Luận Văn Bài toán biên cho một vài lớp phương trình có chứa toán tử Elliptic suy biến mạnh

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NĂM - 2012

NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN
1. Thiết lập được đẳng thức tích phân Pohozaev suy rộng đối với bài toán biên nửa tuyến tính có chứa toán tử Elliptic suy biến mạnh. Từ đó đưa ra được điều kiện không tồn tại nghiệm không tầm thường của bài toán.
2. Chỉ ra được số mũ tới hạn, xây dựng được không gian Sobolev có trọng tương thích với toán tử Elliptic suy biến mạnh và thiết lập được các định lý nhúng kiểu Sobolev tương ứng. Dựa trên các kết quả đó, chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường của bài toán biên nửa tuyến tính có chứa toán tử Elliptic suy biến mạnh.
3. Chứng minh được tồn tại vô số nghiệm yếu của bài toán biên nửa tuyến tính có chứa toán tử Elliptic suy biến mạnh và chứa hàm phi tuyến là hàm đa thức bậc lẻ.
4. Chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu, tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán biên ban đầu có chứa phương trình Parabolic nửa tuyến tính có toán tử Elliptic suy biến mạnh và chỉ ra có một tập hút toàn cục liên thông Compact trong không gian trong trường hợp nửa nhóm s(t) sinh bởi bài toán là hệ Gradient.
5. Chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên ban đầu có chứa phương trình Parabolic nửa tuyến tính có toán tử Elliptic suy biến mạnh và chỉ ra có một tập hút toàn cục liên thông Compact trong không gian trong trường hợp nửa nhóm s(t) sinh bởi bài toán là hệ không Gradient.
6. Đưa ra được ví dụ minh hoạ về tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán biên nửa tuyến tính có chứa toán tử Elliptic suy biến mạnh. Ví dụ về tồn tại tập hút toàn cục của bài toán biên ban đầu có chứa phương trình Parabolic nửa tuyến tính có toán tử Elliptic suy biến mạnh trong hai trường hợp: S(t) là hệ Gradient và hệ không Gradient.
CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN, NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU
Các ứng dụng:
- Ứng dụng các kết quả của Luận án để chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên có chứa toán tử Elliptic suy biến.
- Ứng dụng các kết quả của Luận án để chỉ ra sự tồn tại nghiệm, nghiệm toàn cục, tập hút toàn cục cho các bài toán biên ban đầu có chứa phương trình Parabolic với hàm phi tuyến kiểu đa thức.
Khả năng ứng dụng trong thực tiễn:
- Kết quả nghiên cứu của Luận án có thể sử dụng trong các bài toán ứng dụng trong toán học, Vật lý .
- Kết quả nghiên cứu của Luận án có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho việc nghiên cứu về nghiệm của các bài toán biên chứa toán tử Elliptic suy biến.
Những vấn đề bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu:
- Điều kiện tồn tại nghiệm của các bài toán biên nói trên trong miền không bị chặn.
- Nghiên cứu các tích chất của tập hút toàn cục như: chiều, sự phụ thuộc liên tục vào các tham số, tính trơn,
Các mô hình thực tế .