Thạc Sĩ Bài toán biên Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai trong không gian Holder

Luận văn thạc sĩ năm 2012
Đề tài: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai trong không gian Holder

Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Công thức tích phân từng phần 3
1.2 Công thức Green thứ nhất 3
1.3 Công thức Green thứ hai 4
1.4 Công thức Green biểu diễn hàm số . 4
1.5 Lớp hàm Holder . 6
1.6 Đánh giá Schauder đối với thế vị Newton . 7
1.7 Phương pháp liên tục . 10
1.8 Phương pháp làm trơn hàm số 11
2 Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính
cấp hai 14
2.1 Đánh giá Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirich-
let cho phương trình Poisson . 14
2.2 Đánh giá Schauder đối với nghiệm bài toán biên Dirichlet
cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai . 19
2.3 Tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình
Poisson . 26
2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình el­liptic cấp hai dạng tổng quát 27
Kết luận 28
TÀI LIÊU THAM KHẢO 29

Mở đầu
1. Lý do chọn Luận văn
Phương trình elliptic tuyến tính cấp hai có một đặc điểm quan trọng là: khi vế phải và các hệ số của phương trình là các hàm liên tục thì nghiệm cổ điển lớp C[SUP]2[/SUP] của nó nói chung là không tồn tại. Nhà toán học Schauder đã có một phát hiện quan trọng là khi vế phải và các hệ số của phương trình thuộc lớp Holder C[SUP]a[/SUP] thì nghiệm luôn tồn tại trong lớp C[SUP]2,a[/SUP]. Do đó cần phải trình bày một cách hệ thống lý thuyết Schauder về tính giải được của phương trình elliptic cấp hai trong không gian Holder.
2. Phương pháp nghiên cứu
Các phương pháp chính được sử dụng trong Luận văn là các đánh giá tiên nghiệm đối với thế vị Newton và sử dụng phương pháp liên tục để chuyển các kết quả cho phương trình Poisson sang loại phương trình tổng quát.
3. Mục đích của Luận văn
Trình bày tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát.
4. Nôi dung của Luận văn
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu kết quả chính của Luận văn. Trước hết trình bày công thức tích phân từng phần, sau đó trình bày các công thức Green thứ nhất, công thức Green thứ hai và công thức tích phân từng phần. Tiếp theo giới thiệu về lớp hàm Holder, đánh giá của Schauder đối với thế vị Newton và hai phương pháp quan trọng là phương pháp liên tục và phương pháp làm trơn hàm số. Chương 2. Giới thiệu các đánh giá của Schauder đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và đối với nghiệm của bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tiếp theo trình bày về tính giải được của bài toán biên Dirichlet cho phương trình Poisson và tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai dạng tổng quát.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của PGS.TSKH Hà Tiến Ngoạn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán-trường Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K18B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm Luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên Luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Công thức tích phân từng phần
Giả sử ũ c R[SUP]d[/SUP] là miền bị chặn trong R[SUP]d[/SUP] với biên dũ. Với x G dũ ta ký hiệu v[SUB]x[/SUB] = (v[SUB]1[/SUB], v[SUB]2[/SUB],v[SUB]d[/SUB]) là véctơ pháp tuyến ngoài đơn vị tại x, dơ(x) là phần tử diện tích của dũ.
Với u(x),v(x) G C [SUP]1[/SUP](ũ) n C[SUP]0[/SUP](ũ) ta có công thức tích phân từng phần sau đây:
ị du[SUP]([/SUP][SUP]x[/SUP]) v(x)dx = — Ị u(x)[SUP]dv[/SUP][SUP]([/SUP][SUP]x[/SUP][SUP])[/SUP] dx + ị u(x)v (x)v[SUB]k[/SUB] dơ(x). (1.1)
J [SUP]dx[/SUP]k J [SUP]dx[/SUP]k J
n n dn
1.2 Công thức Green thứ nhất
BỔ đề 1.2.1. Giả sử u(x) e C[SUP]2[/SUP](ũ) n C[SUP]0[/SUP](ũ), v(x) e C [SUP]1[/SUP](ũ) n C[SUP]0[/SUP](ũ),
d 2
Au = 82. Khi đó ta có công thức Green thứ nhất
k=1 [SUP]k[/SUP]
J v(x)Au(x)dx + Ị Vu(x).Vv(x)dx = J v(z)(z)dơ(z), (1.2)
n n dn [SUP]z[/SUP]
trong đó Vu = (, ., , lu = ^ Vk = (Su, v[SUB]z[/SUB]) là đạo hàm của
k=1
u theo hướng v[SUB]z[/SUB].