên tục tuyệt đối.
 L0; là không gian các hàm khả tích Lebesgue u R : 0;    với chuẩn
   
 
0;
0
L
u u t dt




  ; 
n
L I R không gian các vectơ hàm khả tích :
n
x I R  với chuẩn
 
b
L
a
x x t dt 

 L
là không gian các hàm u R R :  ,  -tuần hoàn, khả tích Lebesgue trên 0; với
chuẩn
 
0
L
u u s ds



MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân thường và phương trình vi
phân hàm ra đời từ thế kỷ 18, song đến nay vẫn được nhiều người quan tâm nhờ các ứng
dụng rộng rãi của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, . Đặc biệt, bài
toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm đạt được nhiều kết quả bắt đầu từ năm
1995 nhờ các kết quả của các tác giả như I. Kiguradze, B. Puza cho hệ phương trình vi phân
hàm tổng quát. Các kết quả về phương trình vi phân hàm bậc cao cũng được nghiên cứu một
cách rộng rãi và cũng đạt được nhiều kết quả đáng chú ý. Vì vậy chúng tôi chọn đề tài này
làm nội dung nghiên cứu của luận văn nhằm học tập và phát triển đề tài của mình theo hướng
của các tác giả trên.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm
bậc cao. Từ đó, áp dụng các kết quả đạt được cho phương trình vi phân đối số chậm, đối số
lệch.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết bài toán biên, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân hàm. Lý thuyết
bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Luận văn là tài liệu tham khảo cho tất cả mọi người quan tâm đến bài toán biên tuần
hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao.
5. Cấu trúc luận văn
Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương
Chương 1: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến
Nội dung chính của chương là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối với bài toán biên cho
hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến.
Chương 2: Nghiệm tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc cao
Chương này nghiên cứu tính giải được của bài toán biên tuần hoàn cho phương trình vi
phân hàm bậc cao và áp dụng các kết quả cho phương trình vi phân đối số lệch, đối số chậm. Chương 1. BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM PHI TUYẾN
1.1 Giới thiệu bài toán
Cho : ; ;    
n n
f C I R L I R  và : ;  
n n
h C I R R  là các toán tử liên tục thỏa với mọi
   0;  thì:
        
     
sup . : ; , ;
sup : ; ,
n
C
n
C
f x x C I R x L I R
h x x C I R x


  
   
Xét hệ phương trình vi phân hàm phi tuyến:
 
  
dx t
f x t
dt
 (1.1)
với điều kiện biên
h x   0 (1.2)
Định nghĩa 1.1
Nghiệm của của bài toán (1.1), (1.2) là các vectơ hàm liên tục tuyệt đối :
n
x I R  ,
thỏa (1.1) hầu khắp nơi trên I và thỏa (1.2).
Trong phần hai ta nghiên cứu các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của phương trình
(1.1), (1.2). Trong phần ba, ta thiết lập các tiêu chuẩn cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
biên:
 
0   ,  
dx t
f t x t
dt
 (1.3)
x t x A x x t x c  1 2 0          (1.4)
trong đó
0
:
n n
f I R R   là vectơ hàm thỏa điều kiện Caratheodory,
0
n
c R  và
: ;  
n
i
t C I R I  và : ;  
n n n
A C I R R  
là toán tử liên tục. 1.2 Định lý tồn tại nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)
Định nghĩa 1.2
Cặp toán tử  p l,  với : ; ; ;      
n n n
p C I R C I R L I R   và
: ; ;    
n n n
 C I R C I R R   được gọi là nhất quán nếu thỏa các điều kiện sau:
i) Với mỗi  ; 
n
x C I R  cố định, toán tử   ,. : ; ;    
n n
p x C I R L I R  và
  ,. : ;  
n n
 x C I R R  là tuyến tính.
ii) Với mọi , ;  
n
x y C I R  và hầu hết t I  ta có các bất đẳng thức:
 , ,     C C
p x y t t x y  ,  ,  0   C C
 x y x y  ,
trong đó
0  : R R    là hàm không giảm và  : I R R   
khả tích theo đối số
thứ nhất và không giảm theo đối số thứ hai.
iii) Tồn tại số thực dương  sao cho với mọi  ; 
n
x C I R  ,  ; 
n
q C I R  và
0
n
c R  ,
và với mọi nghiệm bất kỳ y của bài toán biên:
 
       0
, , ,
dy t
p x y t q t x y c
dt
    (1.5)
thỏa  0 
C L
y c q    (1.6)
Định lý 1.3
Giả sử tồn tại số dương ρ và cặp nhất quán  p, với
: ; ; ;      
n n n
p C I R C I R L I R   và : ; ;    
n n n
 C I R C I R R   là các toán tử liên tục
sao cho   0;1mọi nghiệm của bài toán
 
         , ,
dx t
p x x t f x t p x x t
dt
     
 
(1.7)
 x x x x h x , ,          
 
  (1.8)
thỏa
C
x   (1.9)Khi đó bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm.
Chứng minh
Gọi
0  , và  là các hàm và các số trong định nghĩa 1.2. Ta đặt:
          
0 0          
2 ,2 sup : ; , 2
2 2 sup : ; , 2
n
C
n
C
t t f x t x C I R x
t h x x C I R x
   
   
   
   
   
1 khi 0
2 khi 2 1
0 khi 2
s
s
s s s
s

   


  
      
 
(1.10)
         ,  
C
q x t x f x t p x x t     
 
(1.11)
        0
,
C
c x x x x h x     
 

Khi đó do định nghĩa của f và α ta có     0
  t L I R    ; , và với mỗi  ; 
n
x C I R  ta có
  0 2 , 1 2   C C C
    x x x x       nên với hầu hết t I  , ta có bất đẳng thức:
q x t t c x         ,
0 0   (1.12)
( do    0 2
C
q x t x     )
Cố định  ; 
n
x C I R  , xét bài toán biên tuyến tính
 
          0
, , ,
dy t
p x y t q x t x y c x
dt
    (1.13)
Theo điều kiện (iii) của định nghĩa 1.2 thì bài toán thuần nhất
 
     , , , 0
dy t
p x y t x y
dt
   (1.130)
chỉ có nghiệm tầm thường. Theo định lý 1.1 ([5]) từ điều kiện (i), (ii) của định nghĩa 1.2 và
(1.130) chỉ có nghiệm tầm thường nên bài toán (1.13) có nghiệm duy nhất. Mặt khác, từ các điều kiện (ii), (iii) của định nghĩa 1.2 và các bất đẳng thức trong (1.12),
nghiệm y của bài toán (1.13) thỏa
   
*
0
,
C
y y t t      hầu hết t I  (1.14)
trong đó        
*
0 0 0 0
, ,
L
             t t t
Đặt : ; ;    
n n
u C I R C I R  là toán tử đặt tương ứng mỗi  ; 
n
x C I R  với nghiệm y trong
bài toán (1.13). Từ hệ quả (1.6) ( hệ quả của định lý về tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên
của hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính trong [5]), thì toán tử u liên tục. Mặt khác, từ các
bất đẳng thức (1.14) ta có:          
*
0
,
t
C
s
u x u x t u x s d       

với s, t ∈ I.
Đặt
0   ; : 0
n
C
C x C I R x
     , khi đó u là toán tử liên tục từ
0
C
vào tập con compact
của chính nó, nên theo nguyên lý Schauder, tồn tại
0
x C 
sao cho u x t x t       với t ∈ I.
Theo đẳng thức (1.11), x rõ ràng là nghiệm của bài toán (1.7), (1.8) với
  C
  x (1.15)
Chúng ta cần chứng minh x thỏa (1.9). Giả sử ngược lại, khi đó sẽ xảy ra hai trường hợp
2
C
    x (1.16)
Hoặc 2
C
x   (1.17)
Nếu bất đẳng thức (1.16) thỏa mãn, thì theo (1.10) và (1.15) thì  0,1. Tuy vậy, theo điều
kiện của định lý ta có (1.9) nên mâu thuẫn với (1.16).
Nếu (1.17) thỏa. Khi đó theo (1.10) và (1.15) thì   0 , suy ra x là nghiệm của bài toán
(1.130). Điều này là không thể vì (1.130) chỉ có nghiệm tầm thường.
Từ các điều trên ta thấy x thỏa (1.9).
Do đó, từ (1.9), (1.10), (1.15) rõ ràng  1, suy ra x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2).  Định nghĩa 1.4
Cho : ; ; ;      
n n n
p C I R C I R L I R   và : ; ;    
n n n
 C I R C I R R   bất kì, và
0
: ; ;    
n n
p C I R L I R  và : ;  
n n
 C I R R  là các toán tử tuyến tính. Chúng ta nói rằng
cặp  p
0 0
, thuộc về lớp
,
n
 p l
nếu tồn tại dãy  ; 1,2,  
n
k
x C I R k   sao cho với mỗi
 ; 
n
y C I R  các điều kiện sau được thỏa mãn:
      0
0 0
lim ,
t t
k
k
p x y s ds p y s ds


 
đều trên I
lim ,   0   k
k
x y y

  
Định nghĩa 1.5
Ta nói cặp toán tử liên tục : ; ; ;      
n n n
p C I R C I R L I R   và
: ; ;    
n n n
 C I R C I R R   , thuộc lớp
0
n
O nếu:
i) Với x cố định thuộc  ; 
n
C I R thì toán tử   ,. : ; ;    
n n
p x C I R L I R  và
  ,. : ;  
n n
 x C I R R  là các toán tử tuyến tính.
ii’) Với bất kì x và y thuộc  ; 
n
C I R và hầu hết t I  , các bất đẳng thức
       0
, , ,
C C
p x y t t y x y y     
thỏa mãn, trong đó  :I R  
là khả tích và 0 R
iii’) Với mỗi  0 0
, 
n
pl
p   , bài toán
 
0 0      , 0
dy t
p y t y
dt
   (1.18)
chỉ có nghiệm tầm thường.
Hệ quả 1.6