Luận Văn Bậc của ánh xạ khả vi và ứng dụng

MỤC LỤC
Trang
LỜI NÓI ĐẦU
MỤC LỤC .1
Chương 1 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP KHẢ VI. 3
1.1. Đa tạp khả vi 3
1.1.1. Đa tạp khả vi 3
1.1.2. Ví dụ. 4
1.1.3. Tích của hai đa tạp khả vi 6
1.1.4. Đa tạp con. 6
1.2. Ánh xạ khả vi 7
1.2.1. Định nghĩa. 7
1.2.2. Ví dụ. 8
1.3. Không gian tiếp xúc. 9
1.3.1. Định nghĩa. 9
1.3.2. Vi phân của một hàm số khả vi 10
1.4. Trường vectơ. 12
1.4.1. Định nghĩa. 12
1.4.2. Định nghĩa. 13
1.5. Ánh xạ tuyến tính tiếp xúc. 13
1.5.1. Định nghĩa. 13
1.5.2. Nhận xét 13
1.5.3. Ví dụ. 14
1.6. Phân hoạch đơn vị 15
1.6.1. Định nghĩa. 15
1.6.2. Đa tạp paracompact 16
1.6.3. Định lý về phân hoạch đơn vị 16
1.7. Đồng luân giữa các ánh xạ. 16
1.7.1. Định nghĩa. 16
1.7.2. Định lý. 17
1.7.3. Định lý. 17
Chương 2 - DẠNG VI PHÂN VÀ KHÔNG GIAN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU 18
2.1. Dạng vi phân. 18
2.1.1. Hàm đa tuyến tính. 18
2.1.2. Dạng đa tuyến tính thay dấu. 18
2.1.3. Dạng vi phân trên đa tạp. 20
2.1.4. Ánh xạ đối tiếp xúc. 23
2.2. Tích phân trên đa tạp. 26
2.2.1. Đa tạp định hướng. 26
2.2.2. Đa tạp với bờ, định hướng của bờ. 29
2.2.3. Tích phân trên đa tạp. 31
2.3. Dạng đóng, dạng chính xác và không gian đối đồng điều DeRham 35
2.3.1. Các định nghĩa. 35
2.3.3. Định nghĩa không gian đối đồng điều. 36
2.3.4. Đồng cấu giữa các không gian đối đồng điều. 38
Chương 3 - BẬC CỦA ÁNH XẠ KHẢ VI VÀ ỨNG DỤNG 50
3.1. Định lý cơ bản. 50
3.1.1. Định lý. 50
3.1.2. Ví dụ. 52
3.2. Tính chất 54
3.2.1. Định lý bất biến của bậc qua ánh xạ đồng luân. 54
3.2.2. Định lý. 55
3.3. Bậc của ánh xạ liên tục. 55
3.3.1. Định nghĩa. 55
3.3.2. Nhận xét 56
3.4. Một số kết quả được áp dụng bậc của ánh xạ. 56
3.4.1. Trường vectơ trên mặt cầu. 56
3.4.2. Chỉ số của trường vectơ trên (tại một không điểm cô lập) 57
3.4.3. Chỉ số của trường vectơ trên đa tạp. 60
3.4.4. Định lý. 62
3.4.5. Định lý (Gauss) 62
3.4.6. Một số ứng dụng khác. 64
LỜI KẾT 69
BẢNG KÝ HIỆU 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO 71