Thạc Sĩ Bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

Đề tài: Bài toán biên dạng tuần hoàn cho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

LỜ I CẢ M Ơ N Đầ u tiên tôi xin bày tỏ lòng biế t ơ n sâu sắ c nhấ t đế n PGS.TS Ngu yễ n Anh Tuấ n,
ngư ờ i đã tậ n tâm hư ớ ng dẫ n và tạ o mọ i đi ều kiện tố t nhấ t có thể giúp tôi hoàn thành luậ n v ăn
này.
Tôi xin gửi lời cảm ơ n đến Quý Thầy Cô trong Hội đồ ng chấ m luậ n v ăn đã dành thờ i
gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho tôi hoàn thành luậ n văn này mộ t cách hoàn
chỉ nh.
Tôi xin cả m ơ n Ban Giám Hiệ u, Phòng KHCN – Sau Đạ i họ c cùng toàn thể thầy cô
khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy và tạo mọi
điề u kiệ n tố t nhấ t cho tôi trong suố t thờ i gian nghi ên cứu đề tài.
Tôi cũng chân thành cảm ơ n gia đình, các anh chị và các bạn đồ ng nghiệ p đã độ ng viên,
giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
nhận được sự góp ý của Quý Thầy Cô và bạn đọc nhằm bổ sung và hoàn thiện đề tài hơ n.
Xin chân thành cảm ơ n.
Tp Hồ Chí Minh tháng 3 năm 2011 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
¥ Tập hợ p số tự nhiên.
R Tập hợp số thực.
[0, ) R+ = +∞ Tập hợp số thực không âm.
( ,0] Rư = ư∞ Tập hợp số thực không dư ơ ng.
A Bao đóng của tập A.
C a b R ([ , ;] ) Không gian Banach các hàm liên tục v a b R : , [ ] →
với chuẩn v v t a t b
C
= ≤ ≤ max ( ) : { }
C a b D ([ , ;] ) Không gian các hàm liên tục v a b D : , [ ] → , D R ⊆
C a b D λµ ([ , ;] ) Không gian các hàm liên tục v a b D : , [ ] →
thỏa mãn điều kiện λ µ v a v b ( ) ( ) 0 + =
C a b D ([ , ;] ) Tập các hàm liên tục tuyệt đối v a b D : , [ ] → .
λµ ([ , ;] )
i
B a b R c
Tập các hàm v C a b R ∈ ([ , ;] ) thoả mãn điều kiện
 +  ư + ư ≤ λ µ λ µ ( ) ( ) sgn 2 1 (( ) ( ) ( ) ( ))  
v a v b i v a i v b c
trong đó λ µ, ,c R ∈ và i ∈{1,2}.
L a b R ([ , ;] ) Không gian Banach các hàm khả tích Lebesgue
p a b R : , [ ] → với chuẩn = ( ) .
∫
b
L
a
p p s ds
L a b D ([ , ;] ) Không gian các hàm p a b D : , [ ] → khả tích Lebesgue, D là tập con của R.
Mab
Tập các hàm đo được τ : , , ; [a b a b ] →[ ]
Lab
Tập các toán tử l : , ; , ; C a b R L a b R ([ ] ) → ([ ] )
tuyến tính bị chặn sao cho với mỗi l tồn tại
η ∈ L a b R ([ , ;] + )thoả mãn bất đẳng thức
l ( )( ) ≤ ∀ ∈ ∈ η ( ) [ , , , ; ] ([ ] )
C
v t t v t a b v C a b R
Khi đó l được gọi là toán tử tuyến tính bị chặn mạnh.
Pab
Tập các toán tử l : , ; , ; C a b R L a b R ([ ] + + ) → ([ ] )
sao cho l tuyến tính và l ∈ Lab
.
Kab
Tập các toán tử F C a b R L a b R : , ; , ; ([ ] ) → ([ ] ) liên tụ c thoả mãn đi ều kiện Carathèodory, nghĩa là với
mỗi r > 0 tồn tại q L a b R r ∈ ([ , ;] + ) sao cho
( )( ) ≤ ∀ ∈ ≤ r ( ), , , [ ]
C
F v t q t t a b v r.
K a b A B ([ , ; ]× ) Tập các hàm f a b A B : , [ ]× → ,( ∈ ⊆ ∈ , , ¥ )
n
A R B R n
thoả điều kiện Carathèodory, nghĩa là :
+ Hàm f x a b B (⋅ → , : , ) [ ] đo được với mỗi x A ∈
+ Hàm f t A B ( , : ⋅ → ) liên tục với mỗi t a b ∈[ , ]
+ Với mỗi r > 0 tồn tại q L a b R r ∈ ([ , ;] + ) sao cho
f t x q t t a b x r ( , , , ) ≤ ∀ ∈ ≤ r ( ) [ ] .
Toán tử 0
t -Volterra (t a b
0 ∈[ , ])
Tập các toán tử l ∈ Lab
sao cho với hai số tùy ý a a t b t b
1 0 1 0 ∈ ∈ [ , , , ] [ ]sao
cho a b
1 1 ≠ và vớ i mọ i hàm
v C a b R ∈ ([ , ;] ) thoả mãn điều kiện : v t t a b ( ) = ∈ 0, , [ 1 1 ]
ta có l (v t )( ) = 0 hầu khắp nơ i trên [a b
1 1
, ].
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
1 1 1 1
sgn 1 sgn 1
2 2 2 2
+ ư
x x x x x x x x x x = + = + = ư = ư
Toán tử l ∈ Lab
được gọi là không tầm thường, nếu l (1) ≡ 0. PHẦN MỞ ĐẦ U
Lý thuyết bài toán biên tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân thườ ng và phư ơ ng trình
vi phân hàm ra đờ i từ thế kỉ 18, song đế n nay vẫ n đư ợ c nhiề u ngư ời quan tâm nhờ các ứng
dụng của nó trong các lĩnh vực vật lý, cơ học, kinh tế, nông nghiệp, . Đặc biệt, bài toán
biên dạng tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân hàm bậc nhất đạt được nhiều kết quả bắ t đầ u
từ năm 2000, nhờ các kết quả của các tác giả như I. Kiguradze, R.Hakl, A.Lomtatidze,
cho hệ phư ơ ng tr ình vi phân hàm tổ ng quát.
Trong luận văn này tôi nghiên cứ u bài toán biên dạ ng tuầ n hoàn cho phư ơ ng tr ình vi phân
hàm bậc nhất tuyế n tính. Bài toán như sau:
Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phư ơ ng tr ình vi phân hàm tuyến tính:
u t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) = + l
với điều kiện biên
λ µ u a u b c ( ) ( ) + =
Trong đó , ([ , ]; ), , , , 0
ab
l ¡ ¡ ∈ ∈ ∈ + ≠ L q L a b c λ µ λ µ
Nghiệm của bài toán là hàm u C a b ∈ ([ , ]; ) ¡ thoả mãn phư ơ ng trình u t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) = + l hầu
khắ p nơ i trên [a,b] và thỏ a mãn đi ều kiện biên λ µ u a u b c ( ) ( ) + =
Luận văn gồ m ba chư ơ ng :
Chư ơ ng I. Chúng ta xây dựng điều kiện cần và đủ để mộ t toán tử tuyế n tính và bị chặ n
mạ nh l thuộ c vào lớ p ( , ) Vab λ µ
+
.
Chư ơ ng II. Xây dựng các điều kiện đủ để bài toán biên dạ ng tuầ n hoàn cho phư ơ ng
trình vi phân hàm tuyế n tính có nghiệm duy nhất.
Chư ơ ng III. Áp dụng các kết quả của chư ơ ng II để xây dựng các điều kiện đủ cho việc
tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên dạng tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân đối số
lệch.
Luận văn là tài liệu tham khảo cho những người quan tâm đến lý thuyết bài toán biên
tuần hoàn cho phư ơ ng tr ình vi phân hàm tuyến tính và phi tuyến bậc cao. CHƯ Ơ NG I
MỘ T SỐ BẤ T PHƯ Ơ NG TRÌNH VI PHÂN
Trong chư ơ ng này ta giả s ử rằ ng λ µ + ≠ 0 và λµ ≤ 0
Trườ ng hợ p λ µ = ư ta cầ n thêm điều kiện toán tử ∈ ab
l L không tầm thường, nghĩa là
l (1) ≢1.Equation Section 1
1.1 Giới thiệu bài toán
Xét bài toán biên dạng tuần hoàn cho phư ơ ng trình vi phân hàm tuyến tính bậc nhất sau:
u t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) = + l (1.1)
với điều kiện biên:
λ µ u a u b c ( ) ( ) + = (1.2)
Trong đó , ([ , ]; ), , , , 0
ab
l ¡ ¡ ∈ ∈ ∈ + ≠ L q L a b c λ µ λ µ
Nghiệm của phư ơ ng trình (1.1) là hàm u C a b ∈ ([ , ]; ) ¡ thoả mãn phư ơ ng trình (1.1)hầu khắp
nơ i trên [a,b].
Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét bài toán thuần nhất tư ơ ng ứng:
0
0
( ) ( )( ) (1.1 )
( ) ( ) 0 (1.2 )
u t u t
λ µ u a u b
′ =
+ =
l
Trường hợp riêng của phư ơ ng trình(1.1)là:
[ ]
1
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) (1.1)
m
k k k k
k
u t p t u t g t u t q t τ υ
=
′ = ư + ∑ ′
Trongđó: , ([ , ]; ), ([ , ], ), , ( 1,2, ., ),
k k k k ab
p g L a b q L a b k m m ∈ ∈ ∈ = ∈ ¡ ¡ ¥
+
τ υ M
Từ các kết quả của I. Kiguradze và B. Puza trong [2], ta có kết quả sau
1.1.1 Định lí
Bài toán (1.1), (1.2) có nghiệ m duy nhấ t khi và chỉ khi bài toán thuầ n nhấ t tư ơ ng ứ ng (1.10),
(1.20) chỉ có nghiệ m tầ m thư ờ ng. 1.1.2 Chú ý
Theo đị nh lý Riesz-Schauder thì nếu bài toán (1.10), (1.20) có nghiệm tầm thư ờ ng thì tồn tại
q L a b c ∈ ∈ ([ , ]; ), ¡ ¡ sao cho bài toán (1.1), (1.2) không có nghiệm.
1.2 Tậ p λ µ
+
( , ) Vab
1.2.1 Đị nh nghĩa
Ta nói toán tử ∈ ab
l L thuộc tập ( , ) Vab λ µ
+
nếuthoả mãn các điều kiện sau
i. Bài toán (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thư ờ ng.
ii. Vớ i mọ i q L a b ([ , ]; ) ∈ +
¡ và c∈¡ thỏ a
mãn(sgn sgn ) 0 λ µ ư ≥c
thìbài toán (1.1),(1.2)có nghiệm không âm.
1.2.2 Chú ý
Theo định lí 1.1.1, rõ ràng nếu ( , ) Vab λ µ
+
l ∈ thì bài toán (1.1), (1.2)có nghiệm duy nhất với
mọi q L a b ∈ ([ , ]; ) ¡ và c∈¡ .
Hơ n nữ a, nế u ∈ ab
l P và ( , ) Vab λ µ
+
l ∈ thì µ λ < .
Thật vậ y
Do ( , ) Vab λ µ
+
l ∈ nên bài toán (1.1),(1.2) có nghiệm duy nhất u(t)với mỗi
q L a b c ([ , ]; ), ∈ ∈ +
¡ ¡ thỏa mãn(sgn sgn ) 0 λ µ ư ≥c và u t C a b ( )∈ ([ , ;] ¡
+ ).Vì ∈ ab
l P nên
l ¡ (u t L a b )( )∈ ([ , ;] + ).
Do đó ta cóu t u t q t ′( ) ( )( ) ( ) 0 = + ≥ l hay u t( ) là hàm tăngtrên [a b, ]hay u b u a ( ) > ≥ ( ) 0
Hơ n nữa, từ các điều kiện :
( ) ( )
(sgn sgn ) 0
0
u a u b c
c
λ µ
λ µ
λµ
 + =

 ư ≥

≤

Nên ta có
(sgn sgn ) (sgn sgn ) 0 ( ) ( )
sgn sgn
λ µ λ µ λ µ c u a u b
λ µ

 ư = ư + ≥  
 

 = ư
Do đó
λ µ u a u b ( ) ư ≥ ( ) 0
Hay λ µ u a u b ( ) ≥ ( ) (1.3)
v Nế uu a( ) = 0 vì u b( ) > 0 nên ta xét hai trườ ng hợ p
µ = 0 và µ ≠ 0
Trườ ng hợ p µ = 0 vì theo giả thiế t λ µ + ≠ 0 nên
λ > 0 . Do đó µ λ < đúng.
Trườ ng hợ p µ ≠ 0 khi đó (1.3) có dạ ng
0 0 ≥ > µ u b( ) vô lí.
v Nế uu a( ) > 0 khi đó, từ (1.3) ta có
( )
( )
u b
u a
λ µ µ ≥ >
Suy ra µ λ < đúng.
Vậ y nế u ∈ ab
l P và ( , ) Vab λ µ
+
l ∈ thì µ λ < n
1.2.3 Chú ý
Theo đị nh nghĩa1.2.1, ( , ) Vab λ µ
+
l ∈ nế u và chỉ nế u u v C a b , [ , ]; ∈ ( ¡ )thoả mãn các bấ t đẳ ng
thứ c
( ) ( )( ) ( ), [ , ]
( ) ( )( ) ( ), [ , ]
( ) ( ) ( ) ( )
u t u t q t t a b
v t v t q t t a b
λ µ λ µ u a u b v a v b
′ ≤ + ∈
′ ≥ + ∈
ư ≤ ư
l
l (1.4)
Thì u t v t ( ) ( ) ≤ vớ i t a b ∈[ , ].
Thật vậ y
Đặ t h t v t u t ( ) ( ) = ư ( ). Theo (1.4) ta có
( ) ( )( ), , , [ ]
( ) ( ) 0
h t h t t a b
λ µ h a h b
′ ≥ ∈
ư ≥
l
Dễ thấ yh là nghiệm của phư ơ ng trình sau:
( ) ( )( ) ( ),
( ) ( )
h t h t q t
λ µ h a h b c
′ = +
+ =
l
(1.5)
với q t h t h t c h a h b ( ) = ư ≥ = + ′( ) l ( )( ) 0, λ µ ( ) ( )
Mặt khác vì ( )
[ ]
sgn sgn 2 .sgn
2 ( ) ( ) sgn
2 ( ) ( ) 0
c c
h a h b
h a h b
λ µ λ
λ µ λ
λ µ
ư =
= +
=  ư  ≥
 
nên theo đị nh nghĩa 1.2.1 ta có bài toán (1.5)có nghiệm duy nhất h t( ) ≥ 0 . Từ đó suy ra
u t v t ( ) ( ) ≤ với mọit a b ∈[ , ]. n
1.2.4 Mệnh đề
Cho µ λ < và ∈ ab
l P .
Khi đó ( , ) Vab λ µ
+
l ∈ nế u và chỉ nế u bài toán
( ) ( )( ),
( ) ( ) 0
u t u t
λ µ u a u b
′ ≤
+ =
l
(1.6)
Không có nghiệ mkhông âm khác tầ m thường.
Chứng minh
v Điều kiện cần
Giả sử ( , ) Vab λ µ
+
l ∈ , ta chứng minh bài toán (1.6) không có nghiệm không âm khác tầm
thường.
Thật vậy, giả sửulà nghiệm của bài toán (1.6) và u t t a b ( ) 0 [ , ] ≥ ∀ ∈
Vì λµ ≤ 0 và λ µ u a u b ( ) ( ) 0 + = nên ta có λ µ u a u b ( ) ( ) 0 ư =
Áp dụng chú ý 1.2.3với v t q t ( ) ≡ ≡ 0, 0 ( ) ta cóu t( ) 0 ≤ ∀ ∈t a b [ , ].
Suy ra u t t a b ( ) 0 [ , ] ≡ ∀ ∈
Do đó, bài toán (1.6) không có nghiệm không âm khác tầm thường.
v Điều kiện đủ
Giả sử bài toán (1.6) không có nghiệm không âm khác tầm thường. Ta chứng minh
( , ) Vab λ µ
+
l ∈ theođịnh nghĩa 1.2.1
Bước 1. Chứng minh bài toán thuần nhất (1.10), (1.20) chỉ có nghiệm tầm thường.
Giả sử 0
u là nghiệm của bài toán thuần nhất (1.10), (1.20).
Ta có:
u t u t u t u t u t u t u t
0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) sgn sgn sgn ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
′ ′
= = =   ′
 
l (1.7)
Mặt khác, từ0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
u t u t
u t u t

 ≥

 ≥ ư

do ∈ ab
l P ta có
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
0 0
0 0
u t u t
u t u t
 ≥


 ≥ ư

l l
l l
nên
l l l ( u t u t u t u t
0 0 0 0 )( ) ≥ = ( )( ) ( )( )sgn ( ) (1.8)
Do λµ ≤ 0 nên từ điều kiện biên (1.20) ta có λ µ u a u b
0 0 ( ) + = ( ) 0.
Do đó ta có:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
sgn , ,
0
u t u t u t u t t a b
λ µ u a u b
′
= ≤ ∈
+ =
l l
Vì vậy,
0
u là nghiệm của bài toán (1.6). Như vậy,
0
u ≡ 0 nghĩa là bài toán thuần nhất (1.10),
(1.20) chỉ có nghiệm tầm thường.
Bước 2. Chứng minh với mọi q L a b ([ , ]; ) ∈ +
¡ và c ∈ ¡ sao cho (sgn sgn 0 λ µ ư ≥ ) c
khi đó bài toán (1.1), (1.2)có nghiệm không âm.
Thật vậy, giả sửu là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)với q L a b ([ , ]; ) ∈ +
¡ và c ∈ ¡ sao cho
(sgn sgn 0 λ µ ư ≥ ) c , ta có
sgn
0
c λ
λ µ
≥
ư
Đặt
sgn
( ) ( ) , [ , ]
c
v t u t t a b
λ
λ µ
= ư ∈
ư
(1.9)
Ta có
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
sgn sgn
v t u t u t q t u t
c c
v t u t u t t u t
λ λ
λ µ λ µ
′ ′ = = + ≥
   
= ư = ư ≤
ư ư
   
l l
l l l l l
Suy ra v t v t ′( ) ≥ l ( )( )
Do ∈ ab
l P kết hợp với(1.7) và (1.8) ta có v t v t ( ) ( )( )
′
≤ l .