Luận Văn Bài tập lớn Tự động hoá quá trình sản xuất

Bài tập lớn Tự động hoá quá trình sản xuất

Bài số 3
Đề bài : Cho một hệ thống động có mô tả toán học như sau:
= x2 u1
= -x1 – 2x2 u2
Với điều kiện đầu : x1(0) = 10
x2 (0) = 0
Tìm luật điều khiển để toàn hệ đạt tiêu chuẩn tối ưu cực tiểu hàm :
J =
Lời giải:
Trước khi giải bài toán em xin trình bầy qua về lý thuyết luật điều khiển tiêu chuẩn tối ưu cực tiểu hàm


I/khái niệm chung:
Thông thường các hệ thống điều khiển (HTĐK) được thiết kế đều phải thoả mãn một số chỉ tiêu chất lượng đề ra nào đó.Các chỉ tiêu chất lượng phải tốt nhất theo quan điểm nào đó thường gọi là chỉ tiêu (chất lượng) tối ưu .Trong trường hợp tổng quát chỉ tiêu chất lượng tối ưu thường được gọi là tiêu chuẩn tối ưu và được mô tả hàm toán học J nào đó .
Các chỉ tiêu tối ưu trong thực tế có thể là:
) Quá trình quá độ ngắn nhất (thời gian).
) Độ quá điều chỉnh nhỏ nhất.
) Sai lệch tĩnh nhỏ nhất.
) Năng lượng tiêu thụ nhỏ nhất.
) Giá thành rẻ nhất.
) Cấu trúc đơn giản nhất, độ ổn định cao nhất
Về tổng quát , tiêu chuẩn tối ưu J là một phiếm hàm thường phụ thuộc vào các thông số, cấu trúc của hệ thống. Trong thực tế J được đề ra sẽ bị hạn chế bởi nhiều điều kiện và tính chất của hệ thống. Hệ thống đảm bảo tối ưu theo tiêu chuẩn J tức hệ thống có trạng thái sao hàmg J đạt đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).
Nghiên cứu hệ thống điều khiển tối ưu (ĐKTƯ) tức quan tâm tới:
) Xác lập bài toán tối ưu , các điều kiện biên và tiêu chuẩn tối ưu .
) Xác định được luật điều khiển (algorithm) để cho quá trình cần điều khiển là tối ưu, tổng hợp được hệ đó và xây dựng được hệ thống đó trong điều kiện thực tế.
Hệ thống ĐKTƯ có thể được phân thành hai loại chính :
) Hệ thống tối ưu tiền định tức hệ thống tối ưu có đầy đủ tin tức về đối tượng cần điều khiển .
) Hệ thống tối ưu ngẫu nhiên tức hệ thống tối ưu không có đầy đủ tin tức về đối tượng cần điều khiển.
Ngoài ra ĐKTƯ còn có thể phân loại trên quan điểm hệ thống liên tục thông số tập trung , hệ phân bố rải hệ số.
Trong chương trình học của chúng ta chỉ giới hạn ở hệ thống ĐKTƯ của các hệ liên tục thông số tập trung thuộc dạng hệ thống tối ưu tiền định.




II/ nguyên lý cực tiểu:
Lý thuyết điều khiển tối ưu theo nguyên lý Pontriagin đưa ra khái niệm tối ưu được trình bầy ở nguyên lý cực đại.Tuy nhiên các nguyên lý cực tiểu gắn liền với hàm Hamilton cũng có nghĩa tương tự nguyên lý cực đại.
Trong phần sau chúng ta giả thiết các hàm số đều liên tục và có vi phân ., cho phép thực hiện các phép tính toán học.
Hệ thống khảo sát được mô tả bởi phương trình có dạng.
f(x(t),u(t)) (2.1)
Trong đó t : Biến thời gian.
X(t) : Vector trạng thái bậc n.
U(t) : Vector các đại lượng điều khiển bậc n.
F : Vector các hàm bậc n
Vector trạng thái điểm đầu là X(t0), điểm cuối là X(t1). Trong một số trường hợp vector X(t0) và X(t1) có thể bị hạn chế bởi điều kiện cho trước. Bài toán được đặt ra là tìm các phần tử của vector điều khiển U(t), t0 ≤ t1 sao cho các tiểu hàm tối ưu của hệ
(2.2)
t0 : Thời gian đầu của qúa trình điều khiển.
t1 : Thời gian cuối của quá trình điều khiển.
Giả thiết tồn tại U*(t) tối ưu sao cho I[u(t)] I[u*(t)]
Giả thiết đại lượng điều khiển u*(t) gần miền U(t) . Với tín hiệu điều khiển u*(t) ta có vector trạng thái tối ưu là x*(t), giả thiết khi thay đổi một giá trị điều khiển u(t) thì có sự biến thiên X(t). Vector trạng thái của hệ có thể được viết dưới dạng:
x(t) = x*(t) x(t) (2.3)
Tín hiệu điều khiển tương ứng:
u(t) = u*(t) u(t) (2.4)
ị (2.5)
ị (2.6)
Giả thiết ở gần trạng thái tối ưu cho phép :
(2.7)
Các vi phân của (2.7) có thể được tính cho trạng thái tối ưu u*(t) và x*(t):